基于Druck-Prager和MISO模型的混凝土三軸壓縮行為有限元模擬

陳 昊,陳 俊,陳曉鵬（西北有色勘測工程公司，陜西 西安 710054）

0 引言

經(jīng)過一百余年發(fā)展，混凝土已然成為最重要的建筑材料之一，已廣泛應(yīng)用于工民建、路橋、水利和地下空間開發(fā)等工程領(lǐng)域[1,2]。實(shí)際工程中，混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部多處于三向應(yīng)力狀態(tài)，不同的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力歷史常導(dǎo)致混凝土變形破壞特征呈現(xiàn)顯著差異[3]。早在20世紀(jì)20年代，Richart等[4]就開展了混凝土圓柱試樣的三軸受壓試驗。其后，隨著巖石類材料三軸試驗技術(shù)不斷發(fā)展，高圍壓條件下混凝土常規(guī)三軸和真三軸試驗得以開展，尤其在常規(guī)三軸試驗方面獲取了極其豐碩的數(shù)據(jù)，在一定程度上推動了混凝土本構(gòu)模型的發(fā)展和完善[5]。目前，高性能常規(guī)三軸試驗機(jī)憑借其日益完善的加載和量測技術(shù)已成為研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力路徑作用下混凝土綜合響應(yīng)行為的主要平臺。如Imran等[5]在20世紀(jì)90年代中期采用液壓伺服三軸試驗機(jī)研究了不同應(yīng)力水平條件下，混凝土含水率、孔隙度及應(yīng)力路徑對其變形破壞特征的影響。該試驗共包含130組三軸試驗，豐富了既有數(shù)據(jù)庫的試驗結(jié)果。本文采用AN?SYS軟件對Imran[5]研究中飽和素混凝土（水灰比為0.4）部分常規(guī)三軸壓縮試驗進(jìn)行有限元模擬，并分析對比Druck-Prager模型及MISO模型（采用Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則）的模擬結(jié)果。此外，在既有三軸壓縮有限元模擬中，模型端部約束條件不盡相同，其主要反映了三軸壓縮試驗中試件端部摩擦力的影響[6,7]。因此，本文進(jìn)一步基于MISO模型，通過設(shè)置模型端部不同的約束條件來模擬試件端部摩擦力無限大和無摩擦約束兩種情況下混凝土壓縮響應(yīng)特征。

1 研究思路及主要流程

1.1 研究思路

在混凝土非線性有限元分析中，MISO模型和Druck-Prager模型是應(yīng)用最為廣泛的兩種本構(gòu)模型，且兩者均與相應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則（為理想塑性模型，屈服強(qiáng)度即破壞強(qiáng)度，故在此不作區(qū)分）相匹配。MISO模型遵循Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則，即材料破壞主要與其屬性和應(yīng)力偏量第二不變量J2有關(guān)，且其應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系通過多段線性關(guān)系給定。Druck-Prager模型將材料視為理想塑性體，材料的塑性破壞由其粘聚力、內(nèi)摩擦角、剪脹角、J2和應(yīng)力張量第一不變量I1共同確定，因而在一定程度上可以反映材料在靜水壓力作用下的破壞行為。

本次研究分別基于MISO和Druck-Prager模型模擬文獻(xiàn)[5]中水灰比為0.4的飽和素混凝土三軸壓縮試驗，并綜合對比模擬結(jié)果與試驗結(jié)果。此外，進(jìn)一步采用MISO模型對不同端部約束條件的影響進(jìn)行探究，具體包括：（1）僅約束模型底部環(huán)向位移與豎向位移，以模擬壓縮過程中試件端部不存在摩擦力的情況；（2）設(shè)置模型底部為固定端，同時約束模型頂部水平方向位移，以模擬壓縮過程中試件端部摩擦力無限大的情況。通過模擬上述兩種極端約束條件，在一定程度上可以反映試件端部摩擦力變化對混凝土三軸壓縮行為的影響。

1.2 混凝土試件有限元模型構(gòu)建

依據(jù)文獻(xiàn)[5]，在ANSYS中構(gòu)建混凝土試件有限元模型，其為圓柱形，高115 mm（z軸方向），直徑54 mm。采用軟件內(nèi)置的65號實(shí)體單元（solid 65）及Concrete材料模擬混凝土，其依據(jù)Willam-Warnke（W-W）破壞準(zhǔn)則判定混凝土壓碎和開裂[8]。同時，為提升計算效率，加快收斂，本次研究中不考慮混凝土單元的壓碎破壞，但需考慮混凝土壓碎后的應(yīng)力釋放?；炷猎嚰缀文Ｐ停ㄒ妶D1）構(gòu)建完成后，采用掃略方式對其體網(wǎng)格進(jìn)行劃分，網(wǎng)格尺寸為3 mm?；炷猎嚰邢拊Ｐ突拘畔⒓安牧蠀?shù)見表1。

圖1 混凝土試件有限元模型

表1中，混凝土試件fc和ν取值與文獻(xiàn)[5]中一致。鑒于文獻(xiàn)[5]中沒有給出混凝土相應(yīng)的ft，故根據(jù)式（1）進(jìn)行估算[9]。fcb，f1，f2，c，φ由于缺乏試驗數(shù)據(jù)，故根據(jù)混凝土單軸抗壓強(qiáng)度及抗拉強(qiáng)度按式（2）～（8）換算[2]。張開裂縫的剪力傳遞系數(shù)及閉合裂縫的剪力傳遞系數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[2]確定。在此需特別說明，盡管文獻(xiàn)[5]中給出了飽和素混凝土單軸壓縮應(yīng)力—應(yīng)變曲線，但相關(guān)圖件清晰度有限，無法將實(shí)測應(yīng)力—應(yīng)變曲線精確定量化，故MISO模型中的應(yīng)力—應(yīng)變曲線上升段按Hognestad曲線方程[1]（式（9））確定，且將曲線下降段簡化處理為一條水平線，即認(rèn)為混凝土為理想塑性材料。因此，MISO模型中混凝土E0由fc和ε0確定，其值大于試驗所測E0。而在Druck-Prager模型中，E0作為獨(dú)立變量輸入，故可采用實(shí)測E0值。

其中：β—混凝土材料常數(shù)；σy—混凝土屈服強(qiáng)度（MPa）；σc—混凝土應(yīng)力（MPa）；εc—混凝土應(yīng)變。

1.3 本構(gòu)模型與邊界條件設(shè)置

本次研究采用Druck-Prager模型及MISO模型進(jìn)行模擬，并綜合對比其模擬結(jié)果。MISO模型將應(yīng)力—應(yīng)變曲線劃分為多個線性段。如§2.2所述，各線性段的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系由Hognestad曲線方程確定。在Druck-Prager模型中，應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系通過給定的材料常數(shù)即可確定，其規(guī)定在屈服強(qiáng)度之前服從線彈性應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，屈服強(qiáng)度之后則為理想塑性。

表1 混凝土試件有限元模型基本信息及材料參數(shù)

模擬過程中，首先采用應(yīng)力邊界條件在模型側(cè)表面施加擬定圍壓（分別為0，25.5和51.2 MPa），待求解平衡后，在模型頂部施加位移邊界條件（沿z軸負(fù)方向位移為1～10 mm）以模擬壓縮加載。此外，模型頂面及底面約束條件詳見表2。

表2 混凝土試件有限元模型頂面及底面約束條件

1.4 模擬結(jié)果后處理

本次研究主要對模型軸向應(yīng)變、體應(yīng)變及軸向應(yīng)力間的關(guān)系展開分析，并與Imran的研究結(jié)果進(jìn)行對比。其中，模型體應(yīng)變和軸向應(yīng)變可采用AN?SYS內(nèi)置后處理模塊進(jìn)行提取。但由于模擬中采用位移邊界條件進(jìn)行軸向加載，故采用命令流提取模型頂面各節(jié)點(diǎn)反力的合力，并將該合力與模型頂面面積之比作為所施加的軸向應(yīng)力（σa）。

此外，鑒于文獻(xiàn)[5]中采用電阻式應(yīng)變片量測混凝土柱中間部位的表面應(yīng)變，故本次研究亦提取混凝土試件有限元模型中間部位單元的側(cè)向應(yīng)變，并采用與文獻(xiàn)[5]相同的計算方式（式（10））求取體應(yīng)變。

式中：εV—體應(yīng)變；εa—軸向應(yīng)變；εL—側(cè)向應(yīng)變。本次研究中規(guī)定以拉伸為正、壓縮為負(fù)。相應(yīng)地，試件體積膨脹（剪脹）為正，試件體積縮?。艨s）為負(fù)。

2 結(jié)果分析

2.1 不同本構(gòu)模型模擬結(jié)果對比分析

本節(jié)模擬均采用A類約束條件（不考慮端部摩擦），基于Druck-Prager模型和MISO模型得到的σaεa曲線與εV-εa曲線分別如圖2和圖3所示。結(jié)果表明模擬結(jié)果與試驗結(jié)果總體變化趨勢基本一致，但在具體數(shù)值上存在較大偏差。表3列出了各圍壓條件下混凝土試件峰值強(qiáng)度σpeak以及峰值強(qiáng)度對應(yīng)的軸向應(yīng)變εpeak與割線模量Es的實(shí)測值和模擬值。

就峰值強(qiáng)度而言，無側(cè)限條件下兩種模型模擬結(jié)果與實(shí)測結(jié)果較為接近。當(dāng)圍壓增大，兩種模型的模擬結(jié)果均偏離試驗結(jié)果。其中，MISO模型模擬出的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系較為保守。相反，Druck-Prag?er模型則嚴(yán)重高估了混凝土試件抗壓強(qiáng)度，其在51.2 MPa圍壓條件下的抗壓強(qiáng)度模擬值高達(dá)983.09 MPa。Druck-Prager模型的強(qiáng)度準(zhǔn)則考慮了靜水壓力作用，且認(rèn)為混凝土破壞之前處于線彈性狀態(tài)，其或許是導(dǎo)致試件在高圍壓條件下模擬抗壓強(qiáng)度顯著提升的原因。此外，εpeak的實(shí)測值和模擬值均隨圍壓增大而減小，反映出圍壓對混凝土變形的約束作用，即隨圍壓增大，混凝土延性增強(qiáng)。然而，MISO模型所得εpeak值隨圍壓變化并不顯著，其與試驗結(jié)果差異較大。同時，Es的模擬值普遍比實(shí)測值大，且兩者隨圍壓變化規(guī)律相反，即Es實(shí)測值衰減幅度較大。其原因在于本文采用的MISO模型和Druck-Prager模型均為理想塑性模型，且應(yīng)力—應(yīng)變曲線上升段斜率變化較小，所以無法反映出混凝土彈性模量的快速衰減。在此亦需強(qiáng)調(diào)，由于模擬采用的本構(gòu)模型不含下降段，故模擬結(jié)果無法反映混凝土的應(yīng)變軟化行為。

圖2 軸向應(yīng)力σa與軸向應(yīng)變εa關(guān)系曲線

圖3 體應(yīng)變εV與軸向應(yīng)變εa關(guān)系曲線

表3 混凝土試件峰值強(qiáng)度、峰值強(qiáng)度對應(yīng)的軸向應(yīng)變與割線模量模擬值和實(shí)測值

就體應(yīng)變—軸向應(yīng)變關(guān)系而言，Druck-Prager模型的模擬結(jié)果顯著優(yōu)于MISO模型。相較實(shí)測曲線，Druck-Prager模型模擬結(jié)果夸大了混凝土剪縮程度，高估了裂縫產(chǎn)生時的軸向應(yīng)變，該現(xiàn)象在低圍壓條件下尤為顯著[圖3（c）中加粗線段為趨勢延長線，并非模擬結(jié)果]。MISO的模擬結(jié)果則與實(shí)際相悖：（1）一方面，隨圍壓增大，混凝土模型剪縮程度減?。唬?）另一方面，模型剪縮程度對圍壓改變極不敏感，且體變值極小，表明壓縮未導(dǎo)致混凝土內(nèi)部裂隙顯著發(fā)育。MISO模型模擬結(jié)果與試驗結(jié)果的差異可能與模型端部約束條件有關(guān)，即三軸試驗中混凝土試件端部與加壓板之間存在摩擦力，其會顯著影響混凝土變形破壞特征，故擬基于MISO模型對端部約束條件影響進(jìn)行探究。同時，鑒于Druck-Prager模型嚴(yán)重高估混凝土強(qiáng)度，并兼顧計算效率，在此不再基于Druck-Prager模型分析端部約束條件影響。

2.2 不同端部約束條件模擬結(jié)果對比分析

在前文基礎(chǔ)上，本節(jié)采用B類約束條件（端部摩擦無限大）進(jìn)行模擬，最終得到的σa-εa曲線與εV-εa曲線如圖4和5所示。

圖4 B類約束條件下軸向應(yīng)力σa與軸向應(yīng)變εa關(guān)系曲線

圖5 B類約束條件下體應(yīng)變εV與軸向應(yīng)變εa關(guān)系曲線

圖4和5表明，端部約束條件對混凝土應(yīng)力—應(yīng)變曲線無顯著影響，但會改變混凝土體變特征。相較圖3（b），當(dāng)約束模型端部水平位移時，混凝土發(fā)生明顯的剪脹，即端部摩擦約束加劇混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)損傷。然而，與實(shí)測混凝土體變特征相比，B類約束條件下MISO模型的模擬結(jié)果仍有較大缺陷，包括：（1）混凝土在壓縮初始階段的剪縮效應(yīng)未能體現(xiàn)；（2）體變響應(yīng)對圍壓的敏感性仍未能凸顯。

3 結(jié)論

（1）MISO和Druck-Prager模型的模擬結(jié)果與試驗結(jié)果總體變化趨勢基本一致，尤其在無側(cè)限條件下，Druck-Prager模型模擬結(jié)果與實(shí)際更為貼近。

（2）施加圍壓時，模擬結(jié)果與試驗結(jié)果在具體數(shù)值上存在較大偏差。其中，MISO模型所得抗壓強(qiáng)度較保守，而Druck-Prager模型極大地高估了混凝土抗壓強(qiáng)度。例如，當(dāng)圍壓為51.2 MPa時，Druck-Prager模型所得抗壓強(qiáng)度高達(dá)983.09 MPa。

（3）就MISO模型而言，端部摩擦約束對混凝土應(yīng)力—應(yīng)變曲線無顯著影響，但會改變混凝土體變響應(yīng)特征，加劇混凝土內(nèi)部結(jié)構(gòu)損傷。