利用方差判斷說理

趙小冬

方差是反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大;方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越小.應(yīng)用這一結(jié)論，可以對(duì)一些生活實(shí)際問題進(jìn)行判斷說理.

例1（2020·河南）為發(fā)展鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某村根據(jù)本地特色創(chuàng)辦了山藥粉加工廠. 該廠需購置一臺(tái)分裝機(jī)，計(jì)劃從商家推薦試用的甲、乙兩臺(tái)不同品牌的分裝機(jī)中選擇. 試用時(shí)，設(shè)定分裝的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為每袋500 g，與之相差大于10 g為不合格. 為檢驗(yàn)分裝效果，工廠對(duì)這兩臺(tái)機(jī)器分裝的成品進(jìn)行了抽樣和分析，過程如下：

【收集數(shù)據(jù)】從甲、乙兩臺(tái)機(jī)器分裝的成品中各隨機(jī)抽取20袋，測(cè)得實(shí)際質(zhì)量（單位： g）如下：

【整理數(shù)據(jù)】整理以上數(shù)據(jù)，得到每袋質(zhì)量x（g）的頻數(shù)分布表.

【分析數(shù)據(jù)】根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到以下統(tǒng)計(jì)量.

[統(tǒng)計(jì)量 平均數(shù) 中位數(shù) 方差 不合格率 甲機(jī)器 499.7 501.5 42.01 b 乙機(jī)器 499.7 a 31.81 10% ]

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（2）綜合上表中的統(tǒng)計(jì)量，判斷工廠應(yīng)選購哪一臺(tái)分裝機(jī)，并說明理由.

解析：（1）先將分裝機(jī)乙的統(tǒng)計(jì)量從小到大排序：487，490，491，493，498，499，499，499，499，501，501，501，502，502，502，503，505，505，506，511，其中第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)都是501. 根據(jù)中位數(shù)的概念，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這20個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)a，因此中位數(shù)a = 501（g）;分裝機(jī)甲的統(tǒng)計(jì)量中與500 g相差大于10 g有3個(gè)，即不合格的有3袋，因此不合格率b = 3 ÷ 20 = 15%.

（2）工廠應(yīng)該選購乙分裝機(jī). 理由如下：比較甲、乙兩臺(tái)機(jī)器的統(tǒng)計(jì)量可知，兩臺(tái)分裝機(jī)統(tǒng)計(jì)量的平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)高于乙的中位數(shù)，但相差不大，乙的方差較小，且不合格率更低，其穩(wěn)定性更好.因此，乙分裝機(jī)的分裝效果更好，工廠應(yīng)選購乙分裝機(jī).

反思：從平均數(shù)與方差來看兩臺(tái)分裝機(jī)，平均數(shù)相同，乙的方差較小，因此乙分裝機(jī)的生產(chǎn)質(zhì)量更穩(wěn)定.在進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，要認(rèn)真仔細(xì)，謹(jǐn)防“一著不當(dāng)，全盤皆輸”.

例2（2020·浙江·溫州）A，B兩家酒店規(guī)模相當(dāng)，去年下半年的月盈利折線統(tǒng)計(jì)圖如圖1所示.

（1）要評(píng)價(jià)兩家酒店7～12月的月盈利平均水平，你選擇什么統(tǒng)計(jì)量？求出這個(gè)統(tǒng)計(jì)量.

（2）已知A，B兩家酒店7～12月的月盈利的方差分別為1.073（平方萬元）、0.54（平方萬元）. 根據(jù)所給的方差和你在（1）中所求的統(tǒng)計(jì)量，結(jié)合折線統(tǒng)計(jì)圖，你認(rèn)為去年下半年哪家酒店經(jīng)營狀況較好？請(qǐng)簡述理由.

解析：（1）要評(píng)價(jià)兩家酒店月盈利的平均水平，就是要比較兩家酒店月盈利的平均值，因此選擇兩家酒店月盈利的平均值.

（2）可以從盈利的平均數(shù)、方差和折線統(tǒng)計(jì)圖等方面來判斷去年下半年A，B兩家酒店的經(jīng)營狀況.（答案不唯一，評(píng)分可分為三個(gè)等級(jí).）

等級(jí)1：A酒店的經(jīng)營狀況較好. 理由：A酒店月盈利的平均數(shù)為2.5萬元，B酒店月盈利的平均數(shù)為2.3萬元，再從折線統(tǒng)計(jì)圖看，A酒店去年下半年盈利逐月上升，發(fā)展勢(shì)頭很好.

等級(jí)2：A酒店的經(jīng)營狀況較好. 理由：從平均數(shù)或者從折線統(tǒng)計(jì)圖一個(gè)角度說明理由.

等級(jí)3：①選A酒店，無理由或理由不合理;②選B酒店.理由：A酒店盈利的方差為1.073，B酒店盈利的方差為0.54，B酒店盈利情況較穩(wěn)定.

反思：本題（2）的答案不唯一，有點(diǎn)“公說公有理，婆說婆有理”的味道，但評(píng)分有差異.在說明理由時(shí)，一定要注意掌握折線統(tǒng)計(jì)圖表達(dá)的實(shí)際意義.需要指出的是：（1）方差的作用是用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小的，只有在數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或比較接近時(shí)，才能用這種方法，否則一般不用方差來比較數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小;（2）一般而言，一組數(shù)據(jù)的方差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定，因此有同學(xué)就認(rèn)為在實(shí)際生活中方差越小越好，這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，例如，要在全班選學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，選拔成績的方差則越大越好，這樣有利于選拔優(yōu)秀選手.