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    突破中考圓錐計(jì)算題

    2020-09-10 07:22:44王友峰
    關(guān)鍵詞:圓心角扇形紙片

    王友峰

    關(guān)于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖計(jì)算問(wèn)題,在中考中常以選擇填空形式出現(xiàn). 解這類(lèi)問(wèn)題時(shí),應(yīng)明確圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是扇形,這個(gè)扇形的半徑等于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng),弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng). 下面結(jié)合近年來(lái)的中考題,介紹和圓錐有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題的解題策略,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.

    一、求圓錐的側(cè)面積

    例1(2019·四川·巴中)如圖1,圓錐的底面半徑r=6,高h(yuǎn)=8,則圓錐的側(cè)面積是( ).

    A.15[π] B. 30[π]

    C. 45[π] D. 60[π]

    分析:圓錐的高、母線(xiàn)和底面半徑構(gòu)成直角三角形,由r=6,h=8,得母線(xiàn)l =10. 此時(shí)可以利用公式S側(cè)[=πrl]求圓錐側(cè)面積.

    解:母線(xiàn)l =[ r2+h2=62+82=10],則S側(cè)[=πrl] [=π×6×10=60π],故選D.

    點(diǎn)評(píng):根據(jù)側(cè)面積公式,求圓錐的側(cè)面積時(shí),只要知道半徑r和母線(xiàn)l即可.

    二、求圓錐的底面圓的半徑

    例2(2019·江蘇·無(wú)錫)已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5 cm,側(cè)面積為15π [cm2],則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為 cm.

    分析:對(duì)于公式S側(cè)[=πrl],已知S和l,求r,只要把S側(cè) = 15π,l = 5代入即可.

    解:把S側(cè) = 15π,l = 5代入S側(cè)[=πrl],得15π = π × r × 5,所以r = 3.

    故填3.

    點(diǎn)評(píng):本題也可以先求出扇形的弧長(zhǎng)(即底面圓的周長(zhǎng)),再求出底面圓的半徑.

    例3(2020·浙江·嘉興)如圖2,在半徑為[2]的圓形紙片中,剪一個(gè)圓心角為90°的最大扇形(陰影部分),則這個(gè)扇形的面積為 ;若將此扇形圍成一個(gè)無(wú)底的圓錐(不計(jì)接頭),則圓錐底面半徑為 .

    分析:根據(jù)圓中90°圓周角所對(duì)的弦是直徑可確定扇形的半徑為2,進(jìn)而根據(jù)[n360=rl],可求出圓錐的底面半徑.

    解:連接BC,由∠BAC=90°得BC為⊙O的直徑,∴BC=2[2],

    在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB=AC=2,

    ∴S扇形ABC=[90π×4360] =π;根據(jù)等式[n360=rl],得[90360=r2],∴r [=] [12].

    故填π; [12].

    點(diǎn)評(píng):掌握“90°圓周角所對(duì)的弦是直徑”,是解題的關(guān)鍵.

    三、求圓錐的母線(xiàn)

    例4(2019·浙江·寧波)如圖3,矩形紙片ABCD中,AD=6 cm,把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后,分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓,恰好能作為一個(gè)圓錐的底面和側(cè)面,則AB的長(zhǎng)為( ).

    A. 3.5 cm B. 4 cm C. 4.5 cm D. 5 cm

    分析:AB的長(zhǎng)實(shí)際就是母線(xiàn)的長(zhǎng)l,根據(jù)扇形的圓心角為90°,可得出底面圓的半徑和母線(xiàn)的比值.

    解:設(shè)AB = l cm,底面圓的半徑為r cm,則[rl=90360=14],得l = 4r.

    ∵AD = AE + DE = 6,∴4r + 2r = 6,∴r = 1,AB = 4r = 4(cm).

    點(diǎn)評(píng):熟練掌握[n360=rl]是解題關(guān)鍵.

    四、求圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角

    例5(2019·山東·聊城)圖4是一個(gè)圓錐的主視圖,根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)(單位:cm),計(jì)算這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為 .

    分析:由圖可知,圓錐的底面半徑r = 1 cm,圓錐的母線(xiàn)l = AC=3 cm, 利用n,r,l三者關(guān)系的等式即可解題.

    解:設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的度數(shù)為n°, 由圖可知r = 1,l = 3,根據(jù)等式[n360=rl],得[n360=13],∴n=120.

    ∴圓心角的度數(shù)為120°. 故填120°.

    點(diǎn)評(píng):熟練掌握n,r,l三者關(guān)系,對(duì)于解題大有幫助.

    通過(guò)對(duì)以上幾個(gè)問(wèn)題的研究,我們可以發(fā)現(xiàn)熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式、扇形面積、弧長(zhǎng)公式,特別是三者關(guān)系的等式[n360=rl],可以實(shí)現(xiàn)對(duì)中考中圓錐計(jì)算問(wèn)題的“秒殺”.

    1. 已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為6,將其側(cè)面沿著一條母線(xiàn)展開(kāi)后所得扇形的圓心角為120°,則該扇形的面積是( ).

    A. 4π B. 8π C. 12π D. 16π

    2. 用半徑為10 cm、圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐側(cè)面,則這個(gè)圓錐的底面圓半徑為 cm.

    答案: 1. C 2. [103].

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