活用類(lèi)比猜想 巧解折疊探究

李培華

與特殊四邊形有關(guān)的折疊問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)，中考數(shù)學(xué)倒數(shù)第二題中屢屢能見(jiàn)到此類(lèi)問(wèn)題的身影. 此類(lèi)問(wèn)題變化多、綜合性強(qiáng)，因此難度較大. 下面舉例介紹如何活用類(lèi)比猜想來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題.

例（2019·湖北·襄陽(yáng)）（1）證明推斷：如圖1①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點(diǎn)O，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE.

①求證：DQ = AE;

②推斷：的值為 .

（2）類(lèi)比探究：如圖1②，在矩形ABCD中， = k（k為常數(shù)）. 將矩形ABCD沿GF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點(diǎn)H，連接AE交GF于點(diǎn)O. 試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當(dāng)k = 時(shí)，若tan∠CGP = ，GF = 2，求CP的長(zhǎng).

分析：（1）①由正方形的性質(zhì)易得∠QAO = ∠ADO，進(jìn)而有△ABE≌△DAQ，可得DQ = AE;②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問(wèn)題. （2）結(jié)論： = k. 如圖2，作GM⊥AB于M，證明△ABE∽△GMF即可解決問(wèn)題. （3）如圖3，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M. 利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問(wèn)題.

解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴DA = AB，∠DAQ = 90° = ∠ABE. ∴∠QAO + ∠OAD = 90°.

∵AE⊥DQ，∴∠ADO + ∠OAD = 90°. ∴∠ADO = ∠QAO.

∴△DAQ≌△ABE（ASA），∴DQ = AE.

②結(jié)論： = 1. 理由：∵DQ⊥AE，F(xiàn)G⊥AE，∴DQ∥FG，

∵FQ∥DG，∴四邊形DQFG是平行四邊形，∴FG = DQ，

∵AE = DQ，∴FG = AE，∴ = 1.

（2）結(jié)論： = k. 理由：如圖2，作GM⊥AB于M.

∵AE⊥GF，∴∠AOF = ∠GMF = ∠ABE = 90°，

∴∠BAE + ∠AFO = 90°，∠AFO + ∠FGM = 90°，

∴∠BAE = ∠FGM，

∴△ABE∽△GMF，∴ = ，

∵∠AMG = ∠D = ∠DAM = 90°，

∴四邊形AMGD是矩形，∴GM = AD，

∴ =? =? = k.

（3）如圖3，作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M.

∵FB∥GC，F(xiàn)E∥GP，∴∠CGP = ∠BFE，

∴tan∠BFE = tan∠CGP =? = ，

∴設(shè)BE = 3k，BF = 4k，則EF = AF = 5k，AB = AF + BF = 9k，

∵ = ，F(xiàn)G = 2，∴AE = 3，

∴（3k）2 + （9k）2 = （3）2，

∴k = 1或-1（舍棄），∴BE = 3，AB = 9，

∵ = ，∴BC = 6，

∴BE = CE = 3，AD = PE = BC = 6，

∵∠FBE = ∠FEP = ∠PME = 90°，

∴∠FEB + ∠PEM = 90°，∠PEM + ∠EPM = 90°，

∴∠FEB = ∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴ =? = ，

∴ =? = ，∴EM = ，PM = ，

∴CM = EM - EC =? - 3 = ，∴PC =? = .

點(diǎn)評(píng)：解決（2）（3）問(wèn)的關(guān)鍵是類(lèi)比其與第（1）問(wèn)的相似之處，遷移第（1）問(wèn)的思路進(jìn)行合理猜想.