幫你闖關(guān)輔助線（十）

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割補(bǔ)是指對(duì)原幾何圖形或幾何元素進(jìn)行切分、補(bǔ)足等操作，其作用是將原圖形分割或補(bǔ)成相對(duì)獨(dú)立或更為完整的圖形，常要借助連接、截取、作平行、作垂直等手段實(shí)施. 下面舉例介紹.

例1 如圖1，陰影部分是由4段以正方形邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓弧圍成的圖形，這個(gè)圖形被稱為斯坦因豪斯圖形. 若圖中正方形的邊長(zhǎng)為a，求陰影部分的面積.

分析：不難判斷題給圖形是中心對(duì)稱圖形，借助“過對(duì)稱中心的直線能將原圖形全等分割”，找到對(duì)稱中心，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)不規(guī)則圖形的分割重組. 另外，陰影突起部分恰好可以填充凹陷部分，更加強(qiáng)化了“割補(bǔ)”的思路.

解：方法1：如圖2，連接AC，BD，把原正方形分割成四個(gè)全等的小正方形，通過割補(bǔ)可把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)小正方形面積的和，可知其等于原正方形面積的一半，即a2.

方法2：如圖3，連接AB，BC，CD，DA，得到正方形ABCD，再連接AC，BD，通過割補(bǔ)可把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為原正方形面積的一半，即a2.

點(diǎn)評(píng)：此類問題的解題關(guān)鍵是把不規(guī)則圖形進(jìn)行分割，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單圖形的組合，進(jìn)而明晰各元素間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，用間接求解的方法化繁為簡(jiǎn).

例2 【感知】如圖4①，AD平分∠BAC，∠B + ∠C = 180°，∠B = 90°. 易知：DB = DC.

【探究】如圖4②，AD平分∠BAC，∠ABD + ∠ACD = 180°，∠ABD < 90°. 求證：DB = DC.

【應(yīng)用】如圖4③，四邊形ABDC中，∠B = 45°，∠C = 135°，DB = DC = a，則AB - AC = . （用含a的代數(shù)式表示）

分析：角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在直線是其對(duì)稱軸. 借助軸對(duì)稱的觀點(diǎn)處理角平分線問題，可以構(gòu)造基于角平分線的全等三角形，實(shí)現(xiàn)邊、角的等量位移.

解：【探究】（截長(zhǎng)法）如圖4②，在AB邊上截取AE = AC，連接DE. ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠EAD，∵AD=AD，∴△ACD≌△AED，∴DC=DE，∠AED=∠C. ∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，∴∠DEB=∠B，∴DE=DB，∴DB=DC.

（補(bǔ)短法）如圖4④，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使AE = AB，連接DE. ∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠BAD，∵AD=AD，∴△AED≌△ABD，∴DE=DB，∠AED=∠B. ∵∠ACD+∠B=180°，∠ACD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠E，∴DE=DC，∴DB=DC.

【應(yīng)用】a.

點(diǎn)評(píng)：“截長(zhǎng)補(bǔ)短”常被用來(lái)解決有關(guān)幾何元素和、差、倍分的問題. 通過割補(bǔ)構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵.

例3 如圖5，在直線m上擺著三個(gè)正三角形：△ABC，△HFG，△DCE. 已知BC = CE，F(xiàn)，G分別是BC，CE的中點(diǎn)，F(xiàn)M∥AC，GN∥DC. 設(shè)圖中三個(gè)平行四邊形的面積依次是S1，S2，S3，若S1 + S3 = 10，求S2.

分析：根據(jù)圖形特點(diǎn)，可將圖中的平行四邊形分割成小等邊三角形，或?qū)⑿〉钠叫兴倪呅窝a(bǔ)成大的平行四邊形.

解：方法1（分割法）：如圖6①，將S1，S2，S3依次分成2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)等邊三角形，因?yàn)镾1 + S3=10，所以S1=2，S3=8，即每個(gè)小等邊三角形的面積為1，則S2=4.

方法2（補(bǔ)形法）：如圖6②，延長(zhǎng)BA，GH交于點(diǎn)P，顯然菱形PACQ的面積等于S3， 而S2等于菱形PACQ的面積的一半，S1與陰影平行四邊形同高，底是陰影平行四邊形的一半，則S1=，所以S1∶S2∶S3=1∶2∶4，則易得S2=4.

點(diǎn)評(píng)：通過對(duì)圖形的“割”或“補(bǔ)”充分體現(xiàn)幾何圖形的特征，發(fā)揮圖形的優(yōu)勢(shì)來(lái)輔助計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.