Variance Gamma模型下歐式與美式期權(quán)的柳樹法定價

姚 怡，許 威

（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092）

現(xiàn)今，期權(quán)是金融市場上一種重要的衍生品對沖工具，在歐美國家已被廣泛使用，在中國國內(nèi)也發(fā)展迅速。決定期權(quán)定價的關(guān)鍵因素是股票的價格分布。Black Scholes期權(quán)定價模型假定股票的收益率服從幾何布朗運動，因其簡單實用是目前應(yīng)用最廣泛的模型。但是長期市場驗證表明，該模型存在諸如“波動率微笑”的定價偏差，真實的股票價格的分布在短時間內(nèi)具有尖峰厚尾的特點，是Black Scholes期權(quán)定價模型不能刻畫的。1987年Madan和Seneta［1］首先提出了Variance Gamma過程，以此過程來描述股票價格的波動。Variance Gamma過程以Gamma獨立增量過程作為時變過程來構(gòu)造布朗運動，增加了控制峰度的參數(shù)，能更好地吻合短時間上股票收益分布比正態(tài)分布高峰厚尾、長時間上趨于正態(tài)分布的實證結(jié)果。

在Madan和Seneta提出Variance Gamma過程后，大量學(xué)者研究了基于Variance Gamma（VG）模型的金融衍生品定價問題。1990年，Madan和Seneta［2］給出了基于VG模型的期權(quán)定價方法，并與Black Scholes期權(quán)定價模型進(jìn)行比較。1998年，Chang等［3］刻畫了VG過程的特征函數(shù)，給出了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)價格的閉形解，并驗證了基于VG模型模擬股票價格，能很好解決Black Scholes模型中的“波動率微笑”問題。1999年，Carr和Madan［4］提出了使用快速傅里葉變換方法解決VG模型下的期權(quán)定價問題。Fiorani［5］給出了PIDE的顯隱式差分?jǐn)?shù)值求解方法。2004年，Hirsa和Madan［6］將其推廣到美式期權(quán)的定價中。2008年，F(xiàn)ang和Oosterlee［7］使用傅里葉余弦級數(shù)展開方法定價歐式期權(quán)。2018年，Pachón［8］使用切比雪夫級數(shù)近似的方法定價VG模型下的歐式期權(quán)。近年來，國內(nèi)學(xué)者也對VG模型下期權(quán)的定價進(jìn)行了研究。奚煒［9］給出了VG期權(quán)定價模型的一種完備解析表達(dá)形式。肖爽［10］將鞅方法和特征函數(shù)法相結(jié)合求得歐式期權(quán)的解析解。李暢［11］做了期權(quán)定價實證分析，證明了VG模型下期權(quán)價格與市場價格趨勢一致，擬合程度良好，優(yōu)于傳統(tǒng)Black Scholes模型。但是上述方法都較為復(fù)雜，理解與實現(xiàn)不易，特別是在定價VG過程下的美式期權(quán)時有一定的困難，且計算運行時間較長。

本文在VG模型下，提出了基于柳樹結(jié)構(gòu)的定價歐式與美式期權(quán)的方法。柳樹法［12］最初通過構(gòu)造離散的馬爾科夫過程來刻畫幾何布朗運動對歐式期權(quán)定價。柳樹結(jié)構(gòu)的優(yōu)點是每個時刻上的資產(chǎn)價格數(shù)是常數(shù)，因此，隨著時間步數(shù)的增加，柳樹上節(jié)點的總個數(shù)是線性增長的，而不是二叉樹中的平方增長，提高了數(shù)值方法的效率。柳樹法的簡單結(jié)構(gòu)示意圖可參見文獻(xiàn)［13］。

在VG模型下，本文提出柳樹的構(gòu)造過程主要分為兩步：首先在計算對數(shù)資產(chǎn)價格四階矩的基礎(chǔ)上，利用Johnson曲線轉(zhuǎn)換公式的逆變換，將服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的離散節(jié)點轉(zhuǎn)換成服從VG過程的價格節(jié)點，得到標(biāo)的資產(chǎn)價格的估計；然后由于VG模型滿足的條件概率函數(shù)復(fù)雜的特性，使用傅里葉余弦近似的方法，計算得到資產(chǎn)價格節(jié)點相鄰時刻間的轉(zhuǎn)移概率，從而完整構(gòu)造基于VG模型的柳樹。在已構(gòu)建柳樹的基礎(chǔ)上，使用倒推的方法對歐式與美式期權(quán)定價。另外，還對使用該算法計算歐式期權(quán)價格時產(chǎn)生的截斷誤差進(jìn)行分析，證明定價歐式期權(quán)時柳樹法的收斂性質(zhì)。最后，對柳樹法定價VG模型下歐式期權(quán)的結(jié)果與蒙特卡洛方法、傅里葉余弦級數(shù)展開方法［7］的結(jié)果進(jìn)行比較。

1 VG模型下期權(quán)的柳樹法定價

1.1 資產(chǎn)價格估計

VG過程由Madan和Seneta提出，是純跳躍Levy過程中最為典型的一種。VG過程Xt是將布朗運動置于Gamma過程的時變下獲得：

其中b(t；θ，σ)=θt+σW(t)是漂移項為θ、波動率為σ的布朗運動，W(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；γ(t；μ，υ)是均值為μ、方差為υ的Gamma過程。由文獻(xiàn)［3］可知，參數(shù)σ控制VG過程的波動率，參數(shù)υ控制VG過程的峰度，參數(shù)θ控制VG過程的偏度。

在VG指數(shù)模型下，股票價格基于方程

其中ω=)，ω為在風(fēng)險中性測度下的修正項。為了簡便運算，首先將資產(chǎn)價格取對數(shù)，令R t=(r+ω)t+X t，則時刻t的資產(chǎn)價格S t即為S t=S0?eR t。由文獻(xiàn)［3］可知，VG過程X t的特征函數(shù)φX t為

所以R t的特征函數(shù)為

又由文獻(xiàn)［14］可知，若過程R t存在相應(yīng)的特征函數(shù)，則該過程的n階矩皆可由相應(yīng)的特征函數(shù)求得，如式（5）：

所以VG過程下的R t的四階矩為：

其中，E[R t]、V[R t]、S[R t]、K[R t]分別為R t的期望、方差、偏度與峰度。

為了構(gòu)造基于VG模型的資產(chǎn)價格柳樹結(jié)構(gòu)，首先需要得到資產(chǎn)價格節(jié)點的估計。將時間區(qū)間［0，T］離散為N個時間節(jié)點，即0=t0＜t1＜…＜t N=T，t n=nΔt，n=1，2，…，N，Δt=T/N。在 任意時間節(jié)點t n，可以在計算對數(shù)資產(chǎn)價格四階矩的基礎(chǔ)上，通過Johnson曲線，將服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的離散節(jié)點轉(zhuǎn)換成服從過程R t四階矩的離散節(jié)點=1，2，…，m，再轉(zhuǎn)換為資產(chǎn)價格節(jié)點，i=1，2，…，m，在柳樹上的每個離散時間節(jié)點t n，都估計m個可能的資產(chǎn)價格節(jié)點。

利用Johnson曲線轉(zhuǎn)換公式的逆變換，將一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成一個滿足式（6）Rt的四階矩的隨機(jī)變量，首先生成離散節(jié)點再轉(zhuǎn)換為資產(chǎn)價格節(jié)點從而估計資產(chǎn)價格的分布。Johnson提出的方法［15］可以將任意連續(xù)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的隨機(jī)變量Z。其主要原理是通過計算已知變量的四階矩，然后代入統(tǒng)一的公式中估計該變量的離散值。該模型可以靈活匹配任意變量的期望、方差、偏度和峰度，并且根據(jù)偏度和峰度便可唯一地確定模型中所需函數(shù)的具體類型。Johnson曲線的公式如下：

基于文獻(xiàn)［16］提出的算法，參數(shù)a、b、c、d和函數(shù)g(?)的類型都可以根據(jù)對應(yīng)隨機(jī)變量的四階矩求得。而根據(jù)Johnson曲線的逆變換，則可以將一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量Z轉(zhuǎn)換成給定的分布X，即

由此，可以利用Johnson曲線的逆變換，可得基于VG模型的資產(chǎn)價格柳樹。該算法總結(jié)如下：

對于一個標(biāo)的資產(chǎn)，給定其初始價格S0，將時間區(qū)間[0，T]劃分為N個時間步數(shù)，在每個時刻t n有m個可能的資產(chǎn)價格，且滿足式（2）。時刻t n的m個資產(chǎn)價格離散值可通過以下步驟得到：

（1）定義資產(chǎn)回報Rt=ln(S t/S0)，通過式（6）計算R t的期望、方差、偏度和峰度。

（2）構(gòu)造序列{(z i，q i)}，令q i=(i-0.5)γ/m，γ=0.6，q i=q m+1-i，i=1，2，…，m/2.標(biāo) 準(zhǔn) 化q i， 即q i=q i/i=1，2，…，m；z1=N-1(q1/2)，z i=N-1(+q i/2)，i=1，2，…，m，其中N(?)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積密度函數(shù)。

（3）根據(jù)步驟（2）中的{z i}，由式（7）可以計算出隨機(jī)變量R t的離散值：

對于不同的分布族，對應(yīng)的參數(shù)a、b、c、d可通過文獻(xiàn)［16］得到。

（4）估計時刻t的m個標(biāo)的資產(chǎn)價格值：

1.2 轉(zhuǎn)移概率計算

時刻t n的資產(chǎn)價格柳樹節(jié)點為S(t n)=時刻t n+1的柳樹節(jié)點為S(t n+1)=從t n到t n+1時刻的轉(zhuǎn)移概率矩陣[]的計算方法如下：

基于t n+1時刻的資產(chǎn)價格節(jié)點S(t n+1)計算出累計分布函數(shù)區(qū)間節(jié)點[]，其中

（2）計算從t n時刻的節(jié)點轉(zhuǎn)移到t n+1時刻的節(jié)點的條件轉(zhuǎn)移概率。

其中，p()是以為條件的條件密度函數(shù)。

傅里葉變換和逆變換的形式為

其中，f(x)和φ(u)分別為R t的概率密度函數(shù)與特征函數(shù)，φ(u)的表達(dá)式見式（4）。對于定義在[0，π]上的函數(shù)，其余弦展開如下式：

其中A k=f(θ)cos(kθ)dθ。式中的∑′符號表示在求和時的第1項需要乘以可以將上述余弦展開公式做換元變換，以作用于任意有限區(qū)間[a，b]∈R上。

從而傅里葉余弦展開變?yōu)橄率剑?/p>

其中系數(shù)A k為Fourier-Cosine系數(shù)，定義如下：

由傅里葉變換存在的必要條件可知，被積函數(shù)的值在趨近∞時應(yīng)該趨向于零，所以可將積分區(qū)間從R進(jìn)行縮減至區(qū)間［a，b］，并仍保留精度。即有

Fang和Oosterlee［7］中對［a，b］區(qū)間的確定給出了一種方法

其中，c n為n階累積量。若隨機(jī)變量x的特征函數(shù)記作φx(u)，記Ψ(u)=lnφx(u)，則c n：=(-i)nΨn(0).

序列系數(shù)A k又與條件特征函數(shù)φ1有直接的關(guān)系，可寫為

其中，φ1(u；x)=φ(u)?eiux，φ(u)已由式（4）給出。

又根據(jù)傅里葉理論，cosine序列函數(shù)屬于C∞([a，b]∈R)，有非零導(dǎo)數(shù)及指數(shù)收斂的性質(zhì)。因此，序列系數(shù)截斷N0項，得到條件密度函數(shù)的逼近表達(dá)式：

對于任意區(qū)間[c，d]?[a，b]，對f(y|x)做積分便可以求得區(qū)間［c，d］對應(yīng)的累計分布函數(shù)

令Υk(c，d)=)dy，則通過簡單的積分運算，可以直接求得Υk(c，d)：

Υk(c，d)=

綜上，條件轉(zhuǎn)移概率可由下式計算得到：

所以，在計算時刻t n下資產(chǎn)價格節(jié)點S ni到時刻t n+1下資產(chǎn)價格節(jié)點S n+1j的轉(zhuǎn)移概率p nij時，只需按照式（10）計算。其中，條件轉(zhuǎn)移概率的條件x為S ni，區(qū)間［c，d］即為[C n+1j，C n+1j+1]，計算方法由式（8）給出。

由此，結(jié)合1.1節(jié)資產(chǎn)價格的估計和1.2節(jié)轉(zhuǎn)移概率矩陣的計算，就完整地構(gòu)造了基于VG這一Levy模型的柳樹。

1.3 計算歐式期權(quán)與美式期權(quán)價格

根據(jù)1.1與1.2節(jié)中構(gòu)建的柳樹使用倒推法計算歐式與美式期權(quán)的價格。

對于到期日為T、敲定價格為K的歐式期權(quán)，它的價格可以通過從T時刻開始按離散時間節(jié)點一步步往前倒推得到。以歐式看漲期權(quán)為例，在到期日T時刻，第i個柳樹節(jié)點處的期權(quán)價值為

在時刻t N-1，第j個節(jié)點處的期權(quán)價值為

依次類推，在時刻t1，各節(jié)點處的期權(quán)價值為V1l，從S0轉(zhuǎn)移到時刻t1各節(jié)點的轉(zhuǎn)移概率為ql，則初始時刻t0的歐式期權(quán)價格為

對于到期日為T、敲定價格為K的美式期權(quán)，它的價格也可以通過從T時刻開始按離散時間節(jié)點往前倒推得到。同樣，在到期日T時刻，第i個柳樹節(jié)點處的看漲美式期權(quán)價值為

在時刻t N-1，第j個節(jié)點處的期權(quán)價值為

其中，g(，K)=max(-K).以此類推，可以計算得到t0時刻的美式期權(quán)價格。

2 柳樹法的截斷誤差

對定價VG模型下歐式期權(quán)的柳樹法進(jìn)行誤差分析。由文獻(xiàn)［5］，在VG過程X t下，股票價格服從方程S t=S0e(r+ω)t+X t時，歐式期權(quán)價格V(S，t)服從以下PIDE方程：

其中，v(x)是VG過程X t的Levy測度。令D t=ln(S t)，則上式變換為：

使用柳樹法定價時，在t n時刻，期權(quán)的價格可以由倒推公式求得，即

定理1假設(shè)資產(chǎn)價格S服從S t=S0e(r+ω)t+X t，X t是VG過程，由柳樹法定價式（13）計算的歐式期權(quán)價值與方程（12）的真實解之間的截斷誤差為O(Δt)+R，即截斷誤差的大小取決于VG過程Xt的Levy測度v(x)的五階積分項

證明首先，在VG模型下，定義ΔD ji=-將柳樹法倒推式（13）中的在()處泰勒展開。

將柳樹法倒推式（13）中的貼現(xiàn)項e-rΔt泰勒展開，并將式（14）代入（13）：

將式（16）中的四階矩代入式（15），化簡得：

即可化簡得式（17）：

另一方面，因為服從VG過程X t的歐式期權(quán)的PIDE方程為式（12），考慮其中的積分項

其中，ξ∈(D i，D i+x)。將(D i+x，t n)的泰勒展開 式（18）代 入 積 分 項(D i+x，t n)v(x)dx中得：

所以式（12）中積分項為：

又由VG過程的性質(zhì)，其Levy測度v(x)滿足：

將式（21）代入式（20），則式（12）中的積分項為

將式（22）與通過柳樹法計算得到的式（17）對比，則可得

所以，在VG過程X t下，由柳樹法定價式（13）計算的歐式期權(quán)價值與方程（12）的真實解之間的截斷誤差為O(Δt)+R。

由上述定理1可知，因為用柳樹法定價VG過程下歐式期權(quán)時，使用Johnson Curve方法匹配了VG過程的四階矩，所以截斷誤差里有五階矩的信息，柳樹法定價歐式期權(quán)的截斷誤差取決于式（23）中的余項R，即VG過程X t的Levy測度v(x)的五階積分項x5v(x)dx，當(dāng)其很小時，柳樹法收斂。第3節(jié)數(shù)值實驗選取了VG過程的2組參數(shù)，如表1所示。這2組參數(shù)下，余項R分別為-1.65×10-7×(5)(ξ)和-2.64×10-6×(5)(ξ).余項R很小，數(shù)值結(jié)果也說明了柳樹法精度較高。

3 Variance Gamma模型下歐式期權(quán)與美式期權(quán)定價的數(shù)值實驗

通過實驗對不同參數(shù)的歐式期權(quán)與美式期權(quán)進(jìn)行分析，比較柳樹法與蒙特卡洛方法的數(shù)值結(jié)果。所有數(shù)值實驗的程序均在操作系統(tǒng)為64位Windows10專業(yè)版的計算機(jī)上運行，內(nèi)存為32GB，處 理 器 為Intel（R）Core（TM）i5-8400U CPU@2.80GHz，使用的軟件版本為Matlab R2018b。

實驗中，柳樹法中資產(chǎn)價格節(jié)點個數(shù)m=50，股票初始價格S0=100，蒙特卡洛方法的模擬路徑數(shù)為10萬次。選取2組VG模型參數(shù)的參數(shù)如表1所示。第1組參數(shù)選自文獻(xiàn)［17］，第2組參數(shù)選自文獻(xiàn)［18］。

在第1組數(shù)值實驗中使用柳樹法計算VG模型2組參數(shù)下不同離散步數(shù)歐式看漲期權(quán)的價值。固定敲定價格都為K=100，第1組參數(shù)的到期日T1=0.25，第2組參數(shù)的到期日T2=0.50。分別選取離散步數(shù)N為20、40、60、80步，實驗結(jié)果展示于表2。從表2可以看出，柳樹法的定價結(jié)果均落在蒙特卡洛模擬10萬次模擬的95%置信區(qū)間內(nèi)。第1組參數(shù)使用文獻(xiàn)［7］中的傅里葉余弦方法得到的歐式期權(quán)價格為3.826 7，第2組參數(shù)使用傅里葉余弦方法得到的歐式期權(quán)價格為7.103 7，與柳樹法計算結(jié)果的相對誤差都小于0.5%，說明了柳樹法定價期權(quán)的精確性。比較柳樹法與蒙特卡洛方法的計算時間，柳樹法的計算時間則有明顯的優(yōu)勢。

表2 不同離散步數(shù)下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下歐式看漲期權(quán)的結(jié)果Tab.2 Results of European option pricing at different N values

表3展示了設(shè)定不同敲定價格K后柳樹法與蒙特卡洛方法的計算結(jié)果，這里統(tǒng)一令離散步數(shù)N為60。對于2組參數(shù)，設(shè)定敲定價格K分別為95、98、102和105，結(jié)果說明敲定價格K的變化不影響柳樹法定價歐式期權(quán)的表現(xiàn)，定價結(jié)果均落在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)。

表3 不同敲定價格K下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下歐式看漲期權(quán)的結(jié)果Tab.3 Results of European option pricing at different K values

考慮歐式期權(quán)到期日時間的不同對柳樹法定價的影響，對于2組參數(shù)分別選取不同的到期日T，結(jié)果展示于表4中。結(jié)果表明到期日T的變化不影響柳樹法定價歐式期權(quán)的表現(xiàn)，定價結(jié)果均落在蒙特卡洛模擬的99%置信區(qū)間內(nèi)。

表4 不同到期日T下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下歐式看漲期權(quán)的結(jié)果Tab.4 Results of European option pricing at different T values

接下來，通過數(shù)值實驗驗證柳樹法計算美式期權(quán)的精確性。表5展示了在不同離散時間步數(shù)時，柳樹法計算敲定價格K為100的美式看跌期權(quán)價格與蒙特卡洛方法的比較。蒙特卡洛方法使用了10萬次的最小二乘法模擬。從表5可以看出，柳樹法的計算結(jié)果均落在蒙特卡洛模擬的95%置信區(qū)間中，說明了柳樹法定價美式期權(quán)的精確性，并在計算時間上遠(yuǎn)小于蒙特卡洛方法。

表6與表7展示了在不同的敲定價格K與不同的到期日T下，柳樹法與蒙特卡洛法對美式看跌期權(quán)的定價結(jié)果。柳樹法的計算結(jié)果完全落在95%的置信區(qū)間內(nèi)，說明了敲定價與到期日這2個參數(shù)的變化不會影響柳樹法的準(zhǔn)確性。

表5 不同離散步數(shù)下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下美式看跌期權(quán)的結(jié)果Tab.5 Results of American option pricing at differ?ent N values

表6 不同敲定價格K下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下美式看跌期權(quán)的結(jié)果Tab.6 Results of American option pricing at different K values

表7 不同到期日T下柳樹法和蒙特卡洛法定價VG模型下美式看跌期權(quán)的結(jié)果Tab.7 Results of European option pricing at different T values

4 結(jié)語

基于VG模型，運用柳樹法對歐式期權(quán)與美式期權(quán)進(jìn)行了定價研究。首先，介紹了柳樹的構(gòu)造過程，主要分為兩步：一是利用Johnson曲線轉(zhuǎn)換公式的逆變換，通過計算隨機(jī)變量的四階矩，將一個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換成一個服從VG過程的連續(xù)隨機(jī)變量，得到標(biāo)的資產(chǎn)價格的估計；二是由于VG模型滿足的條件概率函數(shù)復(fù)雜的特性，使用了傅里葉余弦近似的方法，計算得到資產(chǎn)價格節(jié)點相鄰時刻間的轉(zhuǎn)移概率，從而完整構(gòu)造了基于VG模型的柳樹。并使用倒推的方法對歐式與美式期權(quán)定價。

分析了該算法對歐式期權(quán)定價的誤差，證明了柳樹法的截斷誤差為O(Δt)+R。最后，將用柳樹法定價VG模型下歐式與美式期權(quán)的結(jié)果與蒙特卡洛方法進(jìn)行比較，數(shù)值實驗的結(jié)果表明，柳樹法不僅能達(dá)到蒙特卡洛方法的計算精度，而且在運行時間上明顯少于蒙特卡洛方法，從而說明了柳樹法在歐式與美式期權(quán)定價中的優(yōu)勢。

本文研究的VG模型只是Levy過程中的一種，未來的研究方向之一是將該方法推廣到其他的Levy過程，如Kou提出的雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型、NIG模型和CGMY模型等。