基于Pasternak地基模型的分層土群樁振動(dòng)阻抗分析

熊 輝，黃旺輝

（湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082）

1 概述

樁基礎(chǔ)在實(shí)際工程中使用廣泛，具有承載力高、適應(yīng)性強(qiáng)、穩(wěn)定性好、材料損耗小、便于施工等特點(diǎn)，并且能夠在各類地質(zhì)環(huán)境中使用，易于滿足各類建筑物的不同要求。目前國內(nèi)外研究群樁土相互作用的求解方法主要有2種：一種是通過有限元和邊界元來解決的整體法或直接法，另一種是相互因子疊加法。WOLF［1］在有限元法基礎(chǔ)上，考慮體系的對(duì)稱性，研究了不同樁數(shù)基礎(chǔ)的阻抗。有限元法適用范圍廣，但是存在計(jì)算量大和使用復(fù)雜等缺陷，對(duì)于眾多實(shí)際工程問題的分析尚存在一定難度。ELAHI［2］等考慮了群樁相互作用和樁土界面土體屈服的影響，采用邊界元法有效地研究了群樁的位移和內(nèi)力，但邊界元法求解推導(dǎo)較復(fù)雜，前、后期的運(yùn)算量較大。相互作用因子的概念最先是由POULOS［3］提出，KAYNIA［4］在POULOS基礎(chǔ)上采用邊界積分法將靜力相互作用因子的原理推廣到群樁動(dòng)力相互作用問題。楊冬英［5］等基于連續(xù)介質(zhì)模型，開展了雙向非均質(zhì)土中樁的縱向動(dòng)力特性研究，連續(xù)介質(zhì)模型概念清楚、理論性強(qiáng)，但針對(duì)層狀地基模型的運(yùn)用仍需要進(jìn)一步研究。

MCCLELLAND和FOCHT［6］是最早提出Winkler地基模型，其將樁比擬成彈性地基梁，地基土等效為一系列的獨(dú)立彈簧和阻尼器。DOBRY和GAZETAS［7］基于Winkler地基模型考慮樁-土-樁相互作用的基礎(chǔ)上，建立了一種計(jì)算群樁動(dòng)力剛度和阻尼的簡(jiǎn)便方法，但此方法直接將樁的位移等同于周圍土的位移，沒有考慮周圍土層和被動(dòng)樁之間的相 互 作 用 關(guān) 系，MAKRIS［8］和GAZETAS［9］等 在此基礎(chǔ)上考慮兩者的動(dòng)力相互關(guān)系，完善了群樁阻抗的簡(jiǎn)便求解方法。并進(jìn)一步研究了彈性地基中樁-土-樁結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用。蒯行成［10-11］等推導(dǎo)了Winkler地基模型的分層土動(dòng)力相互因子，并進(jìn)一步推導(dǎo)了群樁水平動(dòng)力阻抗。熊輝［12］等基于Laplace變換，在Winkler模型中考慮分層土特性，研究了樁頂軸力對(duì)群樁阻抗的影響，推導(dǎo)出了計(jì)算分層土中水平動(dòng)力相互因子的新方法。然而Winkler模型在理論上還不夠完善，忽略了樁身周圍土的抗剪能力，對(duì)于剪切剛度較大的地基土是不適合的。

Pasternak雙參數(shù)地基模型針對(duì)Winkler模型的缺陷，考慮地基土連續(xù)性，將彈簧單元和阻尼器與只能產(chǎn)生剪切變形而不可壓縮剪切層連接，從而引入地基土剪切效應(yīng)，因此雙參數(shù)模型的計(jì)算結(jié)果較Winkler模型更加符合實(shí)際。張望喜［13］等推導(dǎo)了地基反力模量為常數(shù)的長(zhǎng)樁平衡微分方程，其計(jì)算結(jié)果表明雙參數(shù)地基模型適用性優(yōu)于單參數(shù)地基模型。王玨［14］等考察了成層土剪切效應(yīng)的相鄰樁基動(dòng)力因子分析。本文基于Pasternak地基模型，考慮分層土剪切效應(yīng)，采用了一種更加簡(jiǎn)化且能應(yīng)用于任何分層土的計(jì)算方法，并運(yùn)用傳遞矩陣法建立單樁-群樁阻抗計(jì)算方法。進(jìn)一步研究了Pasternak地基模型下軸力對(duì)群樁阻抗作用，考察了土層模量、樁距徑比、軸力等因素對(duì)群樁阻抗的影響。

2 基于Pasternak雙參數(shù)地基模型的分析

2.1 分析模型

如圖1建立雙參數(shù)分層土地基中單樁A的水平振動(dòng)模型。

2.2 單樁水平振動(dòng)微分方程的建立

在推導(dǎo)雙參數(shù)模型單樁-群樁阻抗時(shí)考慮了軸向力的影響，采用GAZETES［15］等提出的近似表達(dá)式作為沿單位樁長(zhǎng)土抗力的簡(jiǎn)化計(jì)算式：

式中：kxi、cxi分別為第i層土提供的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)；Esi為土體壓縮模量；d為樁徑；ρi為土的密度；Vsi為土體剪切波速；ηi為土阻尼比；ω為振動(dòng)圓頻率；a0為無量綱頻率；a0＝ωd／Vsi。

圖1 雙參數(shù)地基模型中單樁水平振動(dòng)相互作用模型Figure 1 Lateral vibration of single pile in a two-parameter foundation model

2.3 傳遞矩陣和單樁阻抗

局部坐標(biāo)下取主動(dòng)樁A第i單元的頂部為z＝0，底部為z＝hi，可得局部單元樁頂和樁端處對(duì)應(yīng)的截面變量關(guān)系為：

在實(shí)際工程中，樁的長(zhǎng)徑比較大，此時(shí)樁可近似視為無限樁長(zhǎng)，樁長(zhǎng)超過了有效樁長(zhǎng)，因此可假定樁底固定［16］，即：

2.4 算例分析

本文中g(shù)xi采用TANAHASHL［18］提出的經(jīng)驗(yàn)公式，即gxi＝d Gxi，剪切層厚度采用YAO［19］提出的影響范圍值，取t＝11d，d為樁徑。

基于上述推導(dǎo)，給出如下實(shí)例分析：?jiǎn)螛堕L(zhǎng)度為37.6 m，樁直徑1 m，其彈性模量和質(zhì)量密度分別為21 GPa、2.35×103kg／m3；計(jì)算土層共分為9層，其各土屬性參數(shù)如表1所示。

表1 場(chǎng)地土的參數(shù)Table 1 Parameters of soil ground

圖2為考慮軸向力的單樁水平阻抗，Kh為水平動(dòng)剛度，Ch為水平阻尼。分析表明，對(duì)于分層土地基，Pasternak模型的單樁阻抗計(jì)算結(jié)果較Winkler模型的計(jì)算結(jié)果偏大，雙參數(shù)地基模型考慮了剪切效應(yīng)，較Winkler模型更加的合理可靠。同時(shí)軸力的存在使單樁的動(dòng)剛度和阻尼降低，因此對(duì)于長(zhǎng)柔樁基考慮軸向力的驗(yàn)算是十分必要的。

圖2 考慮軸向力的單樁水平阻抗Figure 2 Lateral impedances of single pile considering axial

3 橫、軸向共同作用下水平群樁效應(yīng)分析

3.1 群樁分析模型 （如圖3所示）

圖3 分層土-群樁相互作用基本模型Figure 3 Basic scheme of piles-layered-soil interaction

3.2 群樁動(dòng)力相互因子的計(jì)算

通過上述分析得到單樁水平動(dòng)力阻抗函數(shù)，為求解群樁模型建立了理論基礎(chǔ)。單樁和群樁的動(dòng)力特性有較明顯的差異，因此研究群樁的動(dòng)力特性是非常有必要的。如圖4所示，x軸為樁A振動(dòng)方向，θ表示兩樁連線與x軸的夾角，兩樁軸線間的距離為s。

土體的水平位移的衰減函數(shù)：

圖4 兩樁的平面位置示意圖Figure 4 Schematic diagram of two piles

式中：rp為樁半徑；η為土體阻尼比；Vsi為土體剪切波速；VLa為L(zhǎng)ysmer模擬波速；υsi為土體的泊松比。與單樁解法類似，B樁第i單元的截面水平位移、轉(zhuǎn)角、剪力與樁身彎矩頂部與底部的關(guān)系如下：

由此可得被動(dòng)樁樁頂與樁尖的位移、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩的關(guān)系式：

3.3 群樁水平動(dòng)力阻抗

群樁樁數(shù)為n，承臺(tái)為剛體，不考慮其質(zhì)量影響，群樁的水平位移ωG等于各單樁水平位移。而各樁頭位移等于自身樁頂荷載產(chǎn)生的位移與其他樁對(duì)該樁的位移之和，即：

3.4 算例分析

3.4.1 群樁動(dòng)力相互作用因子分析

首先研究群樁的水平動(dòng)力因子，再對(duì)群樁水平動(dòng)力阻抗進(jìn)行分析。以2×2群樁為例，L＝37.6 m，d＝1.2 m，橫向樁距s＝5 m，縱向樁距s＝4 m，Ep＝21 GPa，ρρ＝2.5×103kg／m3，其余參數(shù)與表1相同，并考慮軸向力作用。

以1樁為源樁，圖5為本文及文獻(xiàn)［20］計(jì)算所得動(dòng)力相互作用因子簇。R e(αup)、I m(αup)分別為水平相互因子的實(shí)部和虛部。從圖6可以看出本文計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)［20］結(jié)果基本吻合，本文模型考慮豎向力計(jì)算所得的相互因子實(shí)、虛部均呈現(xiàn)出較文獻(xiàn)數(shù)值偏大的規(guī)律。動(dòng)力因子表現(xiàn)出較大的頻率相關(guān)性，且非振動(dòng)方向布置的樁頻率相關(guān)性更強(qiáng)，同時(shí)樁間距影響較大，在頻率較低時(shí)，樁距越小，相互因子則越大。

圖5 分層土地基動(dòng)力相互因子比較Figure 5 Comparisons of dynamic interaction factors of layered soil foundation

3.4.2 樁距徑比影響分析

以線性地基中4×4群樁為例，假定每根樁分布的樁頂豎向作用力相同，求得的水平動(dòng)力阻抗與Kaynia［4］精確解做對(duì)比，其結(jié)果除以16 Ksh進(jìn)行無量綱化處理，從圖6可以看出本文結(jié)果與文獻(xiàn)［4］的數(shù)值結(jié)果有比較好的一致性，其中Ksh為單樁靜剛度。

圖6 線性地基4×4群樁水平阻抗Figure 6 Lateral dynamic impedance of 4×4 pile groups on linear foundation

同時(shí)雙參數(shù)地基模型下，軸力的存在使剛度和阻尼項(xiàng)曲線都下降，會(huì)產(chǎn)生一定的水平附加位移。

在樁距徑比較小時(shí) s／d＝( )2，群樁的動(dòng)力阻抗隨頻率變化的幅度不大；動(dòng)剛度隨頻率的增加而緩慢的下降，在高頻時(shí)出現(xiàn)負(fù)數(shù)；阻尼有微弱的上升和下降段但基本保持不變；s／d＝5和s／d＝10時(shí)，隨著樁距的增加，圖形波動(dòng)變得復(fù)雜，并隨著頻率的增大出現(xiàn)峰值和谷值，同時(shí)峰值和谷值的出現(xiàn)頻率也不相同。

3.4.3 樁頂軸力影響分析

以2×2群樁為例，兩層土：L／d＝15，s／d＝5，樁土密度比 ρρ／ρs＝1.4，土體阻尼比 η1＝η2＝0.05，泊松比 υs1＝υs2＝0.25，Ep／Es1＝1 000，Ep／Es2＝500，令N0＝πGd，G為土體剪切剛度，分別取N＝0、N0、2N0進(jìn)行分析，結(jié)果如圖7所示。

圖7 群樁水平阻抗隨軸力的變化Figure 7 Variation of lateral impedance of pile group with axis force

從圖7可以看出，與單樁阻抗結(jié)論類似，軸力的存在降低群樁阻抗，同時(shí)軸力的存在會(huì)增加樁頂位移，這一點(diǎn)從單樁阻抗的動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼曲線下降也能看出；在一定范圍內(nèi)，隨著N／N0的逐漸增大，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼的增幅會(huì)加快，N／N0越大，軸力對(duì)動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼的影響也更加顯著。

3.4.4 土層彈模比的影響分析

采用3×3群樁為例，四層層狀地基，參數(shù)如下：L／d＝20，樁距徑比s／d＝5，各層土厚度一致，樁土密度比 ρρ／ρs＝1.3，土體阻尼比 η＝0.05，泊松比υs＝0.25，假定二、三、四層土彈性模量不變，Ep／Es2＝Ep／Es3＝Ep／Es4＝1 000，分別取Es1／Es2為1、3、5，并考慮軸向力影響，結(jié)果如圖8所示。

圖8 群樁水平阻抗隨土層彈模比的變化Figure 8 Variation of lateral impedance of pile group with soil elastic modulus ratio

從圖8可以看出，在本例3×3群樁中，隨著激振頻率的增加，動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼總體上是先增大后逐漸減小，第一層土體彈性模量對(duì)群樁阻抗曲線變化有較大作用，隨著第一層土的彈性模量增大，群樁水平阻抗的峰值隨之增大，同時(shí)峰值出現(xiàn)點(diǎn)后移，即峰值出現(xiàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的激振頻率增大，因此，在實(shí)際工程中，對(duì)于上軟下硬土體地質(zhì)，為了提高對(duì)群樁的約束，可以通過換填部分表層土來實(shí)現(xiàn)，同時(shí)可以加強(qiáng)體系的穩(wěn)定性。

4 結(jié)語

a.本文采用的雙參數(shù)地基模型相比Winkler地基模型單-群樁阻抗計(jì)算結(jié)果都偏大且更精確，完善了Winkler模型研究單-群樁的理論。

b.軸力的存在雖然不能從根本上改變其振動(dòng)形式，但單樁和群樁的阻抗都會(huì)降低，會(huì)產(chǎn)生一定的附加水平位移。

c.群樁的動(dòng)力效應(yīng)不僅和動(dòng)荷載、土層有關(guān)，還和樁距徑比、軸力、樁土彈簧比及樁長(zhǎng)徑比等諸多因素有關(guān)；并且其動(dòng)力效應(yīng)與頻率有很強(qiáng)的關(guān)系，使得群樁動(dòng)力效應(yīng)相比單樁更加復(fù)雜，具有很強(qiáng)的研究性。在樁距徑比較小時(shí)，群樁的動(dòng)力阻抗隨頻率變化的幅度不大，隨著樁距的增加，圖形波動(dòng)性變得復(fù)雜，且群樁的動(dòng)力阻抗隨樁土彈簧比減小而有增大的趨勢(shì)。

d.本文采用方法計(jì)算量相對(duì)較小，計(jì)算也較簡(jiǎn)便，可為實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供參考。