基于修正主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)理論的抗滑樁樁間土繞流計(jì)算方法

向先超，陳 鑫，沈亞倫，瞿 茹，劉佳豪

（中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，湖北 武漢 430074）

1 研究背景

隨著大量水利工程的興建，形成了許多大型邊坡，國家和地方投入了大量的人力和物力來進(jìn)行這方面的研究和治理。抗滑樁是邊坡治理的一種重要方法，而樁間距的確定是抗滑樁治理工程中的一個重要問題，一般來說，樁間距太小會造成工程浪費(fèi)，樁間距太大則可能造成三種抗滑樁失效問題，即單樁承擔(dān)的滑坡推力過大時樁的折斷、樁間無擠土效應(yīng)時土的繞流和樁前土抗力不足時樁的傾倒。因此在抗滑樁設(shè)計(jì)時必須進(jìn)行三種驗(yàn)算：樁的內(nèi)力驗(yàn)算、滑坡整體滑動驗(yàn)算和樁間土的繞流驗(yàn)算。

樁的內(nèi)力驗(yàn)算與滑坡整體滑動驗(yàn)算方法相對而言較為成熟，而樁間土的繞流驗(yàn)算方法研究則處于起步階段。樁間土的繞流是一個三維問題，由于目前對作用在抗滑樁后滑坡推力分布模式仍采用矩形、三角形、梯形等假設(shè)[1]，從三維方面研究樁間土繞流難度較大，所以大多從二維平面土拱效應(yīng)出發(fā)，以樁間土拱的穩(wěn)定來判斷樁間土是否發(fā)生繞流，即“考慮土拱效應(yīng)的樁間距確定方法”，這類研究[2-3]大都將抗滑樁后土拱效應(yīng)看成“拱結(jié)構(gòu)物”，符合結(jié)構(gòu)力學(xué)中的合理拱軸線方程，采用拱結(jié)構(gòu)力學(xué)傳遞機(jī)制，以拱結(jié)構(gòu)破壞條件建立靜力平衡方程。筆者[4-5]采用離散元方法分析了土拱效應(yīng)的形成及發(fā)展機(jī)制，實(shí)際上“拱結(jié)構(gòu)物”假設(shè)與土拱效應(yīng)相差較大，土拱效應(yīng)起源于顆粒物質(zhì)中的糧倉效應(yīng)，主要描述散粒體物質(zhì)中由于顆粒間的摩擦導(dǎo)致的應(yīng)力轉(zhuǎn)移現(xiàn)象，由“拱結(jié)構(gòu)物”假設(shè)提出的計(jì)算模型依據(jù)不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則，與土拱特征提出的模型計(jì)算結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。

為彌補(bǔ)“拱結(jié)構(gòu)物”的不足，本文將Terzaghi 土拱理論[6]（又稱松動土壓力理論，本質(zhì)是微分單元模型，又稱水平層模型）應(yīng)用于抗滑樁，提出修正主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)理論，建立極限狀態(tài)下樁的荷載分擔(dān)比計(jì)算模型，提出相應(yīng)的樁間土繞流計(jì)算方法。

2 Terzaghi 土拱理論在抗滑樁設(shè)計(jì)計(jì)算中的應(yīng)用

Terzaghi土拱理論由Janssen 連續(xù)介質(zhì)模型發(fā)展而來，Janssen模型中作用在糧倉底部的飽和壓力為：

式中：σh為橫向應(yīng)力；σv為豎向應(yīng)力；K為應(yīng)力轉(zhuǎn)向比，定義為K=σh/σv，在土中則為側(cè)向土壓力系數(shù)；γ為土的重度；μf為顆粒與壁的摩擦系數(shù)；R為圓柱形糧倉的半徑；Q為作用在糧倉表面的均布荷載；h為糧食堆積高度。

式中：c、φ分別為土體內(nèi)摩擦角與黏聚力；B為活動門寬度；H為土拱高度。

與糧倉效應(yīng)不同的是，活動門試驗(yàn)中土能充分發(fā)揮自身抗剪強(qiáng)度的高度（即土拱高度H）要小于土的堆積高度h，Terzaghi建議H取1.5B，因此活動門試驗(yàn)中的超載Q為：

圖1 邊坡中的土拱效應(yīng)

Bosscher[8]將活動門試驗(yàn)結(jié)論引入邊坡-抗滑樁體系，提出如圖1所示的樁后土拱模型，將樁間土視為活動門之上的屈服土體，則B=L，抗滑樁可視為活動門兩旁的固定基礎(chǔ)，即樁徑d 視為固定基礎(chǔ)?？够瑯逗笸凉暗某dQ為：

式中：q為滑坡剩余下滑力；N為土的重度滑沿滑動面傾角方向的分重度；L為樁間凈距；NH為土拱自身剩余下滑力。

N表示如下：

式中：θ為滑動面傾角。

對于矩形截面抗滑樁，樁截面長度為b，樁間凈距為L，水平微分層受力分析如圖2所示，y方向受力平衡，則有：

式中τ為為剪應(yīng)力。

τ表示如下：

圖2 微分單元受力平衡分析

式中：超載Q為拱后剩余下滑力，由式（4）與式（5）確定。土拱高度H采用活動門試驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)關(guān)系，即H=1.5L，且相對于整個坡體長度來講，土拱高度H較小，土拱自身剩余下滑力NH可忽略不計(jì)，建議式（4）中NH 取0，Q 取滑坡剩余下滑力值q，由此樁的荷載分擔(dān)比ξ可表示為：

式中：ξ為樁承擔(dān)的荷載與樁土承擔(dān)的總荷載之比，是表示土中應(yīng)力轉(zhuǎn)移至樁的大小的量，反映土拱效應(yīng)強(qiáng)弱，意義與樁土荷載分擔(dān)比一致。

3 基于修正主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)理論的側(cè)向土壓力系數(shù)

Terzaghi 土拱模型分析方法中，側(cè)向土壓力系數(shù)是微分單元中各點(diǎn)K值的平均值，用表示。由于土拱效應(yīng)的存在，主應(yīng)力發(fā)生旋轉(zhuǎn)，是微分單元各點(diǎn)K值求平均，只有當(dāng)σh、σv均布、主應(yīng)力不旋轉(zhuǎn)時才有，因此主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)理論的關(guān)鍵在于的求解。

3.1 修正的主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)理論Handy 提出，考慮墻土摩擦?xí)r，主動狀態(tài)下的墻土接觸點(diǎn)的側(cè)向土壓力系數(shù)可表達(dá)為：

式中：θ為小主應(yīng)力與水平方向的夾角，大小與墻土摩擦角δ 相關(guān)。

使用水平微分單元方法時，由于豎向應(yīng)力不再均布，Handy 提出用平均豎向應(yīng)力σav代替σv，表示為：

式中σav/σ1由跡線的形狀確定，有：

圖3 主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)下的側(cè)向土壓力系數(shù)分析

實(shí)際上主應(yīng)力的旋轉(zhuǎn)使σh、σv都不再均勻分布，用僅考慮σv變化的式（11）研究擋土墻非線性土壓力問題時會導(dǎo)致水平方向靜力不平衡，為解決此問題，擋墻領(lǐng)域出現(xiàn)了從改變滑裂面[13]與增加水平微分單元間剪應(yīng)力[14]來平衡水平應(yīng)力的方法，也未從根本上解決此問題?；诖耍疚膶κ剑?1）做出修正，將以往研究中主動狀態(tài)下的小主應(yīng)力與水平面的夾角、被動狀態(tài)下的大主應(yīng)力與水平面的夾角，統(tǒng)一為主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)角β，如圖3所示，主應(yīng)力與旋轉(zhuǎn)角β之間的關(guān)系為：

根據(jù)第一應(yīng)力不變量有：

聯(lián)立式（13）與式（14）可得土中一點(diǎn)K的表達(dá)式：

當(dāng)土體處于極限應(yīng)力狀態(tài)下時，有σ3σ1=Ka，式（15）則變?yōu)椋?/p>

此時K 僅與主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)角有關(guān)，本文定義β ∈(0°，45°)為主動狀態(tài)，β ∈(45°，90°)為被動狀態(tài)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角β=0時，K=Ka；當(dāng)β=90°時，K=Kp；當(dāng)β=45°時，有σh=σv，K=1，此時水平方向與豎直方向沒有剪應(yīng)力，為靜水壓力狀態(tài)。若建立圖2所示的坐標(biāo)系，微分單元中的側(cè)向土壓力系數(shù)則為：

3.2 主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)角與主應(yīng)力跡線由式（15）可知，K與主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)角β和實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)σ3/σ1兩個因素有關(guān)。應(yīng)力狀態(tài)σ3σ1代表土內(nèi)摩擦角的發(fā)揮程度，最大為土體的抗剪強(qiáng)度，其大小與土的位移有關(guān)，在靜止?fàn)顟B(tài)K0與極限狀態(tài)Ka、Kp之間變化，當(dāng)位移足夠大時，可達(dá)到極限應(yīng)力狀態(tài)，式（15）則變?yōu)槭剑?6）。β表示應(yīng)力轉(zhuǎn)移的程度，也與豎直方向、水平方向的剪應(yīng)力大小相關(guān)。

4 水平微層側(cè)向土壓力系數(shù)求解

關(guān)于樁-土作用極限分析方法，現(xiàn)認(rèn)可度較高的有三種：楔體滑動法[19]、繞流阻力法[20]、Ito的塑性變形理論法[21]，不同的方法適用于不同的樁距。矩形截面樁下的塑性變形理論法如圖4，De Beer等[22]和Poulos 等[23]分析塑性變形理論時，得到樁間距為樁徑的2.5～5倍下的計(jì)算結(jié)果才與試驗(yàn)符合較好。b/L較大時，計(jì)算結(jié)果過大，大大超過了樁的抗彎強(qiáng)度，b/L較小時，土體不能自穩(wěn)，原因在于破壞面與y方向的夾角α 并不是定值，而是隨樁間距變化的量。

圖4 矩形截面樁中的塑性變形理論

本文對此做出改進(jìn)，根據(jù)莫爾-庫倫準(zhǔn)則，可將破壞角α的變化描述為主應(yīng)力方向的變化，用主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)角β表示，因此塑性變形理論只是某一特定樁距下的樁土極限破壞模式，在這一樁距下有α=45°+φ2，βL=90°（βL是β 在豎直向假設(shè)破壞面上的值），可定義這一特定樁距為Lmin，此時符合塑性變形理論中K=Kp的假設(shè)，如圖5（a）所示。隨著樁間距逐漸增大，βL逐漸由90°減小到0°，當(dāng)βL=0°時，土體已不能自穩(wěn)，為主動朗肯式破壞，K=Ka，可定義這一樁距為Lmax。如圖5（c）所示。

隨著樁間距的增加，樁后土體極限破壞逐漸由被動變?yōu)橹鲃?，定義由被動向主動轉(zhuǎn)換的樁距為L0，假設(shè)βL隨樁距增加而均勻減小，那么主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)角與樁間距的關(guān)系可表示為：

當(dāng)L＜Lmin時，樁土極限破壞不再為圖5所示，Ctpoгahob 等[24]認(rèn)為樁后塑性變形不再局限于樁端，而會向樁后延伸，形成圖6（a）所示的對數(shù)螺旋破壞面，這也揭示了Ito理論在小樁距下不適用的原因。在工程實(shí)際中，土體是三維空間體，不會發(fā)生圖6（a）所示的對數(shù)螺旋破壞，而是發(fā)生沿圖1（b）中的ab線所示的豎直方向上的破壞，即滑動楔體法[19]破壞模式，Lmin為滑動楔體法適用的臨界樁距，根據(jù)散粒體極限平衡理論Lmin有：

當(dāng)L＞Lmax時，樁與樁之間無相互影響，樁土極限破壞為單樁繞流破壞模式，如圖6（b）所示，沈珠江[20]提出臨界樁間距為：

式中a為樁截面寬度。

如果不考慮樁側(cè)面阻力，即a=0時，Lmax可表示為：

將式（19）、式（21）代入式（18），有：

圖6 兩種樁-土極限破壞模式

當(dāng)L ∈(Lmin，L0)時，極限荷載下的樁后土體處于被動狀態(tài)，可用拋物線型大主應(yīng)力跡線描述，建立笛卡爾坐標(biāo)系如圖5（b）所示，根據(jù)對稱關(guān)系x=0，dydx=0，可設(shè)方程為：

且方程滿足下式：

聯(lián)立式（23）、式（24）求得拋物線方程：

方程兩邊同時對x 微分，可得到主應(yīng)力跡線上主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)角β隨坐標(biāo)x的規(guī)律表達(dá)式：

當(dāng)L=Lmin時，需對式（27）取極限有：

當(dāng)L ∈(L0，Lmax)時，樁后土體處于主動狀態(tài)，用小主應(yīng)力跡線描述，根據(jù)對稱關(guān)系x=0，dydx=0，依然可設(shè)方程式為（23），且方程滿足下式：

將（29）代入式（23）求得拋物線方程：

可得到主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)角β隨坐標(biāo)x的關(guān)系：

當(dāng)L=Lmax時，需對式（32）取極限，有：

將式（26）、（32）代入式（8）求得樁間土應(yīng)力表達(dá)式，進(jìn)而代入式（9）即可求出樁的荷載分擔(dān)比。方程與樁間距、樁后推力荷載有關(guān)，采用極限應(yīng)力狀態(tài)假設(shè)時，則只與樁間距變化相關(guān)。

5 樁間土繞流計(jì)算

抗滑樁后土體通過土拱效應(yīng)將應(yīng)力轉(zhuǎn)移至樁上，這種應(yīng)力轉(zhuǎn)移通過土體抗剪強(qiáng)度實(shí)現(xiàn)，土體自身強(qiáng)度不足時，樁間土發(fā)生繞樁流動，因此土體在極限狀態(tài)下時，應(yīng)力遷移的程度最大，樁的荷載分擔(dān)比最大。由此可得出判定樁間土繞流驗(yàn)算新方法：將樁間土穩(wěn)定性系數(shù)定義為極限荷載下樁的荷載分擔(dān)比與實(shí)際荷載下樁的荷載分擔(dān)比之比，穩(wěn)定性系數(shù)大于1則樁間土穩(wěn)定，不發(fā)生繞流，小于1時，樁間土有繞樁流動趨勢。

由于實(shí)際荷載下樁后土體處于非極限狀態(tài)，主應(yīng)力跡線上的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)σ3σ1處于極限狀態(tài)與靜止?fàn)顟B(tài)之間，與土顆粒間位移相關(guān)，難以確定，因此定量地描述樁后土體的非極限狀態(tài)還較為麻煩，建議根據(jù)工程實(shí)測確定實(shí)際荷載下樁的荷載分擔(dān)比。因此本文方法適用于已有的抗滑樁工程樁間土穩(wěn)定性監(jiān)測預(yù)警，并在已有相關(guān)實(shí)際工程監(jiān)測資料積累的基礎(chǔ)上，對類似抗滑樁工程設(shè)計(jì)進(jìn)行樁間土穩(wěn)定性驗(yàn)算。下面對建立的極限樁荷載分擔(dān)比模型計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析。

圖7 土的強(qiáng)度參數(shù)對樁的荷載分擔(dān)比的影響

5.1 土體性質(zhì)對樁的荷載分擔(dān)比的影響假定滑坡剩余下滑力q=200 kPa，樁截面長度b=2 m，取3組黏聚力分別為：c=0 kPa、10 kPa、20 kPa；樁間凈距L=4 m ；內(nèi)摩擦角φ則在22°～39°之間變化（保證L＜L0處于被動狀態(tài)），計(jì)算時可視式（4）中土拱自身剩余下滑力NH=0，則拱后超載Q=q。

計(jì)算結(jié)果如圖7，由圖可知，土體強(qiáng)度參數(shù)c、φ值越大，樁的荷載分擔(dān)比越大。用式（4）計(jì)算樁間土荷載時，可能出現(xiàn)負(fù)值的情況，樁的荷載分擔(dān)比會大于100%，這是因?yàn)闃堕g距很小時，黏聚力不需全部發(fā)揮，土的荷載就已全部轉(zhuǎn)移至樁。

5.2 樁間凈距對樁的荷載分擔(dān)比的影響假定黏聚力為定值c=20 kPa，取3組內(nèi)摩擦角分別為：φ=20°、25°、30°，計(jì)算不同φ 下的臨界樁間凈距，即土拱效應(yīng)存在范圍L ∈(Lmin，Lmax)，并與文獻(xiàn)[25]數(shù)值模擬結(jié)果對比。

由圖8可知，理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果雖未完全吻合，但符合其大致變化趨勢：隨著樁間凈距L的增大，樁的荷載分擔(dān)比顯著降低。同一曲線上，在樁間凈距L=L0附近樁的荷載分擔(dān)比有較大的跨越，跨越幅度隨內(nèi)摩擦角的增大而增大，原因在于主應(yīng)力跡線上的點(diǎn)并非全部處于極限狀態(tài)，導(dǎo)致被動狀態(tài)下結(jié)果偏大，主動狀態(tài)下結(jié)果偏小，因此使用本文方法計(jì)算樁的荷載分擔(dān)比，建議被動狀態(tài)下取值適當(dāng)減小，主動狀態(tài)下的取值適當(dāng)增加。

圖8 樁間凈距對樁的荷載分擔(dān)比的影響

本文對極限樁荷載分擔(dān)比模型計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了對比分析，在后續(xù)抗滑樁工程中可以通過抗滑樁樁土應(yīng)力的全過程監(jiān)測，利用前面建立的模型計(jì)算極限荷載分擔(dān)比與監(jiān)測的實(shí)際荷載分擔(dān)比的比值，對抗滑樁工程的繞流穩(wěn)定性進(jìn)行評價和預(yù)警。積累一定的實(shí)際工程監(jiān)測數(shù)據(jù)后，將可以用于后續(xù)類似抗滑樁工程設(shè)計(jì)的繞流驗(yàn)算。

6 結(jié)論

提出了修正主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)理論，解決了原有主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)理論不滿足水平方向靜力平衡的問題，采用主應(yīng)力跡線方法求解時，對跡線上的點(diǎn)全部作極限狀態(tài)假設(shè)，將導(dǎo)致被動狀態(tài)下結(jié)果稍偏大，主動狀態(tài)下結(jié)果稍偏小。將主應(yīng)力跡線方法應(yīng)用于抗滑樁樁間土繞流計(jì)算，揭示了樁的荷載分擔(dān)比與土體性質(zhì)、樁間凈距的關(guān)系：c、φ值越小，樁的荷載分擔(dān)比越??；L越大，樁的荷載分擔(dān)比越小。定義了極限荷載下樁的荷載分擔(dān)比與實(shí)際荷載下樁的荷載分擔(dān)比之比為樁間土穩(wěn)定性系數(shù)，可用于抗滑樁工程安全性的監(jiān)測預(yù)警，也可在積累一定的工程監(jiān)測數(shù)據(jù)后用于樁間土繞流驗(yàn)算以及基于樁間土穩(wěn)定的樁距的確定。主應(yīng)力跡線法研究還有待進(jìn)一步深化，主應(yīng)力跡線形狀、跡線上土體真實(shí)應(yīng)力狀態(tài)還需進(jìn)一步研究。若將本文成果擴(kuò)展至三維空間，可為滑坡推力非線性分布計(jì)算提供理論依據(jù)。