基于微分方程組的液態(tài)熔鹽堆堆芯出口溫度控制

曾文杰，姜慶豐，謝金森，于 濤,*

(1.南華大學(xué) 核科學(xué)技術(shù)學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421001；2.南華大學(xué) 核燃料循環(huán)技術(shù)與裝備湖南省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南 衡陽(yáng) 421001)

熔鹽堆液體燃料鹽的流動(dòng)特性，使其成為完全不同于傳統(tǒng)固體燃料反應(yīng)堆的一種堆型。近年來(lái)，液態(tài)熔鹽堆的研究得到了許多研究者的廣泛關(guān)注。魏泉等[1]運(yùn)用熔鹽堆點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)程序，研究液態(tài)燃料熔鹽堆的運(yùn)行物理特性；施承斌等[2]對(duì) RELAP5 模型進(jìn)行擴(kuò)展，將其應(yīng)用于液態(tài)燃料熔鹽堆的建模分析。周波等[3]運(yùn)用Mathematica 7.0開(kāi)展對(duì)熔鹽堆主回路衰變熱特性的研究。Vikram Singh等[4,5]針對(duì)MSBR(MSBR：molten salt breeder reactor)和液態(tài)熔鹽實(shí)驗(yàn)堆開(kāi)展了系統(tǒng)建模和動(dòng)態(tài)仿真分析。W.H.Sides[6]針對(duì)MSBR開(kāi)展了堆芯功率控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)研究。液態(tài)熔鹽堆中，液體燃料在主回路系統(tǒng)中流動(dòng)，使得堆芯出口處燃料溫度成為直接表征堆芯運(yùn)行狀態(tài)的參量。因此，開(kāi)展液態(tài)熔鹽堆堆芯出口燃料溫度控制研究是必要的。

在設(shè)計(jì)堆芯出口燃料溫度控制系統(tǒng)前，需先建立液態(tài)熔鹽堆堆芯系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。微分方程、傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)是連續(xù)系統(tǒng)的3種數(shù)學(xué)表達(dá)形式。其中，狀態(tài)空間表達(dá)相當(dāng)于微分方程線性化后忽略高階擾動(dòng)項(xiàng)的矩陣形式，狀態(tài)空間和傳遞函數(shù)之間可以通過(guò)拉氏變換和反拉氏變換進(jìn)行互相轉(zhuǎn)換。為開(kāi)展液態(tài)熔鹽堆堆芯出口溫度控制研究，直接基于堆芯微分方程組，采用MATLAB/Simulink[7-9]建立堆芯仿真系統(tǒng)，基于該仿真系統(tǒng)設(shè)計(jì)堆芯出口處燃料溫度模糊PID控制器。以MSBR堆芯為對(duì)象，開(kāi)展堆芯出口燃料溫度控制仿真。

1 堆芯模型的建立

1.1 堆芯非線性模型

考慮液態(tài)熔鹽堆液體燃料的流動(dòng)性，依據(jù)圖1所示，采用集總參數(shù)法建立堆芯非線性數(shù)學(xué)模型[6,10]。

圖1 液態(tài)熔鹽堆堆芯建模劃分示意Fig.1 Modeling and partitioning of liquid molten salt reactor core

1.1.1 堆芯物理模型

基于點(diǎn)堆動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)堆芯中子密度與緩發(fā)中子先驅(qū)核密度守恒原理，建立堆芯物理模型[6]。

(1)

(2)

公式(2)中，采用泰勒級(jí)數(shù)可以將時(shí)間延遲項(xiàng)轉(zhuǎn)化為[6]：

(3)

將公式(3)代入公式(2)中，可以得到：

(4)

對(duì)公式(1)、公式(4)進(jìn)行歸一化處理可以得到：

(5)

公式(5)中[6]：

公式(1)～公式(5)中：中子相對(duì)密度Nr(t)=N(t)/N0；第i組緩發(fā)中子先驅(qū)核相對(duì)密度Cir(t)=Ci(t)/Ci0；N0、Ci0分別表示堆芯初始穩(wěn)態(tài)中子密度、第i組緩發(fā)中子初始穩(wěn)態(tài)先驅(qū)核濃度；t表示時(shí)間；ρ表示引入堆芯的總反應(yīng)性；β表示緩發(fā)中子總份額；βi、λi分別表示第i組的緩發(fā)中子份額和緩發(fā)中子先驅(qū)核衰變常數(shù)；Λ表示中子代時(shí)間；τc、τl分別表示液體燃料在堆內(nèi)流動(dòng)時(shí)間和堆外流動(dòng)時(shí)間。

考慮堆芯燃料的流動(dòng)性造成反應(yīng)性損失、控制棒移動(dòng)引入反應(yīng)性以及堆芯燃料、石墨的溫度反饋反應(yīng)性，建立堆芯總反應(yīng)性的計(jì)算公式[6]：

ρ=ρ0+ρrod+αf(Tf-Tf(0))+
αg(Tg-Tg(0))

(6)

公式(6)中：

(7)

式中：ρ——堆芯的總反應(yīng)性；

ρ0——堆芯燃料流動(dòng)造成的反應(yīng)性損失；

ρrod——控制棒引入的反應(yīng)性；

下標(biāo)f、g——表示燃料熔鹽和石墨；

T——溫度；

α——溫度反饋系數(shù)；

T(0)——初始穩(wěn)態(tài)時(shí)刻溫度。

1.1.2 堆芯熱工模型

依據(jù)圖1所示，基于堆芯系統(tǒng)能量守恒原理，建立堆芯熱工模型[6,10]。

(8)

式中：M——質(zhì)量；

Cp——定壓比熱容；

Tf,in、Tf,out——堆芯進(jìn)口處燃料溫度和堆芯出口處燃料溫度；

G——堆芯質(zhì)量流量；

k——產(chǎn)熱份額；

P0——堆芯初始穩(wěn)態(tài)功率；

U——燃料和冷卻劑間的換熱系數(shù)。

公式(5)、公式(8)共同構(gòu)成液態(tài)熔鹽堆堆芯非線性模型。

1.2 堆芯微分方程組的實(shí)現(xiàn)

將堆芯微分方程組中每個(gè)變量看成：

X=X0+δX

式中：X0——系統(tǒng)變量穩(wěn)態(tài)初始值;

δX——系統(tǒng)變量增量值，則可將堆芯微分方程組(5)、(8)轉(zhuǎn)化為:

(9)

將微分方程組(9)中的第一個(gè)公式兩邊同時(shí)積分可得：

(10)

方程組(9)中表示的是系統(tǒng)參數(shù)增量之間的關(guān)系，運(yùn)用MATLAB/Simulink建模時(shí)，應(yīng)先選取輸入輸出量。以公式(10)為例，以緩發(fā)中子先驅(qū)核相對(duì)密度、反應(yīng)性、石墨溫度變化等作為輸入值，相對(duì)中子密度偏差作為輸出值，二者之間通過(guò)代數(shù)運(yùn)算與積分運(yùn)算相連接。在MATLAB/Simulink中對(duì)公式(10)進(jìn)行模塊搭建，如圖2所示。

圖2 公式(10)的MATLAB/Simulink模型圖Fig.2 MATLAB/Simulink Model Diagram of Formula(10)

同理，將微分方程組(9)中的其他公式進(jìn)行模塊搭建，依據(jù)堆芯燃料流動(dòng)及傳熱的基本性質(zhì)將各個(gè)模塊連接，建立堆芯仿真系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3 基于MATLAB/Simulink液態(tài)熔鹽堆堆芯系統(tǒng)Fig.3 Core system of liquid molten Salt reactor based on MATLAB/Simulink

2 堆芯出口溫度控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 堆芯出口溫度控制策略制定

以熔鹽增殖堆MSBR堆芯為對(duì)象，其堆芯的基本物理參數(shù)如表1所示[6,10]。設(shè)計(jì)MSBR堆芯燃料出口溫度控制策略。

表1 MSBR堆芯的基本物理參數(shù)

堆芯燃料熔鹽溫度由系統(tǒng)外界如電網(wǎng)等所需的堆芯負(fù)荷功率決定。在設(shè)計(jì)液態(tài)熔鹽堆運(yùn)行方案中，堆芯燃料出口溫度隨堆芯功率變化。為避免因燃料熔鹽溫度過(guò)低導(dǎo)致燃料熔鹽凝固或因堆芯燃料溫度過(guò)高難以保證堆內(nèi)結(jié)構(gòu)材料的完整性，因此無(wú)論是在高功率或是在低功率水平下，都必須保證堆芯出口溫度值保持在一個(gè)合理范圍內(nèi)，確保熔鹽堆堆芯在整個(gè)功率水平范圍內(nèi)安全運(yùn)行。假設(shè)堆芯燃料出口溫度設(shè)定值是一個(gè)隨堆芯功率變化的函數(shù)[6]:

(10)

(11)

Prd——系統(tǒng)外界所需的堆芯相對(duì)功率值。

為了將堆芯燃料出口溫度設(shè)定值與堆芯燃料進(jìn)口溫度測(cè)量值之間建立關(guān)系，假設(shè)堆芯相對(duì)功率設(shè)定值正比于兩者之差。即：

(12)

式中：Pr,set——堆芯相對(duì)功率設(shè)定值；

A——比例常數(shù)，與堆芯燃料質(zhì)量流量成正比。

堆芯相對(duì)功率實(shí)際運(yùn)行值Pr與堆芯相對(duì)功率設(shè)定值Pr,set之間的偏差如公式(13)所示。

e=Pr,set-Pr

(13)

利用堆芯相對(duì)功率偏差信號(hào)設(shè)計(jì)堆芯功率控制器。在堆芯功率控制過(guò)程中，設(shè)定堆芯控制棒引入反應(yīng)性的速率如公式(14)所示。

(14)

2.2 堆芯出口溫度控制器設(shè)計(jì)

考慮到傳統(tǒng)PID控制器的控制器參數(shù)不具備自整定功能，無(wú)法根據(jù)實(shí)際控制情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)整。在現(xiàn)有基礎(chǔ)上[11,12],基于熔鹽堆堆芯微分方程模型，設(shè)計(jì)堆芯出口溫度模糊PID控制器。模糊PID控制器結(jié)構(gòu)圖如圖4所示，相對(duì)于傳統(tǒng)PID控制器，模糊PID控制器可實(shí)時(shí)根據(jù)誤差情況及誤差變化情況對(duì)PID控制器的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，以到達(dá)更優(yōu)的控制效果。

圖4 模糊PID控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.4 Structure Diagram of Fuzzy-PID Controller

為簡(jiǎn)化堆芯燃料出口溫度控制器的設(shè)計(jì)，僅將棒速程序單元作為一個(gè)增益為Kc的線性環(huán)節(jié)。采用Matlab/simulink[7-9]編制程序進(jìn)行模糊PID控制器計(jì)算，建立的堆芯燃料出口溫度控制系統(tǒng)如圖5所示。

圖5 基于模糊PID控制的堆芯出口溫度控制系統(tǒng)Fig.5 Core Outlet Temperature Control System Based on Fuzzy PID Control

3 堆芯動(dòng)態(tài)仿真分析

在100%FP堆芯功率水平下，引入100×10-5、200×10-5階躍反應(yīng)性時(shí)，得到如圖6所示的響應(yīng)曲線。從圖中可知，在20 s時(shí)刻，引入階躍反應(yīng)性，堆芯燃料出口溫度先急劇上升，后逐漸下降，最終穩(wěn)定在堆芯出口溫度初始值。在此過(guò)程中，相對(duì)功率偏差先瞬間增大，后緩慢下降，最終穩(wěn)定在零值，其原因是設(shè)計(jì)的模糊PID控制器作用于控制棒，控制棒移動(dòng)引入負(fù)反應(yīng)性，堆芯燃料、堆芯石墨的溫度反饋引入負(fù)反應(yīng)性，抵消了引入的階躍反應(yīng)性。對(duì)比微分方程與傳遞函數(shù)的圖形可知，在整個(gè)過(guò)程中，微分方程模型與傳遞函數(shù)模型的響應(yīng)曲線相近。然而，微分方程的變化幅度略大于傳遞函數(shù)的變化幅度，在引入100×10-5、200×10-5反應(yīng)性，二者相對(duì)功率之間的最大誤差分別為0.061 7、0.176 6。這是由于基于堆芯線性化方程組建立的傳遞函數(shù)模型忽略了二階及二階以上的微小擾動(dòng)項(xiàng)，而在基于堆芯非線性模型建立的微分方程組模型中，未做任何簡(jiǎn)化。

在100%FP功率水平下，引入堆芯燃料進(jìn)口溫度階躍2 ℃、5 ℃擾動(dòng)時(shí)，得到如圖7所示的響應(yīng)曲線。從圖7中可知，引入堆芯進(jìn)口溫度擾動(dòng)時(shí)，無(wú)論是傳遞函數(shù)模型還是微分方程模型，堆芯出口溫度都在模糊PID控制器的作用下回到了初始堆芯出口溫度值。而相對(duì)功率水平存在小幅度的下降。根據(jù)公式(12)可知，這是由于堆芯進(jìn)口溫度升高，而導(dǎo)致堆芯相對(duì)功率設(shè)定值降低。同時(shí)，由于整體變化幅度較小，故微分方程模型與傳遞函數(shù)模型變化趨勢(shì)相近。基于上述仿真分析可見(jiàn)，基于堆芯微分方程組設(shè)計(jì)堆芯燃料出口溫度控制策略的方法是合理可行的。

圖7 100%FP功率下，堆芯進(jìn)口溫度擾動(dòng)響應(yīng)Fig.7 Core inlet temperature disturbance response at 100%FP

為驗(yàn)證仿真結(jié)果的可靠性，開(kāi)展堆芯出口溫度跟蹤研究，通過(guò)設(shè)置堆芯出口溫度的運(yùn)行參考值，將仿真結(jié)果與堆芯參考值進(jìn)行對(duì)比。在100%FP堆芯功率水平下，模擬在100 s 以前，系統(tǒng)按初始穩(wěn)態(tài)功率運(yùn)行，此時(shí)堆芯燃料出口溫度設(shè)定值即為堆芯初始穩(wěn)態(tài)出口溫度，在100 s 時(shí)刻，將出口溫度設(shè)定值按0.2 ℃/s的速率下降50 s后穩(wěn)定運(yùn)行150 s，在300 s時(shí)刻，設(shè)定值以同樣的速率回到初始穩(wěn)態(tài)出口溫度水平，仿真結(jié)果如圖8所示。從功率響應(yīng)圖可知，堆芯功率的運(yùn)行參考值與堆芯功率模糊PID控制值相接近，未出現(xiàn)大的偏差。從溫度響應(yīng)圖可知，系統(tǒng)在模糊PID控制下能實(shí)現(xiàn)對(duì)堆芯燃料出口溫度的良好跟蹤，可見(jiàn)采用模糊PID進(jìn)行堆芯燃料出口溫度控制是可行的。

圖8 100%FP功率下，堆芯燃料出口溫度跟蹤響應(yīng)Fig.8 Core fuel outlet temperature following response at 100% FP

4 結(jié)論

本文直接基于堆芯微分方程組設(shè)計(jì)液態(tài)熔鹽堆堆芯出口溫度控制系統(tǒng)。在Matlab/simulink中建立了堆芯仿真系統(tǒng)。以MSBR堆芯為對(duì)象，開(kāi)展堆芯反應(yīng)性擾動(dòng)、堆芯進(jìn)口溫度擾動(dòng)、堆芯出口溫度跟蹤的仿真。結(jié)果表明，三種擾動(dòng)情況下，通過(guò)模糊PID 控制器的作用，堆芯出口溫度、堆芯相對(duì)功率等參數(shù)最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，并且堆芯微分方程模型與堆芯傳遞函數(shù)模型的響應(yīng)曲線相近?？梢?jiàn)，基于堆芯微分方程組建立的液態(tài)熔鹽堆堆芯出口溫度控制是有效的。