閥控非對(duì)稱液壓缸數(shù)學(xué)模型及建模方法研究

李曉園， 陳炘， 葉鵬， 李鑫， 徐祥， 蔣輝， 李瓊柱

(紅塔煙草(集團(tuán))有限責(zé)任公司 玉溪卷煙廠,云南 玉溪653100)

0 引 言

液壓控制系統(tǒng)的種類及分類方法很多，根據(jù)液壓放大器與執(zhí)行元件的不同組合，可分成閥控缸、閥控馬達(dá)、泵控缸、泵控馬達(dá)4種[1-2]，其中閥控缸響應(yīng)快、精度高、應(yīng)用最廣。目前實(shí)際使用中的伺服閥，主閥部分多以四通滑閥為主，這是一種結(jié)構(gòu)對(duì)稱的閥，進(jìn)油側(cè)和回油側(cè)的結(jié)構(gòu)參數(shù)完全相同[3-5]。當(dāng)信號(hào)大小不變，僅改變極性時(shí)，閥芯運(yùn)動(dòng)方向改變，只變換了執(zhí)行元件的進(jìn)出油口，伺服閥兩側(cè)的系統(tǒng)及控制參數(shù)并沒有變化。若采用雙桿活塞油缸（又稱為對(duì)稱油缸），則執(zhí)行元件也是對(duì)稱的，此時(shí)的執(zhí)行元件只是運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生了變化，其余速度推力等基本參數(shù)和未換向前一樣。由于這種結(jié)構(gòu)對(duì)稱導(dǎo)致的控制對(duì)稱、力學(xué)及運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)對(duì)稱，給應(yīng)用帶來了極大的方便，使得對(duì)稱閥及對(duì)稱缸的組合形式在相當(dāng)長的一段時(shí)間內(nèi)居于統(tǒng)治地位[6]。

單桿活塞油缸只有一邊有活塞桿，兩腔面積不等，所以又稱為非對(duì)稱液壓缸。與雙桿油缸相比，結(jié)構(gòu)簡單、泄漏部位少，同等行程的條件下外形尺寸小，對(duì)于一些大型設(shè)備或外形尺寸受限的場合有明顯的優(yōu)勢(shì)。近年來，閥控非對(duì)稱缸應(yīng)用逐漸增多，但所使用的閥仍然是對(duì)稱的。相對(duì)系統(tǒng)而言，這就使得系統(tǒng)的整體對(duì)稱性受到了破壞，執(zhí)行元件在兩個(gè)方向上的力學(xué)運(yùn)動(dòng)參數(shù)都發(fā)生了變化[7-11]。要想雙向都具有滿意的控制性能，必須對(duì)依據(jù)對(duì)稱特點(diǎn)建立的數(shù)學(xué)模型及控制策略都做出相應(yīng)的改變。多年研究積累至今，已產(chǎn)生了許多種閥控非對(duì)稱缸的數(shù)學(xué)模型[12-15]。這些模型因研究者著眼點(diǎn)、簡化方法不同，從形式到內(nèi)涵都有一定的差異，根據(jù)數(shù)學(xué)模型得出的伺服系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)、結(jié)論也必然不同，這就給以閥控缸為動(dòng)力元件的液壓伺服系統(tǒng)設(shè)計(jì)使用帶來不便，為此對(duì)各種閥控非對(duì)稱缸的數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)及適用范圍作一個(gè)討論是很有必要的。

1 現(xiàn)有閥控非對(duì)稱缸數(shù)學(xué)模型及建模方法分析

1.1 基本方程

目前數(shù)學(xué)建模一般采用分別建立伺服閥和液壓缸的基本方程，再加以化簡的方式完成。閥控非對(duì)稱缸無桿腔進(jìn)油的計(jì)算簡圖如圖1所示，基本方程有3類，共5個(gè)方程式。

圖1 無桿腔進(jìn)油計(jì)算簡圖

2）油缸連續(xù)方程：

3）油缸力平衡方程：

式中：V1為油缸無桿腔有效容積，m3；V2為油缸有桿腔有效容積，m3；P1為油缸無干腔壓力，Pa；P2為油缸有桿腔壓力，Pa；A1為油缸無桿腔面積，m2；A2為油缸有桿腔面積，m2；Ce為油缸外泄漏系數(shù)，m5/N·s；Ci為油缸內(nèi)泄漏系數(shù)，m5/N·s；Ps為油泵供油壓力，Pa；y為油缸活塞桿的位移，m；x為伺服閥閥芯的位移，m；F（t）為等效總外負(fù)載，N；Cd為伺服閥流量系數(shù)；ω為伺服閥主閥閥芯面積梯度，m；C為等效黏性阻尼系數(shù)，N·s/m；βe為油液等效體積彈性模量，Pa；M為運(yùn)動(dòng)部件總質(zhì)量，kg；Ks為等效負(fù)載彈簧剛度，N/m；ρ為油液密度；V˙1=A1y˙；V˙2=A2y˙。

式（1）～式（3）即為閥控非對(duì)稱缸無桿腔進(jìn)油時(shí)的基本方程。

1.2 數(shù)學(xué)模型

線性化取增量式，作拉氏變換后消去中間變量Q1、Q2、P1、P2并簡化，理論上就能得出以x為輸入、FΣ為干擾、y為輸出的較精確的傳遞函數(shù)模型。但這樣所得的傳遞函數(shù)非常復(fù)雜，實(shí)際上無法進(jìn)行有效分析并得出有價(jià)值的結(jié)論。為此，現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型都是對(duì)上述基本方程作了各種簡化處理后得出的。常用的方法是仿照閥控對(duì)稱缸的處理方式，引入負(fù)載壓力PL、負(fù)載流量QL及靜態(tài)條件下的連續(xù)方程進(jìn)行簡化。PL、QL定義不同就可得出不同的輔助方程，由此得到不同的傳遞函數(shù)模型，常見的有以下3種。

1）取輔助方程為：

以上3種輔助方程所得出式（5）、式（7）、式（9）所示的傳遞函數(shù)模型，式中各系數(shù)的組成及意義，請(qǐng)參考其各自的源文獻(xiàn)，此處不再一一說明。

以上3種方法的區(qū)別主要在于輔助方程的選取，比較各方法，可發(fā)現(xiàn)輔助方程的差別是由于對(duì)PL、QL的定義及表達(dá)不同引起的，現(xiàn)將我們對(duì)于上述方程的認(rèn)識(shí)討論如下供大家參考：

1）QL的定義。相對(duì)于活塞運(yùn)動(dòng)所需的流量而言，缸的泄漏量與液容效應(yīng)可產(chǎn)生的流量很小，若是對(duì)稱油缸忽略此二項(xiàng)后，可得

此時(shí)的QL可以視為Q1、Q2的穩(wěn)態(tài)近似值，應(yīng)該是合理且無可非議的。但是對(duì)于非對(duì)稱液壓缸來說，任何時(shí)候Q1都不可能等于Q2，在此定義下，系統(tǒng)中已找不到與之對(duì)應(yīng)的實(shí)際流量，由此帶來定義上的偏差是不可避免的，故QL的上述這種定義對(duì)于非對(duì)稱液壓缸不適用。

2）PL的定義。若為對(duì)稱油缸則：A1=A2，令FΣ=my¨+By˙+Ky+f（t）稱為總負(fù)載，令：則此時(shí)式（3）仍然成立，負(fù)載關(guān)系的定義也不變，而PL=P1-P2，已找不到與FΣ之間的簡單對(duì)應(yīng)關(guān)系了。顯然對(duì)于非對(duì)稱液壓缸來說，PL只能采用式（13）的定義。

3）文獻(xiàn)[3]分析了PL、QL的定義，從功率平衡的角度證明了QL=(Q1+Q2)/2及PL=P1-P2的定義是不可能的，在輸入輸出功率平衡的基礎(chǔ)上提出采用QL=Q1；PL=P1-nP2作為輔助方程，這里Q1是油缸進(jìn)油腔流量，顯然這種定義方式避免了本節(jié)第1）段中所述QL的缺陷，更為合理。

4）靜態(tài)方程的引入。以上3種簡化方法都引用下式：

此方程后一半是從式（1）直接得出的精確表達(dá)式，前一半則是在忽略液容效應(yīng)及泄漏量后根據(jù)靜態(tài)連續(xù)方程得出的?？紤]實(shí)際使用中作為伺服系統(tǒng)中可用的油缸泄漏極小，液容效應(yīng)產(chǎn)生的流量與油缸運(yùn)動(dòng)所需流量相比很小，作此簡化產(chǎn)生的誤差是可以接受的，這也是迄今為止，各種模型簡化都無一例外采用的原因?？疾槭剑?）、式（7）、式（9）可以發(fā)現(xiàn)，3種簡化方法所得到的模型非常接近，但由于輔助變量選取的不同，所得模型的準(zhǔn)確程度是有差別的，根據(jù)前面對(duì)輔助方程的討論，以方法（3）的假設(shè)更為合理，可信度理應(yīng)最高。

2 精確建模方法

從現(xiàn)有的簡化方法可以看到輔助變量PL、QL只是作為運(yùn)算用的中間變量，在最終結(jié)果中并不出現(xiàn)，預(yù)先設(shè)置PL、QL并非絕對(duì)必要。相反PL、QL的定義不當(dāng)或不準(zhǔn)確，還可能產(chǎn)生額外的誤差。若能拋棄這一不必要的環(huán)節(jié)，保留較簡單、合理的靜態(tài)方程為輔助方程，其余直接由基本方程出發(fā)，應(yīng)該能夠得出更為精確的數(shù)學(xué)模型?？紤]到非對(duì)稱液壓缸雙向的差異，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向的進(jìn)油情況并不相同，強(qiáng)行將兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向的數(shù)學(xué)模型統(tǒng)一用一個(gè)方程表達(dá)并不可取，兩種進(jìn)油方式對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型應(yīng)分別考慮。

2.1 無桿腔進(jìn)油

如圖1所示，閥控非對(duì)稱缸無桿腔進(jìn)油，此時(shí)的靜態(tài)連續(xù)方程為

從式（20）消去Q1（s）、P1(s)、P2(s) 后可得閥控非對(duì)稱缸無桿腔進(jìn)油時(shí)的傳遞函數(shù)模型為

式中：

圖2 有桿腔進(jìn)油計(jì)算簡圖

2.2 有桿腔進(jìn)油

閥控非對(duì)稱缸有桿腔進(jìn)油的計(jì)算簡圖如圖2所示，此時(shí)的靜態(tài)連續(xù)方程為

化簡后可得

與基本方程組合可得簡化的有桿腔進(jìn)油時(shí)非線性模型為：

將式（25）線性化取增量式，可得有桿腔進(jìn)油時(shí)的線性化增量數(shù)學(xué)模型為：

對(duì)比式（23）、式（31）兩式，二者結(jié)構(gòu)、階次完全相同，但系數(shù)有很大差別，說明非對(duì)稱油缸兩個(gè)方向上的控制性能是不一樣的，必須分別建模，區(qū)別處理。

3 結(jié) 語

1）非對(duì)稱油缸的基本方程一定，中間變量的選取對(duì)最終數(shù)學(xué)模型的形式和精度有重大影響。2）非對(duì)稱油缸結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱，導(dǎo)致兩個(gè)方向控制參數(shù)的不對(duì)稱，其數(shù)學(xué)模型也是不一樣的，應(yīng)該分別建模，區(qū)別處理。3）若承認(rèn)非對(duì)稱油缸控制的不對(duì)稱，分別建模，習(xí)慣上的中間變量并非必不可少，完全可以不出現(xiàn)而直接建模。