尺規(guī)作圖解題技巧

楊慧明

尺規(guī)作圖是指只用不帶刻度的直尺和圓規(guī)通過有限次操作，完成畫圖的一種作圖方法。尺規(guī)作圖不一定要寫作圖步驟，但必須保留作圖痕跡。從各省市的中考題來看，尺規(guī)作圖題在選擇題、填空題和解答題中都有呈現(xiàn)，內(nèi)容比較豐富，雖然難度不大，但仍需引起大家的重視。

例1（2018·北京）下面是小東設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程。

已知：如圖1，直線l及直線l外一點(diǎn)P。求作：直線PQ，使得PQ∥l。

1在直線l上取一點(diǎn)A，作射線PA，以點(diǎn)A為圓心，AP長為半徑畫弧，交PA的延長線于點(diǎn)B;

2在直線l上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），作射線BC，以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)Q;

3作直線PQ。所以直線PQ就是所求作的直線。

根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形;（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明。

證明：∵AB=，CB=，

∴PQ∥（l）（填推理的依據(jù)）。

【分析】（1）根據(jù)題目要求作出圖（包含作一條線段等于已知線段）。

（2）利用三角形中位線定理證明即可。

解：（1）補(bǔ)全的圖形如圖3所示：

（2）證明：∵AB=AP，CB=CQ，

∴PQ∥（l三角形中位線定理）。

【點(diǎn)評】本題考查作圖、平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是能按照要求作出圖形，并能靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題。

例2（2018·江蘇南京）如圖4，在△ABC中，用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接DE。若BC=10cm，則DE=cm。

【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DE是△ABC的中位線，從而得出答案。

解：∵用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，

∴D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE=12BC=5。

故答案為5。

例3（2019·江蘇宿遷）在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）如圖5，點(diǎn)O在斜邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，與邊AC相切于點(diǎn)F。求證：∠1=∠2。

（2）在圖6中作⊙M，使它滿足以下條件：

1圓心在邊AB上;2經(jīng)過點(diǎn)B;3與邊AC相切。（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

【分析】（1）連接OF，可證得OF∥BC，結(jié)合平行線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可求得∠1=∠OFB=∠2，可得出結(jié)論。

（2）由（1）可知切點(diǎn)是∠ABC的角平分線和AC的交點(diǎn)，圓心在BF的垂直平分線上，由此即可作出⊙M。

（1）證明：如圖7，連接OF。

∵AC是⊙O的切線，∴OF⊥AC，

∵∠C=90°，∴OF∥BC，

∴∠1=∠OFB，

∵OF=OB，

∴∠OFB=∠2，∴∠1=∠2。

（2）如圖8所示⊙M為所求。作法如下：

1作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)F;

2作BF的垂直平分線交AB于M，以M為圓心，MB為半徑作圓，⊙M即為所求。

證明：∵M(jìn)在BF的垂直平分線上，∴MF=MB，∴∠MBF=∠MFB，又∵BF平分∠ABC，∴∠MBF=∠CBF，∴∠CBF=∠MFB，∴MF∥BC，

∵∠C=90°，∴FM⊥AC，

∴⊙M與邊AC相切。

【點(diǎn)評】本題主要考查圓和切線的性質(zhì)、基本作圖的綜合應(yīng)用。掌握連接圓心和切點(diǎn)的半徑與切線垂直是解題的關(guān)鍵。

例4（2018·湖北宜昌）尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（）。

【分析】掌握過直線外一點(diǎn)向直線作垂線的方法即可。

解：已知，直線AB和AB外一點(diǎn)C，如圖9。求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C。

作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁;

（2）以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E;

（3）分別以D和E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F;（4）作直線CF。

直線CF就是所求的垂線。故選B。

【點(diǎn)評】此題主要考查了過直線外一點(diǎn)作直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法及原理是解決問題的關(guān)鍵。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）