例談培育初中生數(shù)學(xué)思想的教學(xué)路徑

摘 要：新課程改革使數(shù)學(xué)思想方法成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，且受到中考命題趨勢的影響，初中數(shù)學(xué)教師對學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的掌握愈加重視。數(shù)學(xué)教師應(yīng)堅(jiān)持在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想，在引導(dǎo)學(xué)生解決典型例題的過程中掌握數(shù)學(xué)思想方法，使數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。文章結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)情，探究培育初中生六種數(shù)學(xué)思想方法的具體方式，為增強(qiáng)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性提供思路。

關(guān)鍵詞：初中生;數(shù)學(xué)思想;教學(xué)路徑

教師要在教學(xué)中融入創(chuàng)新元素，使學(xué)生基于對數(shù)學(xué)知識的理解掌握具有創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)思想。初中數(shù)學(xué)教材中含有許多培育學(xué)生數(shù)學(xué)思想的例題，教師應(yīng)在講解例題的過程中適當(dāng)提煉、總結(jié)核心概念與解題步驟，使數(shù)學(xué)思想逐漸成為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、轉(zhuǎn)化化歸思想方法

化歸是基礎(chǔ)思想策略，在初中生解決數(shù)學(xué)問題的過程中發(fā)揮著重要作用。初中階段的數(shù)學(xué)知識已經(jīng)具有一定復(fù)雜性，因而需要學(xué)生利用化歸思想思考解決問題的方法，將問題轉(zhuǎn)化為容易理解的形式，進(jìn)而找出問題的答案。復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題能轉(zhuǎn)化歸結(jié)為較易解決的問題，實(shí)現(xiàn)某一數(shù)學(xué)對象向另一數(shù)學(xué)對象的轉(zhuǎn)化，如將未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，將學(xué)生感到陌生的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生感到熟悉的知識等。

以異分母分式的加減法計(jì)算為例，教師需引導(dǎo)學(xué)生在解題中滲透化歸思想，體現(xiàn)解題過程的內(nèi)在邏輯。學(xué)生必須找出所有公式共有的最簡公分母，基于此對分式進(jìn)行通分。通分這一步驟將異分母轉(zhuǎn)化成同分母，因而異分母的分式加減法轉(zhuǎn)化成了學(xué)生最為熟悉的同分母分?jǐn)?shù)加減法，這便實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的化歸。再如，探究分式方程的相關(guān)問題時(shí)，首要步驟通常是將等式兩邊的分式化為相同分母的形式，為后續(xù)計(jì)算奠定基礎(chǔ)。這一過程轉(zhuǎn)化了學(xué)生較為陌生的分式方程問題，使之變?yōu)閷W(xué)生熟悉且擅長的整式方程問題。原本有較大難度的分式方程求解問題變得簡單，學(xué)生解答的正確率更高。學(xué)生在轉(zhuǎn)化問題的過程中建立不同知識之間的聯(lián)系，逐步掌握應(yīng)用所學(xué)知識轉(zhuǎn)化陌生問題的方法。

二、分類討論思想方法

分類討論的思想在不同學(xué)科教學(xué)中被廣泛應(yīng)用，也被稱為邏輯劃分。分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛，當(dāng)數(shù)學(xué)問題討論的對象難以統(tǒng)一時(shí)，研究者便需要對這些討論對象進(jìn)行分類，使分類的結(jié)果成為解決問題的重要依據(jù)。初中數(shù)學(xué)課程中涉及分類討論思想的知識模塊較多，如三角形、絕對值等。教師需在日常教學(xué)中注重學(xué)生分類討論能力的培育，使學(xué)生能準(zhǔn)確區(qū)分需要分類討論的情況。

以三角形知識模塊的一道題目為例：已知一個(gè)等腰三角形有一個(gè)角為30°，請問該三角形的其他兩個(gè)角為多少度？三角形內(nèi)角和為180°，而題目中所給的信息表明，等腰三角形中有一個(gè)銳角是30°，這一題目應(yīng)當(dāng)進(jìn)行分類討論。討論的情況具體有兩種，一種是30°角為等腰三角形的頂角，另一種則是為底角的情況。當(dāng)此類題目出現(xiàn)在填空題中時(shí)，許多學(xué)生便容易忽略問題的多解性質(zhì)。因此，教師需引導(dǎo)學(xué)生找到正確的思路，提醒學(xué)生在解答三角形相關(guān)問題的過程中進(jìn)行全面考慮。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法

數(shù)形結(jié)合的思想方法主要用于分析數(shù)量和空間之間的關(guān)系，數(shù)量關(guān)系相對抽象，空間關(guān)系則較為直觀，將二者結(jié)合能收到良好的教學(xué)效果。

在講解平方差與完全平方公式時(shí)，教材利用數(shù)形結(jié)合的方法引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩個(gè)公式的形成過程，并利用面積相等的規(guī)律得出結(jié)果。學(xué)生則結(jié)合教材進(jìn)行自主探究，最終得出公式的正確形式。學(xué)生從長方形的面積切入進(jìn)行推理，獲得新知的過程較為輕松。講解絕對值的過程中，教師也可采用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行教學(xué)，將數(shù)形結(jié)合思想滲透在絕對值教學(xué)中。例如，教師利用動畫視頻展示出數(shù)軸的一部分，將不同的點(diǎn)標(biāo)記在數(shù)軸上，將數(shù)的絕對值以某一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等形式標(biāo)記出來，使學(xué)生理解絕對值在幾何圖形中的含義。學(xué)生將“距離”和“絕對值”的概念聯(lián)系起來記憶，學(xué)習(xí)效果更佳。一元一次不等式的教學(xué)也可采用相同方法構(gòu)建一次函數(shù)圖像與數(shù)量間的聯(lián)系，教師將不等式和圖像的關(guān)系以一次函數(shù)的形式表現(xiàn)出來，要求學(xué)生結(jié)合圖像找出各個(gè)x值和y值之間的對應(yīng)關(guān)系并說出自己分析的過程。教師在數(shù)學(xué)課堂中滲透數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生對數(shù)量與圖形的關(guān)系形成更加全面的認(rèn)知，在解題中更擅長用直觀的圖形理解抽象的數(shù)量問題并找出答案。

四、函數(shù)與方程思想方法

方程思想的關(guān)鍵在于找到已知與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，基于此建立方程或方程組，解出方程或方程組，最終完成整道題目的解答。學(xué)生將函數(shù)與方程思想應(yīng)用在解題過程中，對題目中出現(xiàn)的不同關(guān)系更加明確，解題思路更清晰。同時(shí)，函數(shù)與方程思想與學(xué)生的日常生活關(guān)系密切，能夠被廣泛用于解答各種現(xiàn)實(shí)問題。

以生活中收話費(fèi)與景區(qū)買票的問題為例。例題一：移動公司有兩種不同的收費(fèi)業(yè)務(wù)，第一種收費(fèi)業(yè)務(wù)要求用戶繳納每月10元的月租費(fèi)，通話一分鐘則收0.3元話費(fèi);第二種業(yè)務(wù)則免去用戶的月租費(fèi)，但每分鐘的話費(fèi)比第一種貴0.1元。請問在何種情況下選擇第一種業(yè)務(wù)，在何種情況下選擇第二種業(yè)務(wù)？例題二：東方文化公司組織全公司40人至知名景點(diǎn)進(jìn)行團(tuán)建，該景點(diǎn)的單人成人票價(jià)格為30元每人，但該景點(diǎn)規(guī)定團(tuán)體購買門票則能夠以團(tuán)隊(duì)套餐的形式給予優(yōu)惠，每個(gè)團(tuán)體人數(shù)滿40人則可享受七折優(yōu)惠。東方文化公司前往該景點(diǎn)時(shí)，當(dāng)天恰好是國際婦女節(jié)，因此景區(qū)為女性游客提供五折優(yōu)惠。團(tuán)體優(yōu)惠和婦女節(jié)優(yōu)惠不能共享，請你幫東方文化公司選擇最實(shí)惠的方案。顯然，這兩道題需要用到函數(shù)與方程思想。教師先要求學(xué)生根據(jù)題意列出具體的函數(shù)關(guān)系式，然后將不等式的知識融入解題過程中，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)判斷計(jì)算結(jié)果，得出最實(shí)惠的方案。

五、類比聯(lián)想思想方法

數(shù)學(xué)知識之間有著內(nèi)在聯(lián)系，因而找出相關(guān)知識的相似點(diǎn)能建立解決問題的邏輯鏈條，并通過猜想、假設(shè)等方式找出答案。學(xué)生類比已有知識與新知識，將知識規(guī)律推廣到相似的知識模塊之中，這有利于他們得到新結(jié)論。類比聯(lián)想思想的核心是猜想與推理，猜想與推理的構(gòu)成體現(xiàn)著從某一已知領(lǐng)域朝著另一未知領(lǐng)域過渡的過程。教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生提供背景材料，激發(fā)學(xué)生的思維活力，鼓勵學(xué)生挖掘新舊知識之間的聯(lián)系，利用已經(jīng)掌握的知識探索新的知識領(lǐng)域。

如學(xué)生初次接觸分式時(shí)，學(xué)習(xí)分式的加減法存在困難。教師可引導(dǎo)學(xué)生思考分?jǐn)?shù)的加減法，使學(xué)生類比分?jǐn)?shù)的加減法進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生在類比過程中鞏固分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法，同時(shí)發(fā)現(xiàn)分式與分?jǐn)?shù)計(jì)算的相同點(diǎn)，逐漸學(xué)會融會貫通。探究分式的意義時(shí)，學(xué)生需對不同分式的分母進(jìn)行分類討論，這一過程也可類比分?jǐn)?shù)分母的情況。

再如，學(xué)生學(xué)習(xí)一次函數(shù)的知識時(shí)采用的是待定系數(shù)的方法，對一次函數(shù)的研究則利用列表、描點(diǎn)、連線等方法。學(xué)生研究一次函數(shù)的方法可完全類比到探究二次函數(shù)或反比例函數(shù)等其他函數(shù)的過程之中。

六、整體思想方法

整體思想要求學(xué)生建立題目信息和所求數(shù)學(xué)問題的具體聯(lián)系，從整體的角度思考問題，在建立整體的輪廓后回歸局部，思考整體中的細(xì)節(jié)。在傳統(tǒng)教學(xué)過程中，許多學(xué)生無法從整體上把握問題的本質(zhì)，而是過度糾結(jié)于問題的細(xì)節(jié)與局部特征，這導(dǎo)致學(xué)生對問題中的不同信息點(diǎn)把握不到位。教師在教學(xué)中滲透整體思想方法，學(xué)生能夠?qū)栴}中獨(dú)立又有著內(nèi)在聯(lián)系的量視為整體進(jìn)行處理，這不僅有效提升了解題的效率，還使學(xué)生的思維更加多元化。

以初中數(shù)學(xué)中典型的路程問題為例。小白與小黑兩位同學(xué)的家相隔100千米，兩人同時(shí)從各自的家出發(fā)并相向而行，小白走6千米用時(shí)一小時(shí)，小黑走4千米用時(shí)一個(gè)小時(shí)。小白同學(xué)的寵物狗同時(shí)出發(fā)，寵物狗每個(gè)小時(shí)能前進(jìn)10千米。寵物狗遇到小黑時(shí)便立刻朝著小白的方向走，遇到小白時(shí)又馬上朝著小黑的方向走，循環(huán)往復(fù)直到小白、小黑兩位同學(xué)相遇。請問小白的寵物狗走了多少千米？

許多學(xué)生遇到此類題目時(shí)茫無頭緒，這是因?yàn)閷W(xué)生并不知道寵物狗往返時(shí)小白、小黑兩名同學(xué)之間的距離。然而，如果學(xué)生能夠應(yīng)用整體思想思考這一問題，問題便能迎刃而解。首先，學(xué)生將小白、小黑看作一個(gè)整體，那么這一整體的速度便為10千米每小時(shí)，按照這一速度行進(jìn)100千米會耗時(shí)10個(gè)小時(shí)。根據(jù)題目所給消息，寵物狗在跑步的過程中并沒有休息，從整體的角度來看，這就意味著寵物狗奔跑的全程為100千米。

數(shù)學(xué)思想主要指學(xué)生在解題過程中使用的各類解題策略，是對具體數(shù)學(xué)解題過程的抽象概括。新課程改革的理念要求教師強(qiáng)化對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培育，使學(xué)生形成從數(shù)學(xué)的角度看待問題、解決問題的基本能力。初中數(shù)學(xué)教師需不斷探究具有創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)思想培育方式，廣泛應(yīng)用現(xiàn)有的教學(xué)資源增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的長足發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]張大吉.數(shù)學(xué)化思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（10）：90-91.

[2]馮靜嫻.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法[J].教學(xué)管理與教育研究，2020（6）：84-86.

[3]何仲信.探析如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想[J].考試周刊，2020（34）：78-79.

[4]王志強(qiáng).淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2020（9）：32.

[5]白 輝.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].科學(xué)咨詢，2020（15）：220.

[6]趙艷紅.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的應(yīng)用研究[J].家長（上旬刊），2020（3）：115-116.

[7]蔡美玉.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的滲透[J].西部素質(zhì)教育，2019（24）：72-73.

作者簡介：羅昭波（1965— ），男，中學(xué)高級教師，本科，教研員，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。