構(gòu)造輔助圓　巧求最小值

吳玲芳

在求平面幾何中的一些線段的最小值時(shí)，我們通常作輔助線來求解。例如“將軍飲馬”這類問題，可以作對(duì)稱點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的知識(shí)幫助解決。而有些求線段的最小值的問題，用常規(guī)的解題方法難以求解。此時(shí)，我們可以從已知條件出發(fā)，根據(jù)圓的定義，或利用圓周角定理及其推論，構(gòu)造輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)進(jìn)行解答，從而求出線段的最小值。

一、從定長入手構(gòu)造圓

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△EFB沿EF所在的直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值為。

【分析】折疊過程中，B′E=BE，所以B′E的長度不變，即動(dòng)點(diǎn)B′到定點(diǎn)E的距離是一個(gè)定值，所以點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)E為圓心，2為半徑的圓的一部分，以此構(gòu)造輔助圓（如圖2）。B′D的最小值就是點(diǎn)D與圓E上的點(diǎn)的最短距離，當(dāng)點(diǎn)D、E、B′三點(diǎn)共線時(shí)（如圖3），B′D最短。

解：如圖3，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠DAB=90°。

∵在Rt△ADE中，AE2+AD2=DE2，

又∵AE=2，AD=6，

∴DE=210。

當(dāng)點(diǎn)D、E、B三點(diǎn)共線時(shí)，DB'最短。

∵BE=BE=2，

∴DB'=210-2。

【點(diǎn)評(píng)】圓的集合定義是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合。在本題中，折疊只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀。無論折到什么位置，B'E的長度始終保持不變，所以可以構(gòu)造輔助圓來解決問題。審題的關(guān)鍵是找到一條長度確定的線段，一個(gè)端點(diǎn)是定點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，那么動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓。

例2如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)，且∠BPC=90°，則AP的最小值為。

【分析】已知∠BPC=90°，且∠BPC所對(duì)

的邊BC是一條定邊，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，可以將∠BPC看成是在以BC為直徑的圓中BC所對(duì)的圓周角（如圖5）。點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以BC的中點(diǎn)O為圓心，3為半徑的圓的一部分。AP的最小值就是點(diǎn)A與圓O上的點(diǎn)的最短距離。

解：如圖5，取BC中點(diǎn)O，連接PO。

∵∠BPC=90°，O是BC中點(diǎn)，1

∴PO=2BC=3，

P在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上，

∴AP的最小值就是點(diǎn)A與圓O上的點(diǎn)的最短距離。當(dāng)A、P、O三點(diǎn)共線，且P在AO之間

時(shí)，AP最短（如圖6）。

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°。

∵在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，

又∵AB=4，BO=3，∴AO=5，

∴AP=AO-PO=5-3=2。

【點(diǎn)評(píng)】“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”，因此當(dāng)角的度數(shù)為定值90°時(shí)，我們可以想到可能存在圓。這從本質(zhì)上看，還是源于圓的集合定義。因?yàn)楦鶕?jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可知直角三角形的直角頂點(diǎn)一定在以斜邊為直徑的圓上，可以構(gòu)造輔助圓來解決問題。審題的關(guān)鍵是尋找到直角和定斜邊，那么直角頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓。

例3如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）、（33，0）、（0，5），點(diǎn)D在第一象限，且∠ADB=60°，則線段CD的長的最小值為。

【分析】因?yàn)椤螦DB=60°，且∠ADB所對(duì)的邊AB是一條定邊，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”，可以將∠ADB看成是在以AB為弦的圓M中AB所對(duì)的圓周角（如圖8）。點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓M的一部分，CD的最小值就是點(diǎn)C與圓M上的點(diǎn)的最小距離。CD的最小值=CM-r，r是圓M的半徑。

解：設(shè)∠ADB所在的圓的圓心為點(diǎn)M，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是其所對(duì)圓心角的一半，可知∠AMB=120°。

過點(diǎn)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，由垂徑定理可知∠AMH=12∠AMB=60°。

∵A（3，0）、B（33，0），

∴AB=23。

在Rt△AMH中，AH=3，∠AMH=60°，可得MH=1，AM=2，即r=2。當(dāng)點(diǎn)C、M、D三點(diǎn)共線，且D在CM之間時(shí)（如圖9），CD的長度最短。

過M作MN⊥y軸于點(diǎn)N。

∵在Rt△CNM中，CM2=CN2+NM2，

又∵CN=CO-NO=CO-MH=5-1=4，NM=OH=OA+AH=23，

∴CM=27，

∴CD的最小值為CM-r=27-2。

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)角的度數(shù)確定，角所對(duì)的邊是一條定邊，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”，那么角的頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓。此時(shí)，角可以看成圓周角，定邊是圓的一條弦，先利用同弧所對(duì)的圓周角是其所對(duì)的圓心角的一半，找到圓心的位置，再確定圓的半徑，最終構(gòu)造出輔助圓。審題的關(guān)鍵是找到有特殊角度的角，且角的對(duì)邊是一定邊，那么該角的頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓。當(dāng)角的度數(shù)是90°時(shí)，其實(shí)是這類情形中的特殊情況，比如例2。

（作者單位：江蘇省常州外國語學(xué)校）