基于五粒子不對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)的量子秘密共享方案

夏紅紅 汪學(xué)明 楊萬(wàn)鑫

(貴州大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 貴州 貴陽(yáng) 550025)

0 引 言

秘密共享是一種密碼技術(shù)，在過(guò)去的密碼技術(shù)中，秘密過(guò)于集中，利用秘密共享技術(shù)可以分散風(fēng)險(xiǎn)，是信息安全和數(shù)據(jù)保密中的重要手段。其思想是：發(fā)送者想要發(fā)送秘密給其他人，必須所有人一起合作才能恢復(fù)秘密，至少有一方可信，這樣可以很好地避免一方或雙方不誠(chéng)實(shí)導(dǎo)致秘密也無(wú)法重構(gòu)的問(wèn)題。

秘密共享是一種由多方參與共同管理秘密的方法[1]，最初的動(dòng)機(jī)是解決密鑰管理問(wèn)題。高明等[6]提出了量子多方秘密共享方案，使得所有的對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)都可以通過(guò)隱形傳態(tài)來(lái)完成秘密共享協(xié)議。邵婷婷等[7]提出一種基于Bell態(tài)的(3,3)量子秘密共享方案，進(jìn)行局域操作對(duì)比三者的測(cè)量結(jié)果可以推算出發(fā)送者發(fā)送的信息,實(shí)現(xiàn)(3,3)量子秘密共享。

無(wú)論在理論還是實(shí)驗(yàn)方面，各種各樣基于bell態(tài)或GHZ態(tài)等糾纏態(tài)的量子秘密共享方案陸續(xù)被提出[8-14]，大多數(shù)都是基于對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)。Bae等[15]提出了一個(gè)三方量子隱形傳態(tài)基于非對(duì)稱(chēng)態(tài)，該方案表明非對(duì)稱(chēng)量子信道的量子隱形傳態(tài)可以比對(duì)稱(chēng)信道的量子隱形傳態(tài)傳遞更多的量子信息，即非對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)作為量子信道可能更有用。本文提出了基于五粒子不對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)的量子秘密共享方案。一個(gè)重構(gòu)秘密是未知單粒子態(tài)，另一個(gè)是未知雙粒子態(tài)。當(dāng)重構(gòu)秘密是未知單粒子態(tài)時(shí)，發(fā)送者需要將所持有的粒子和別的粒子進(jìn)行bell測(cè)量消去，協(xié)助者進(jìn)行單粒子態(tài)測(cè)量，最后重構(gòu)者進(jìn)行相應(yīng)的幺正變換就可以恢復(fù)原始秘密。當(dāng)重構(gòu)秘密是未知雙粒子態(tài)時(shí)，發(fā)送者與參與者的粒子進(jìn)行bell基測(cè)量消去，重構(gòu)者進(jìn)行受控非門(mén)操作后，引入輔助粒子進(jìn)行CNOT操作，恢復(fù)未知雙粒子態(tài)。本文通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，不是所有的非對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)都可以通過(guò)隱形傳態(tài)來(lái)實(shí)現(xiàn)量子秘密共享。

1 未知單粒子態(tài)的量子秘密共享

存在三個(gè)合法的參與者Alex、Bess、Candy來(lái)參與量子秘密的共享，其中Alex發(fā)送秘密消息，Bess和Candy是消息的代理者，需要他們一起合作才能重構(gòu)Alex的消息?，F(xiàn)在Alex所要傳送的未知單粒子態(tài)為：

|φ〉n=α|0〉n+β|1〉n

(1)

式中：α和β滿足|α|2+|β|2=1，且α和β是復(fù)數(shù)。Alex、Bess、Candy共享一個(gè)不對(duì)稱(chēng)的五粒子糾纏態(tài) ：

|11110〉)12345

(2)

Alex擁有量子信道中的3個(gè)粒子1、3、4，Bess和Candy擁有粒子2和5，則秘密消息和共享的五粒子不對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)組成的復(fù)合系統(tǒng)為：

|01101〉+|10011〉+|11110〉)12345

(3)

要想重構(gòu)出秘密，首先Alex對(duì)所持有的3個(gè)粒子以及未知粒子對(duì)(1,n)和(3,4)分別進(jìn)行bell測(cè)量。

由于糾纏變換的作用，所持有的粒子態(tài)將會(huì)塌縮到以下情況之一：

(β|01〉+|10〉)25]

(4)

(β|01〉+|10〉)25]

(5)

(β|00〉+|11〉)]25

(6)

(β|00〉+|11〉)]25

(7)

不失一般性，假設(shè)bell測(cè)量結(jié)果為|ψ+〉n134，根據(jù)測(cè)量結(jié)果，Bess和Candy可知道各自的粒子處于何種狀態(tài)，根據(jù)式(6)，將Bess和Candy塌縮的態(tài)寫(xiě)為：

|11〉)25]

(8)

|1〉2(α|0〉+β|1〉)5]

(9)

1.1 Candy為秘密重構(gòu)者

想要恢復(fù)出未知量子態(tài)信息，需要Bess的協(xié)助，Bess對(duì)自己所持有的粒子2作單粒子測(cè)量。如果Bess的測(cè)量結(jié)果是|0〉2，那么Candy將會(huì)塌縮到態(tài)α|1〉5+β|0〉5，此時(shí)Candy對(duì)粒子5實(shí)施幺正操作σx，將粒子5轉(zhuǎn)化為態(tài)α|0〉5+β|1〉5，這個(gè)態(tài)就是Alex發(fā)送的原始量子態(tài)；如果Bess的測(cè)量結(jié)果是|1〉2，那么Candy將會(huì)塌縮到態(tài)α|0〉5+β|1〉5，無(wú)須任何幺正操作，這個(gè)態(tài)就是所需要的未知態(tài)。方案具體結(jié)果見(jiàn)表1。其中：M為Alex對(duì)粒子1、m、3、4的bell態(tài)測(cè)量結(jié)果；M2為Bess對(duì)粒子2進(jìn)行的單粒子測(cè)量結(jié)果；|φ〉5是Bess發(fā)布測(cè)量結(jié)果之后塌縮的態(tài)；Ub為Candy要恢復(fù)Alex發(fā)送的未知單粒子態(tài)所需要做的幺正操作。

表1 Candy重構(gòu)秘密結(jié)果匯總1

1.2 Bess為秘密重構(gòu)者

和上述方法相同，Candy重構(gòu)秘密具體結(jié)果見(jiàn)表2。發(fā)送者Alex對(duì)自己所持有的3個(gè)粒子與1個(gè)未知單粒子進(jìn)行bell測(cè)量，每次bell測(cè)量可消去2個(gè)粒子，4個(gè)粒子進(jìn)行2次bell測(cè)量即可消去，剩余Bess和Candy的2個(gè)粒子。一方想要恢復(fù)秘密，需要另一方的協(xié)助，協(xié)助方對(duì)自己粒子做單粒子測(cè)量，重構(gòu)方可以根據(jù)輔助方的測(cè)量結(jié)果，通過(guò)幺正變換恢復(fù)未知量子態(tài)信息。M5是Candy對(duì)粒子5進(jìn)行的單粒子測(cè)量結(jié)果，|φ〉2是Candy發(fā)布測(cè)量結(jié)果之后塌縮的態(tài)，Uc是Bess要恢復(fù)Alex發(fā)送的未知單粒子態(tài)所需要做的幺正操作。

表2 Bess重構(gòu)秘密結(jié)果匯總1

2 未知雙粒子態(tài)的量子秘密共享

假設(shè)三個(gè)合法的參與者Alex、Bess、Candy，Alex發(fā)送了一個(gè)未知的雙粒子態(tài)：

|φ〉12=α|00〉12+β|11〉12

(10)

式中：α和β滿足|α|2+|β|2=1，并且α和β都是復(fù)數(shù)。Alex已知α和β的值，3個(gè)合法參與者仍然利用一個(gè)不對(duì)稱(chēng)的五粒子糾纏態(tài)作為量子信道：

|11110〉)34567

(11)

Alex擁有量子信道中的2個(gè)粒子3和4，粒子5和6給Bess，粒子7給Candy，則秘密消息和共享的五粒子不對(duì)稱(chēng)態(tài)組成的復(fù)合系統(tǒng)為：

|01110〉+|10101〉+|11110〉)34567

(12)

要想重構(gòu)出秘密，首先Alex對(duì)所持有的2個(gè)粒子以及未知粒子對(duì)(1,3)和(2,4)分別進(jìn)行bell態(tài)測(cè)量。

由于糾纏變換的作用，所持有的粒子態(tài)將會(huì)塌縮到以下情況之一：

24〈φ±|13〈φ+|δ〉1～6=24〈φ?|13〈φ-|δ〉1～6=

(13)

24〈ψ±|13〈φ+|δ〉1～6=24〈ψ?|13〈φ-|δ〉1～6=

(14)

24〈φ±|13〈ψ+|δ〉1～6=24〈φ?|13〈φ-|δ〉1～6=

(15)

24〈ψ±|13〈ψ+|δ〉1～6=24〈ψ?|13〈φ-|δ〉1～6=

(16)

發(fā)送方擁有的粒子糾纏態(tài)信息已經(jīng)傳遞到粒子5、6、7上。由粒子塌縮的結(jié)果可知，式(13)和式(15)重復(fù)，式(14)和式(16)重復(fù)，他們重構(gòu)未知量子信息的方案是一樣的。所以只對(duì)式(13)和式(14)做方案說(shuō)明，將式(13)和式(14)的狀態(tài)化為：

(17)

(18)

(19)

(20)

2.1 Bess為秘密重構(gòu)者

Bess以粒子6為控制比特，粒子7為目標(biāo)比特[17]，對(duì)式(17)-式(20)做受控非門(mén)運(yùn)算，得到：

(21)

(22)

(23)

(24)

以式(21)為例，如果Bess想要恢復(fù)量子信息，需要引入一個(gè)初始態(tài)為|0〉8的輔助粒子8，則由粒子6和粒子8構(gòu)成的雙粒子的態(tài)可表示為 (α|0〉+β|1〉)6?|0〉8，Bess對(duì)雙粒子實(shí)施一個(gè)C-NOT操作，把粒子6作為控制比特，粒子8作為靶比特，將會(huì)得到|ψ〉68=α|00〉68+β|11〉68，這個(gè)態(tài)就是Alex所要發(fā)送的初始未知態(tài)。當(dāng)受控非門(mén)運(yùn)算為式(22)時(shí)，Bess需要對(duì)粒子6實(shí)施一個(gè)幺正操作σx，引入輔助粒子恢復(fù)出未知量子信息。具體結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 Bess重構(gòu)秘密結(jié)果匯總2

表3中：BSM表示Alex對(duì)粒子實(shí)施bell態(tài)測(cè)量的結(jié)果，數(shù)字下標(biāo)表示(1,3)和(2,4)；CM表示經(jīng)過(guò)受控非門(mén)后的狀態(tài)；NM表示引入輔助粒子；U6表示Bess恢復(fù)量子信息需要進(jìn)行的幺正操作和CNOT操作。

2.2 Candy為秘密重構(gòu)者

Candy以粒子7為控制比特，粒子6為目標(biāo)比特，對(duì)式(17)-式(20)做受控非門(mén)運(yùn)算，得到：

(25)

(26)

(27)

(28)

以式(27)為例，如果Candy想要恢復(fù)量子信息，需要引入一個(gè)初始態(tài)為|0〉9的輔助粒子9，則由粒子7和粒子9構(gòu)成的雙粒子的態(tài)可表示為 (α|0〉+β|1〉)7?|0〉9，Candy對(duì)雙粒子實(shí)施C-NOT操作，把粒子7作為控制比特，粒子9作為靶比特，將會(huì)得到 |ψ〉79=α|00〉79+β|11〉79，這個(gè)態(tài)就是Alex所要發(fā)送的初始未知態(tài)。當(dāng)受控非門(mén)運(yùn)算為式(26)時(shí)，Bess需要對(duì)粒子6實(shí)施一個(gè)幺正操作iσy，引入輔助粒子恢復(fù)出未知量子信息。具體結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 Candy重構(gòu)秘密結(jié)果匯總2

表4中：U7表示Candy需要進(jìn)行的幺正操作和CNOT操作。

3 方案分析

3.1 正確性分析

本文方案嚴(yán)格參照bell基測(cè)量消去粒子進(jìn)行2次測(cè)量，每次測(cè)量消去2個(gè)粒子，在剩余2個(gè)粒子中，引入一個(gè)輔助粒子施加受控非門(mén)操作或1個(gè)粒子進(jìn)行單粒子態(tài)測(cè)量，最后秘密重構(gòu)者進(jìn)行相應(yīng)的幺正操作恢復(fù)未知量子態(tài)信息。整個(gè)過(guò)程基于量子秘密共享、bell測(cè)量、受控非門(mén)操作、幺正變換等操作，使量子態(tài)在粒子間相互轉(zhuǎn)換來(lái)重構(gòu)秘密，具備正確性。

3.2 安全性分析

3.2.1外部攻擊

假設(shè)Eve糾纏的輔助粒子為|0〉e，Alex的測(cè)量結(jié)果為|φ+〉24,則Bess、Candy和Eve組合的態(tài)變?yōu)椋?/p>

(α|101〉+α|110〉+β|101〉+β|110〉)567?

|0e=(α|1010〉+α|1100〉+β|1010〉+

β|1100〉)567e

(29)

經(jīng)過(guò)提取公因式和引入輔助粒子進(jìn)行受控非門(mén)操作，最后塌縮到(α|00〉+β|11〉)|0〉e，可以看出Eve并未獲取到任何有用的信息。同樣假設(shè)Eve糾纏的輔助粒子為|1〉e，Alex的測(cè)量結(jié)果為|ψ-〉24,則Bess、Candy和Eve組合的態(tài)變?yōu)椋?/p>

(α|101〉+α|110〉+β|101〉-β|110〉)567?

|0e=(α|1010〉+α|1100〉+β|1010〉-

β|1100〉)567e

(30)

直到塌縮到(α|00〉+β|11〉)|0〉e，Eve仍未獲取到任何有用的信息。

3.2.2內(nèi)部攻擊

假設(shè)參與者一方不誠(chéng)實(shí)，若Bess一方不誠(chéng)實(shí)，Bess攔截Alex發(fā)送給Candy的信道粒子，由于Bess無(wú)法知道Candy的信息，他每次猜中的概率為50%，次數(shù)越多，概率越小，過(guò)程中會(huì)因誤碼率增加而被中斷通信。此外，對(duì)參與者和秘密發(fā)送方進(jìn)行認(rèn)證，并安全地檢測(cè)通信之間的量子信道，也能識(shí)別出是假冒的。所以一方不誠(chéng)實(shí)者獲取不了未知粒子信息。同樣Alex和Candy將部分測(cè)量結(jié)果公布出來(lái)，通過(guò)驗(yàn)證也能發(fā)現(xiàn)Bess是不誠(chéng)實(shí)的。同樣參與者兩方Bess和Candy不誠(chéng)實(shí)，通過(guò)相關(guān)驗(yàn)證也能被發(fā)現(xiàn)。

3.3 對(duì)比分析

文獻(xiàn)[16-17]提出了基于三粒子不對(duì)稱(chēng)糾纏信道的未知單粒子態(tài)和雙粒子糾纏態(tài)的共享方案,并提出了基于四粒子不對(duì)稱(chēng)糾纏信道的未知雙粒子糾纏態(tài)的共享方案，需要實(shí)施GHZ態(tài)測(cè)量和聯(lián)合幺正操作。而本文利用五粒子不對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)解決了秘密共方案，操作簡(jiǎn)單，不需要實(shí)施GHZ態(tài)測(cè)量，幺正操作也不需要聯(lián)合處理，最后一步進(jìn)行即可。文獻(xiàn)[2]利用對(duì)稱(chēng)粒子糾纏態(tài)作為量子信道完成未知單粒子秘密共享。本文利用非對(duì)稱(chēng)五粒子糾纏態(tài)除了解決了未知單粒子態(tài)的秘密共享，還有未知雙粒子態(tài)的秘密共享,進(jìn)一步增加了方案的可選擇性。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文基于五粒子不對(duì)稱(chēng)糾纏態(tài)，提出一個(gè)量子秘密共享的方案。安全分析表明，任何一方不靠其他參與者的協(xié)助都無(wú)法重構(gòu)秘密，本文方案是安全的。下一步將深入研究不對(duì)稱(chēng)量子信道以及多方量子通信的量子秘密共享方案及其應(yīng)用。