非負(fù)性的巧用

于宗英

非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)是：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)也都只能是零. 下面我們一起欣賞該性質(zhì)的應(yīng)用.

例1 已知a，b為實(shí)數(shù)，且 - （b - 1） = 0，求a + b的值.

分析：由已知條件得到 + （1 - b） = 0，利用二次根式有意義的條件得到1 - b ≥0，再根據(jù)上述性質(zhì)得到1 + a = 0，1 - b = 0，解得a = - 1，b = 1.

解：∵ - （b - 1） = 0，∴ + （1 - b） = 0.

∵ ≥ 0，（1 - b） ≥ 0，∴1 + a = 0，1 - b = 0，

解得a = -1，b = 1，則a + b = -1 + 1 = 0.

點(diǎn)評(píng)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0，利用此性質(zhì)列方程可解決求值問(wèn)題.

例2 已知a，b，c是△ABC的三邊，a，b使等式a2 + b2 - 4a - 8b + 20 = 0成立，且c是偶數(shù)，求△ABC的周長(zhǎng).

分析：首先利用完全平方公式分解因式，進(jìn)而利用偶次方的性質(zhì)得出a，b的值，再利用三角形三邊關(guān)系定理得出答案.

解：∵a2 + b2 - 4a - 8b + 20 = 0，

∴（a2 - 4a + 4） + （b2 - 8b + 16） = 0，

∴（a - 2）2 + （b - 4）2 = 0，

∵（a - 2）2 ≥ 0，（b - 4）2 ≥ 0，∴a - 2 = 0，b - 4 = 0，解得a = 2，b = 4，

∵a，b，c是△ABC的三邊，∴2 < c < 6，

又∵c是偶數(shù)，∴c = 4.

故△ABC的周長(zhǎng)為：2 + 4 + 4 = 10.

點(diǎn)評(píng)：巧妙地把常數(shù)拆分，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得到非負(fù)數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵.

通過(guò)上面的題目可以看出：在解求值問(wèn)題時(shí)，若題中含有多個(gè)未知數(shù)，但只給出一個(gè)方程時(shí)，常用方法就是應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合配方變形，列方程組求解.