初中數(shù)學(xué)中的幾種分類討論情況

栗雁

摘 ?要：每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。

關(guān)鍵詞：分類討論;取值范圍

近些年，中考數(shù)學(xué)中分類討論的試題常常被用來加大試卷的區(qū)分度。這類試題不僅考查了我們的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，更反映了我們思維的嚴(yán)謹(jǐn)程度。很多同學(xué)在這類問題上由于考慮不夠全面導(dǎo)致頻頻失誤。

那么到底該如何進(jìn)行分類討？大致分三步：首先明確分類對(duì)象和分類標(biāo)準(zhǔn)，其次逐類分類分級(jí)得到階段性結(jié)果并用該級(jí)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行檢驗(yàn)篩選結(jié)果，最后歸納做出結(jié)論。

現(xiàn)將初中數(shù)學(xué)中常見的分類討論類型做簡(jiǎn)單歸納：

一、由概念或性質(zhì)導(dǎo)致的分類

例1：求的最大值與最小值

分析：根據(jù)題意，去絕對(duì)值需要對(duì)x的取值范圍進(jìn)行討論，分三種情況，分別計(jì)算出每種情況下y的值，最后做總結(jié)歸納，得出最終結(jié)論。

解析：根據(jù)題意，按照x的取值范圍，分如下三種情況：

①當(dāng)時(shí)，

②當(dāng)時(shí)，

③當(dāng)時(shí)，

綜上可知：y的最大值是2，最小值是﹣2.

例2：求方程的實(shí)數(shù)根

分析：根據(jù)題意，要解方程就必須先把絕對(duì)值去掉，就要對(duì)x的取值范圍進(jìn)行討論，分兩種情況，解出每種情況下x的值，最后總結(jié)歸納，得出最終結(jié)論。

解析：根據(jù)題意，按照x的取值范圍，分兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋?img alt="" height="16" src="file：///C：/Users/wangb/AppData/Local/Packages/oice_15_974fa576_32c1d314_1be7/AC/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image020.gif" width="96"/>

解出，

由于，所以應(yīng)該舍去。

②當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋?img alt="" height="17" src="file：///C：/Users/wangb/AppData/Local/Packages/oice_15_974fa576_32c1d314_1be7/AC/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image030.gif" width="105"/>

解出，

由于，所以應(yīng)該舍去。

綜上可知，原方程的解為：

二、由參數(shù)導(dǎo)致的分類討論

例3：已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍。

分析：由于題目中沒有明確指出該方程是一次方程還是二次方程，所以要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否等于零進(jìn)行分類討論：當(dāng)，時(shí)，

該方程為一元一次方程，一定有實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí)，該方程為一元二次方程，若方程有實(shí)數(shù)根則由根的判別式大于等于零，求出k的取值范圍。

解析：①當(dāng)，時(shí)，5y+6

解出此時(shí)方程為一元一次方程，必有實(shí)數(shù)根。

②當(dāng)，即時(shí)，

此時(shí)方程為一元二次方程，令

解得，由于，故

綜上所述：

三、幾何中的分類討論

例4：已知x，y為直角三角形兩邊的長(zhǎng)，滿足，則第三邊的長(zhǎng)為_____________。

分析：由于題目中沒有明確說明x，y是直角三角形中的直角邊還是斜邊，所以要分類討論。

解析：由，可得且

分別解這兩個(gè)方程，可得滿足條件的解，或

由于x，y是直角邊長(zhǎng)還是斜邊長(zhǎng)沒有明確，因此需要分類討論。

當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)分別為2，2時(shí)，斜邊長(zhǎng)為;

當(dāng)直角邊長(zhǎng)為2，斜邊長(zhǎng)為3時(shí)，另一直角邊的長(zhǎng)為;

當(dāng)一直角邊長(zhǎng)為2，另一直角邊長(zhǎng)為3時(shí)，斜邊長(zhǎng)為。

綜上，第三邊的長(zhǎng)為或或。

例5：已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道，

如果水面寬AB為80cm，求下水道中水的最

大深度。

分析：根據(jù)題意可知，水面AB所對(duì)的弧既可能是劣弧，也可能是優(yōu)弧，所以要分兩種情況討論。

解析：如圖，當(dāng)水面AB所對(duì)的弧是劣弧時(shí)，過圓心O作OE⊥AB，

垂足為E，延長(zhǎng)OE交⊙O于點(diǎn)F，則BE=AB=40cm，OB=50cm，由勾股定理可得，此時(shí)水深

當(dāng)水面AB所對(duì)的弧是優(yōu)弧時(shí)，同理可求得

所以水的最大深度為20cm或80cm。

四、總結(jié)

分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的數(shù)學(xué)思想，它能使學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)。教師在教學(xué)過程中應(yīng)結(jié)合具體的題目，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，從而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想的意識(shí)。這不但對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高有事半功倍的效果，更能促進(jìn)學(xué)生整體數(shù)學(xué)思維的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳龍彬.初中數(shù)學(xué)分類討論的幾種常見綜合題型[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2013（09）：54-56.

[2]盛麗.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用分類討論的幾種情況[J].河北理科教學(xué)研究，2007（02）：64.