數(shù)形結合法探究初等函數(shù)的對稱性

歐陽巧巧

【摘要】縱觀近年全國卷試題，考查函數(shù)對稱性的題頻繁出現(xiàn)在選擇填空題靠后的位置，難度比較大。函數(shù)的對稱性包括函數(shù)的軸對稱性和中心對稱性，它們分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)的延伸與拓展。本文系統(tǒng)地利用數(shù)形結合法闡述了一些初等函數(shù)的對稱性，其直觀性和系統(tǒng)性有利于學生的學習。

【關鍵詞】初等函數(shù);對稱性;數(shù)形結合法

在全國卷和地方模擬卷中，函數(shù)的對稱性這類題難度比較大，但是如果把偶函數(shù)和奇函數(shù)順勢遷移到函數(shù)的軸對稱性和中心對稱性，問題就能迎刃而解。本文從以下兩個方面闡述初等函數(shù)的對稱性。一是從理論方面全面系統(tǒng)地論述常見初等函數(shù)和抽象函數(shù)的對稱性;二是結合實際的題目用數(shù)形結合法解決問題。

基本初等函數(shù)中指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)本身既無中心對稱性又無軸對稱性，但它們通過運算和復合后的初等函數(shù)可能具有對稱性的。部分冪函數(shù)本身具有軸對稱性或者中心對稱性，冪函數(shù)通過加減乘除運算后的一元高次函數(shù)等初等函數(shù)也有軸對稱性或者中心對稱性、三角函數(shù)中的正弦型和余弦型函數(shù)、抽象函數(shù)的對稱性分別如表一、二、三。

全國卷中出現(xiàn)過的關于函數(shù)對稱性的選擇題難度都比較大，這類有難度的題在地方模擬卷中也屢見不鮮。下面我們挑選部分題目，結合函數(shù)的圖像進行解析。

一、冪函數(shù)運算復合后的初等函數(shù)的對稱性

1.冪函數(shù)運算復合后的初等函數(shù)的軸對稱性

學生對一元二次函數(shù)的軸對稱性相關知識可以說非常熟悉了，但是對于一元四次函數(shù)的軸對稱性并不熟悉。但是只要對軸對稱性的本質能理解到位，做起題目來便得心應手。

例1.1（2013年1卷16）若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關于直線x=-2對稱，則f（x）的最大值是______.

解析：此題答案為16。我們?nèi)菀卓吹胶瘮?shù)f（x）的兩個零點1和-1，且函數(shù)圖像關于直線對稱，故f（x）還有另外兩個零點-3和-5，可以知道函數(shù)中f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的參數(shù)a=8，b=15，由函數(shù)四個零點和最高次的系數(shù)為負數(shù)，可以結合函數(shù)圖形知道在（-5，-3）和（-1，1）之間取得最大值。然后通過求導的方法求出極大值點為-2±，進而求出極大值，即為最大值f（-2±）=16。

2.冪函數(shù)運算復合后的初等函數(shù)的中心對稱性

首先來看簡單的f（x）=x3+ax2+bx+c形式的一元三次函數(shù)的對稱性，在2013年的全國卷2中以選擇題的形式考查函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的性質，其中有涉及到中心對稱性。在地方卷中我們可以看到對于此類函數(shù)的中心對稱性的考查，例1.2.2就是例1.2.1的延伸。

例1.2.1（2013年全國2卷10）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結論中錯誤的是（）.

A.

B.函數(shù)y=f（x）的圖像是中心對稱圖形

C.若x0是f（x）的極小值點，則f（x）在區(qū)間單調遞減

D.若x0是f（x）的極值點，則f '（x）=0

解析：此題答案選C。一元三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的一階導函數(shù)f '（x）為一元二次函數(shù)，二階導函數(shù)f ''（x）為一元一次函數(shù)。結合三者的圖像可知，二階導函數(shù)f ''（x）的零點x0，即為一階導函數(shù)f '（x）的對稱軸x=x0與x軸交點的橫坐標，也即為原函數(shù)f（x）的對稱中心（x0，f（x0））的橫坐標。如下函數(shù)圖像可知A，B，C顯然成立。

例1.2.2（2018年廣州二模理數(shù)12）已知直線與曲線y=x3-x+1有三個不同交點a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3）且，則（xi+yi）=（ ）

A.0? ? ? ? ?B.1? ? ? ? ? C.2? ? ? ? ? ?D.3

解析：此題答案選D。由例1.2.1的結論可知點為該曲線的對稱中心。令y''=6x=0得x=0代入y=x3-x+1得對稱中心（0，1）。即B（0，1），A，C兩點B關于點對稱，xi=0，yi=3，則（xi+yi）=3。對一元三次函數(shù)的對稱中心熟悉以后，這類題目便迎刃而解。

例1.2.3若函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關于點（-2，0）對稱，x1，x2分別是f（x）的極大值點與極小值點，則x1-x2=（? ? ）

A.? ?B.? ?C.? ? D.

解析：此題答案選B。此題可以參考例1.1.1的方法，我們?nèi)菀卓吹胶瘮?shù)f（x）的零點1，且函數(shù)圖像關于點（-2，0）對稱，故（-2，0）在函數(shù)f（x）圖像上，此外f（x）還有另外一個零點-5，可以知道函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）中的參數(shù)a=7，b=10，得函數(shù)f（x）=-x3-6x2-3x+10，令f'（x）=-3x2-12x-3=0，解得x=-2±。結合圖像知

x1>x2，x1-x2=（-2+）-（-2-）=2。

此題還可以利用例1.2.1的結論，二階導函數(shù)f''（x）的零點x0，即為原函數(shù)f（x）的對稱中心（x0，f（x0））的橫坐標。因此，我們可得f''（-2）=14-2a=0，f（-2）=3（4-2a+b）=0，也可以求出a=7，b=10。后面的解法同上。

接下來看更復雜的冪函數(shù)運算復合后的初等函數(shù)的對稱性，對于不熟悉的函數(shù)我把它往熟悉的函數(shù)類型化簡，從而看出函數(shù)的的對稱中心。

例1.2.4（2018年廈門質檢第9題）函數(shù)y=（x+1）3+與y=-x+b的圖像的交點的橫坐標之和為-2，則b=（? ? ）