基于L0范數(shù)和聯(lián)合全變分的圖像去模糊

盧 鵬，余 勤

(四川大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610065)

0 引 言

圖像在成像過程中由于受到散焦、大氣湍流及相對運(yùn)動等各種干擾因素的作用，使得最終得到的圖像質(zhì)量嚴(yán)重退化。圖像退化降質(zhì)過程可用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示如下

f=k?x+n

(1)

式中：k為模糊核，n為附加的噪聲，?表示卷積運(yùn)算，x為輸入的原始清晰圖像，f是降質(zhì)圖像。圖像去模糊依據(jù)模糊核類型是否已知劃分為盲去模糊和非盲去模糊，本文用不同的方法對這兩方面分別進(jìn)行了研究。圖像非盲去模糊本質(zhì)上是一個(gè)病態(tài)逆問題，目前比較常用的非盲去模糊方法是基于正則化約束，即通過添加正則化約束項(xiàng)的方法來最小化目標(biāo)函數(shù)。圖像盲去模糊的發(fā)展主要集中在模糊核估計(jì)方法的改變，目前，許多圖像去模糊算法對模糊核的估計(jì)都依據(jù)自然圖像的先驗(yàn)知識如稀疏、平滑等特性。然而這些圖像先驗(yàn)知識對于文本圖像的去模糊效果并不好，于是J.Pan等[1]提出了基于L0范數(shù)正則化強(qiáng)度和梯度先驗(yàn)的文本圖像去模糊，并將其拓展到包含文本和低亮度自然圖像的去模糊。

在圖像非盲去模糊方面，綜合利用L0范數(shù)和非局部全變分(NLTV)[2]的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種基于以上兩種正則化約束的圖像非盲去模糊模型，相較于單一的正則化約束，該模型能更好地恢復(fù)圖像細(xì)節(jié)；在圖像盲去模糊方面，結(jié)合J.Pan等提出的文本圖像盲去模糊方法和聯(lián)合全變分方法，對圖像進(jìn)行了更為精細(xì)的復(fù)原，有效減少了階梯效應(yīng)和偽影。

1 基于L0正則化先驗(yàn)和NLTV的非盲去模糊

1.1 L0正則化先驗(yàn)

L0正則化先驗(yàn)包含強(qiáng)度和梯度先驗(yàn)知識，圖像的強(qiáng)度和梯度值都會因造成模糊的因素發(fā)生較大的改變，鑒于此可考慮將圖像的強(qiáng)度和梯度特征作為正則化先驗(yàn)約束對模糊圖像進(jìn)行去模糊處理。綜上，基于L0正則化強(qiáng)度和梯度先驗(yàn)的模型可表示如下

(2)

1.2 圖像非盲去模糊模型構(gòu)造與求解

利用全局梯度提取法(GGES)將退化后的圖像分解為平滑、邊緣和紋理3個(gè)部分，將邊緣和平滑區(qū)域設(shè)為xp，紋理區(qū)設(shè)為xw，將上文所涉及的先驗(yàn)知識和NLTV均作為正則化項(xiàng)對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行約束，構(gòu)造得到的模型如下

(3)

(4)

式中:第一項(xiàng)為保真項(xiàng)，α、β均為權(quán)重系數(shù)，w函數(shù)表示圖像塊間的相似性權(quán)重，其取值為0到1之間。對式(3)的求解，可將其轉(zhuǎn)化為以下兩個(gè)子問題

(5)

(6)

在對式(5)求解時(shí)，需保持xw不變，此時(shí)對式(5)求解便轉(zhuǎn)化成了對包含L0范數(shù)的式子求最優(yōu)解，由于L0范數(shù)的求解是一個(gè)典型的非凸問題，借助半二次分解方法，對強(qiáng)度和梯度先驗(yàn)部分分別添加一個(gè)輔助變量來求解，可表示如下

(7)

式中：I和g分別為和強(qiáng)度、梯度先驗(yàn)相關(guān)的變量，當(dāng)λ、γ趨近于無窮大時(shí)，對于式(7)的求解可通過固定其它變量，對xp、I和g進(jìn)行交替求解。最終可得對xp的求解結(jié)果如下式

(8)

(9)

在給定xp的條件下，對I、g的求解結(jié)果如下式所示

(10)

(11)

(12)

第二年，表姐生下李嶠汝。秋里，喜上加喜，遂平全縣豐收。有人說，老天爺還算有眼啊，打了咱一耳光又給了個(gè)糖吃。

(13)

對上式采用交替方向乘子法求解如下：

(1)固定a和t1,對xw求解

(14)

因?yàn)樯鲜娇晌?，利用上式對xw求導(dǎo)可得

(15)

式中：divd(·)表示非局部的散度算子，Δd表示非局部拉普拉斯算子。為快速求解，可將其轉(zhuǎn)換到頻域利用快速傅里葉變換進(jìn)行求解。

(2)固定xw和t1，用軟閾值算法對a求解

(16)

(3)固定xw和a,t1按如下方式更新

(17)

上述對NLTV約束部分xw的求解，現(xiàn)有算法已經(jīng)較為成熟，只需輸入對應(yīng)參數(shù)即可完成求解，但由于該方法需要對圖像進(jìn)行分塊處理，所以計(jì)算量較大，程序運(yùn)行時(shí)間較長。上述圖像非盲去模糊方法可總結(jié)見表1。

2 基于L0正則化先驗(yàn)和聯(lián)合全變分的盲去模糊

2.1 基于L0正則化先驗(yàn)約束模糊核估計(jì)

表1 基于L0范數(shù)和NLTV圖像非盲去模糊算法

(18)

對上式的求解，同樣可將其分解為以下兩個(gè)子問題

(19)

(20)

對式(19)的求解同非盲去模糊方法，對式(20)的求解，由于其滿足快速傅里葉變換求解條件，可利用文獻(xiàn)[3]中的方法對模糊核進(jìn)行快速估計(jì)，對模糊核k的估計(jì)過程采用的是一種由粗略到精細(xì)預(yù)估的圖像金字塔的方式，在得到k后，需對其進(jìn)行歸一化處理。通過上述一系列的求解，可得到對模糊核k的估計(jì)以及潛在圖像的輸出。

2.2 聯(lián)合全變分模型構(gòu)造與求解

圖像非盲去模糊方法[2,4]經(jīng)過長時(shí)間的發(fā)展,已經(jīng)有很多成果可以加以利用，在基于正則化約束的求解方法中，常用的正則化方法有全變分(TV)、分?jǐn)?shù)階全變分(FOTV)和非局部全變分(NLTV)等，為減少階梯效應(yīng)同時(shí)更多地保留圖像的細(xì)節(jié)信息，采用FOTV和NLTV聯(lián)合全變分對預(yù)處理圖像進(jìn)行進(jìn)一步的去模糊處理。對預(yù)處理圖像先采用GGES算法，將其分解為平滑區(qū)和紋理區(qū)，再用FOTV和NLTV分別約束分解得到的平滑區(qū)和紋理區(qū)，建立聯(lián)合全變分非盲去模糊模型，可表示如下

(21)

(22)

對式(22)中xs部分采用交替方向乘子法，求解方法同1.2中式(13)，最終求得的結(jié)果如下

(23)

(24)

表2 基于L0范數(shù)和聯(lián)合全變分盲去模糊算法

3 實(shí) 驗(yàn)

本文實(shí)驗(yàn)所用計(jì)算機(jī)處理器為Intel-8100(3.60 GHZ),RAM為8 GB，實(shí)驗(yàn)基于Matlab R2016a完成。實(shí)驗(yàn)相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：β=4e-3、σ=1、τ=2，實(shí)驗(yàn)選取了4幅大小為512(512像素的圖像，選用了和文獻(xiàn)[4]相同的4種模糊核。實(shí)驗(yàn)結(jié)果就圖像非盲去模糊和圖像盲去模糊兩方面分別進(jìn)行了展示。在圖像非盲去模糊方面，采用了非盲去模糊效果較好的FTVd[4]、TVd[4]以及FOTV[5]方法和本文方法進(jìn)行了對比，實(shí)驗(yàn)效果如圖1-圖3所示。

圖1 baboon對比實(shí)驗(yàn)效果

圖2 lax對比實(shí)驗(yàn)效果

圖3 lax細(xì)節(jié)

由圖1-圖3可以看出，本文算法在圖像細(xì)節(jié)和邊緣部分有較好的效果，能使恢復(fù)出的圖像更接近真實(shí)圖像，體現(xiàn)出良好的視覺效果，如圖3中細(xì)節(jié)放大圖的飛機(jī)輪廓和軌跡細(xì)節(jié)部分。

為更客觀地展現(xiàn)本文方法的有效性，采用PSNR作為性能指標(biāo)對所選圖像在兩種噪聲下分別進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，結(jié)果見表3、表4。

由表中數(shù)據(jù)可以看出，相比于對比算法，本文算法對于在附加噪聲的影響下仍取得了較好的去模糊效果，對于大多數(shù)圖像，本文都有最高的PSNR值，體現(xiàn)了算法對于噪聲的魯棒性，進(jìn)一步說明了本文算法的有效性。對于紋理細(xì)節(jié)較多的baboon圖像，由于紋理區(qū)域和平滑區(qū)域交叉嚴(yán)重，不利于圖像分區(qū)，導(dǎo)致結(jié)果并非最優(yōu)。

表3 BSNR=40 dB時(shí)各算法非盲去模糊對比

表4 BSNR=30 dB時(shí)各算法非盲去模糊對比

在圖像盲去模糊方面，為體現(xiàn)本文算法的有效性，和J.Pan等提出的文本圖像去模糊算法、新提出的基于L0梯度先驗(yàn)圖像盲去模糊算法進(jìn)行了對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖4、圖5所示。

圖4 文本圖像實(shí)驗(yàn)效果對比

圖5 自然圖像實(shí)驗(yàn)效果對比

從以上兩組圖像的對比中可以看出，無論是文本圖像還是自然圖像，本文方法相比兩種對比算法，盲去模糊效果更好，復(fù)原出的圖像銳化度更高，說明了本文算法采用的聯(lián)合全變分方法確實(shí)能保留更多的細(xì)節(jié)信息同時(shí)很好地去除了偽影。

為更為客觀地體現(xiàn)本文算法的優(yōu)越性，和已有的方法進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表5。

從表5可以看出，相較于對比算法，對選取的各種圖像本文算法大多都有最佳的PSNR值，充分表明了本文算法的有效性。

表5 各算法盲去模糊PSNR/dB對比

4 結(jié)束語

結(jié)合L0范數(shù)正則化強(qiáng)度和梯度先驗(yàn)知識和典型的正則化約束方法，本文對圖像去模糊進(jìn)行了研究，在圖像非盲去模糊方面，利用L0范數(shù)和NLTV算法各自的優(yōu)點(diǎn)，構(gòu)建了圖像非盲去模糊模型，相較于單一的正則化約束方法，該模型更好地利用了圖像本身的結(jié)構(gòu)信息，對細(xì)節(jié)部分有更好地恢復(fù)效果；在圖像盲去模糊方面，基于L0正則化先驗(yàn)估計(jì)出的模糊核和聯(lián)合全變分方法，提出了盲去模糊模型，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該模型復(fù)原出的圖像具有更高的銳化度和PSNR值，效果更好。由于本文涉及的參數(shù)眾多，導(dǎo)致程序運(yùn)行時(shí)間較長，下一步研究可考慮對參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)選擇。另外，為提升模糊核估計(jì)的準(zhǔn)確度，可考慮對模糊核采用多種方法進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)，以達(dá)到更好的圖像去模糊效果。