數(shù)式型規(guī)律探索題的解題技巧

陸敏

初中數(shù)學規(guī)律探索問題是數(shù)學學習中常見的一類題型，也是近年來中考數(shù)學的熱點題型。就其形式而言有數(shù)式、圖形、數(shù)形結(jié)合等方式。下面，老師就以數(shù)式型規(guī)律探索題為例，談談解答技巧。

例1（2019·湖北武漢）觀察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：250、251、252......299、2100。若250=a，用含a的式子表示這組數(shù)的和是（）。

A.2a2-2aB.2a2-2a-2

C.2a2-aD.2a2+a

【分析】我們要通過觀察，分析、歸納其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題。解決本題的難點在于得出規(guī)律：2+22+23+...+2n=2n+1-2。那么250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249），將規(guī)律代入計算即可。

解：∵2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2......

∴2+22+23+...+2n=2n+1-2，∴250+251+252+...+299+2100=（2+22+23+...+2100）-（2+22+23+...+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，

∴原式=2a-a。

故選C。

例2（2019·山東濟寧）已知有理數(shù)a=?1，我們把1稱為a的差倒數(shù)，1-a如：2的差倒數(shù)是1=-1，-1的差倒數(shù)是1-（-1）=2。如果a1=-2，a2是a1的差111-2倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)......依此類推，那么a1+a2+...+a100的值是（）

【分析】解決本題，我們要通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況。求出數(shù)列的前4個數(shù)，從而得出

這個數(shù)列以-2，1，3依次循環(huán)，且-2+131323+2=-6，再求出這100個數(shù)中有多少個周期，從而得出答案。

解：∵a=-2，∴a=1=1，a=121-（-2）33

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

1=3，a=1=-2......

1-13241-32

13∴這個數(shù)列以-2，，依次循環(huán)，

13132且-2+3+2=-6，

故選A。

例3（2019·湖南株洲）從-1，1，2，4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)（記作ak，bk）構(gòu)成一個數(shù)組MK={ak，bk}（其中k=1，2......S，且將{ak，bk}與{bk，ak}視為同一個數(shù)組），若滿足：對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，則S的最大值（）。

【分析】找出ai+bi共有幾個不同的值是解題的關(guān)鍵。求出ai+bi的值，結(jié)合對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?aj+bj，即可得出S的最大值。

解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，

∴ai+bi共有5個不同的值。

又∵對于任意的Mi={ai，b}i和Mj={aj，b}j（i=?j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi=?

aj+bj，

∴S的最大值為5。

故選C。

例4（2019·貴州安順）如圖1，將從1開始的自然數(shù)按以下規(guī)律排列，例如位于第3行、第4列的數(shù)是12，則位于第45行、第7列的數(shù)是。

【分析】解決本題的關(guān)鍵是仔細觀

察，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題。觀察圖表可知第n行第一個數(shù)是n2，可得第45行第一個數(shù)是2025，再觀察每一行數(shù)字的變化規(guī)律，從而推出

結(jié)果。

解：觀察圖表可知第n行第一個數(shù)是n2，

∴第45行第一個數(shù)是2025，

∴第45行、第7列的數(shù)是2025-6=2019。

故答案為2019。

例5（2019·海南）有2019個數(shù)排成一行，對于任意相鄰的三個數(shù)，都有中間的數(shù)等于前后兩數(shù)的和。如果第一個數(shù)是0，第二個數(shù)是1，那么前6個數(shù)的和是，這2019個數(shù)的和是。

【分析】解決本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化規(guī)律。我們可以根據(jù)題意寫出這組數(shù)據(jù)的前幾個數(shù)，從而依據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律解決問題。

解：由題意可得，這列數(shù)為：0，1，1，0，-1，-1，0，1，1......

∴前6個數(shù)的和=0+1+1+0+（-1）+（-1）=0，

∵2019÷6=336...3，

∴這2019個數(shù)的和=0×336+（0+1+1）=2。

故答案為0，2。

例6（2019·安徽）觀察以下等式：

......

按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第6個等式：;（2）寫出你猜想的第n個等式：

（用含n的等式表示），并證明。

【分析】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出2=1+1的規(guī)

2n-1nn（2n-1）律，并熟練加以運用。

解：（1）第6個等式為2=1+1。21111666

（2）=+。2n-1nn（2n-1）

證明：∵右邊=1+1

nn（2n-1）

2n-1+1=2=左邊。

n（2n-1）2n-1

∴等式成立。

故答案為2=1+

探索規(guī)律型試題體現(xiàn)了數(shù)學中的歸納、猜想的思考方法和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。根據(jù)條件中的信息，結(jié)合自己掌握的知識，做出一種可能存在的規(guī)律性的結(jié)論推斷，這就是歸納、猜想的過程。解決這類問題的思路是從簡單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，經(jīng)過提煉、歸納、猜想，尋找到一般的規(guī)律，從而解決問題。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）