暗含玄機(jī)的“波利亞謎題”

林革

喬治·波利亞是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、教育家、數(shù)學(xué)解題方法論的開(kāi)拓者. 他十分重視解題方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，并對(duì)解題方法進(jìn)行了多年的研究和實(shí)踐，終于繪制出一張舉世聞名的《解題表》，給出一套解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法與模式. 該表被各國(guó)數(shù)學(xué)界奉為解題寶典. 眾多數(shù)學(xué)愛(ài)好者應(yīng)用了該表，紛紛表示對(duì)該表的“奇效”心悅誠(chéng)服.

下面介紹一則由波利亞設(shè)計(jì)的耐人尋味的數(shù)學(xué)趣題：某人步行了5小時(shí)，先沿著平路走，然后上了山，最后又沿原路走回原地，假如他在平路上每小時(shí)走4千米，上山每小時(shí)走3千米，下山每小時(shí)走6千米，試求他5小時(shí)共走了多少千米.

大家知道，如果某人勻速走路，知道了他的速度和走的時(shí)間，則很容易求出他在這段時(shí)間內(nèi)走過(guò)的路程. 可這道題中敘述的是比較復(fù)雜的情況，既有平路，又有上山，還有下山，更困難的是既不知他沿平路走了多少時(shí)間，又不知他上山或下山走了多少時(shí)間. 按照常規(guī)思路，這道題因條件不夠無(wú)法解答. 事實(shí)果真如此嗎？現(xiàn)在就讓我們一起作一番探究吧！

首先，可以定性判斷的是，上山比在平地走得慢，下山比在平地走得快，因而上山比在平地上走同樣長(zhǎng)的路程費(fèi)時(shí)間，下山比在平地上走同樣長(zhǎng)的路程省時(shí)間.

其次，可以定量計(jì)算此人上山比在平地上走同樣長(zhǎng)的路程費(fèi)的時(shí)間，與他沿原路下山比在平地上走同樣長(zhǎng)的路程省的時(shí)間哪個(gè)多哪個(gè)少. 由于上山的路程與下山的路程同樣長(zhǎng)，所以我們可以把上山、下山及在平地上走過(guò)單位長(zhǎng)距離（比如1千米）所需的時(shí)間進(jìn)行比較. 上山走一千米比平地走1千米多費(fèi)的時(shí)間為 -? =? （小時(shí)），下山走1千米比平地走1千米少用的時(shí)間為 -? =? （小時(shí)）.

于是，我們發(fā)現(xiàn)此人上山多費(fèi)的時(shí)間與沿原路下山所省的時(shí)間恰好抵消. 也就是說(shuō)，題意的轉(zhuǎn)化理解為：相當(dāng)于他一直在平地上行走了5小時(shí)，因此他共走了4×5 = 20（千米）. 這種算術(shù)解法巧妙而又獨(dú)特，連小學(xué)生也能理解.

而更具有一般性和應(yīng)用性的方法是運(yùn)用方程的知識(shí)來(lái)思考分析. 我們不妨設(shè)這個(gè)人5小時(shí)走的路程為x千米，他上山、下山各走了y千米，因?yàn)橐阎降?、上山、下山的速度，則全部行程中平地、上山、下山、平地這四段時(shí)間分別為，，，，顯然 +? +? +? = 5成立，這個(gè)方程表面上是一個(gè)不定方程，但對(duì)此式化簡(jiǎn)后，y的系數(shù)變成了0，方程化為? = 5 ，可以求出x = 20. 這樣解答的特點(diǎn)在于，把所有未知量都當(dāng)作已知量進(jìn)行順向分析，思考時(shí)沒(méi)有障礙，解答水到渠成.

也許，有的同學(xué)會(huì)對(duì)前面的算術(shù)解答情有獨(dú)鐘，那么必須指出的是：這道題目具有一定的特定性，若是題意條件發(fā)生變化，即若此人上山費(fèi)的時(shí)間與下山省的時(shí)間不是恰好抵消，前面的解答就有待推敲了. 為了更好地說(shuō)明這點(diǎn)，大家來(lái)看下面的這個(gè)問(wèn)題：假如一只船在靜水中航行的速度是每小時(shí)4千米，水流的速度是每小時(shí)3千米. 現(xiàn)在這只船先逆水由甲碼頭駛向乙碼頭，再順?biāo)畯囊掖a頭駛回甲碼頭，問(wèn)：此船在甲、乙兩個(gè)碼頭間一個(gè)來(lái)回的平均速度是否等于它在靜水中的速度？

我們把船在靜水中的速度記為v靜，把水流的速度記為 v水，則船在順?biāo)旭偅ㄍ掠涡旭偅r(shí)的實(shí)際速度 v順 = v靜 + v水，船在逆水行駛（往上游行駛）時(shí)的實(shí)際速度v逆 = v靜 - v水，因而在本題中v順 = 4 + 3 = 7（千米/小時(shí)），v逆 = 4 - 3 = 1（千米/小時(shí)）.

如果我們把兩個(gè)碼頭間的距離當(dāng)作1，把船在靜水中行駛類比為人在平地上行走，把船在逆水中行駛類比為人往山上走，把船在順?biāo)行旭傤惐葹槿送较伦?，則在本題中會(huì)不會(huì)得出? -? =? - 這個(gè)類似上例的結(jié)論呢？根據(jù)題意條件知： -? =? -? = ， -? =? -? = ，可見(jiàn) -? ≠? - ，因此此船在甲、乙兩個(gè)碼頭間一個(gè)來(lái)回的平均速度不等于它在靜水中的速度. 你明白了嗎？也許還有同學(xué)接著問(wèn)：那這兩者究竟誰(shuí)大誰(shuí)小呢？好，我們?cè)偾蟪霰绢}中的平均速度v.

設(shè)甲、乙碼頭間相距s千米，船從甲碼頭逆水而上駛至乙碼頭用的時(shí)間為t逆，回來(lái)用的時(shí)間為t順，則 =? =? =? < 4，可見(jiàn)船在甲、乙兩個(gè)碼頭間一個(gè)來(lái)回的平均速度小于船在靜水中的速度.

也許有的同學(xué)仍然不依不饒：“如果把船速和水速這兩個(gè)已知數(shù)改變一下，是否還有此結(jié)論呢？”看起來(lái)這倒是個(gè)值得探討的問(wèn)題. 我們不妨從一般性情形入手，來(lái)進(jìn)行綜合判斷.? =? =? =? = v靜 -? < v靜，也就是說(shuō)，無(wú)論什么情況下，只要船在流動(dòng)的水面上行駛，先逆水再順?biāo)旭傄粋€(gè)來(lái)回的平均速度永遠(yuǎn)要小于船在靜水中的速度. 這下你清楚了嗎？

（作者單位：揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)）