基于結構自適應濾波方法的非線性系統(tǒng)辨識

馮子凱，陳立家，劉名果，袁蒙恩

（河南大學物理與電子學院，河南開封475000）

0 引言

系統(tǒng)辨識被廣泛用于化學、機械、電氣和土木工程等領域的系統(tǒng)控制和過程優(yōu)化。一些系統(tǒng)的模型可以用線性參數(shù)形式表示，并且可以應用自適應控制來實現(xiàn)輸出跟蹤，對其未知的系統(tǒng)參數(shù)進行在線識別和估計［1-3］。例如，線性自適應濾波器被廣泛用于系統(tǒng)建模［3］。盡管線性濾波器很流行，但在許多情況下仍然不適用，尤其是對于非線性系統(tǒng)的建模。

在實際工程中，大多數(shù)系統(tǒng)的模型不是線性的，并且在執(zhí)行測量或設計和校準測量儀器時必須考慮其非線性特性。過去的幾十年中，大量的研究集中于非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模和識別［4］。

在對非線性系統(tǒng)建模和辨識時，面向塊的模型被廣泛應用，例如 Wiener［4-7］、Hammerstein［8］和 Wiener-Hammerstein［9-12］是很好的解決方案，可以基于簡單的塊構建模型，找到可以覆蓋許多實際非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)。例如，文獻［4］中使用多項式非線性分數(shù)狀態(tài)空間方程來描述非線性模型，擴展了輸出誤差方法（Levenberg Marquard 算法），以估計分數(shù)維納系統(tǒng)；文獻［8］中提出了一種可分離的非線性最小二乘算法來識別輸出非線性塊和Hammerstein子模型；文獻［10］中提出了一個基于塊的非線性分數(shù)模型，基于基準函數(shù)來識別Wiener-Hammerstein 模型。以上研究所用的模型有一個共同的特點是：它們的結構是固定的或者靈活性較低，而它們對系統(tǒng)的辨識是基于參數(shù)的辨識，因此具有一定的局限性。

相比之下，神經(jīng)網(wǎng)絡可被視為一類非線性的面向塊的自適應濾波器。無論是橫向濾波還是遞歸濾波，神經(jīng)網(wǎng)絡由于其良好的非線性逼近能力而受到了研究者的青睞［13-17］。然而，神經(jīng)網(wǎng)絡仍存在一些局限性。例如，它的自由參數(shù)總數(shù)（連接權重）通常超過1 000［17］，因此計算量較大，訓練時間較長，且成本較高。

針對以上問題，本文提出了一種基于子系統(tǒng)的結構自適應濾波（Subsystem-based Structural Adaptive Filtering，SSAF）方法用于非線性系統(tǒng)的辨識。該方法由若干線性-非線性混合結構的子系統(tǒng)隨機無反饋級聯(lián)構成，并引入一種自適應多精英引導的復合差分進化（Adaptive Multiple-Elites-guided Composite Differential Evolution with a shift mechanism，AMECoDEs）算法［18］用于優(yōu)化子系統(tǒng)的參數(shù)以及子系統(tǒng)之間的連接。本文最后驗證了提出的方法可以很好地用于具有高度非線性的系統(tǒng)辨識。

1 自適應多精英引導的復合差分進化算法

AMECoDEs 算法引入了多重精英引導突變和轉移機制來平衡收斂和多樣性，與單純的精英突變相比，在防止早期收斂和停滯方面更為有效。

AMECoDEs 算法與傳統(tǒng)的差分進化（Differential Evolution，DE）算法相比有兩個改進。第一個改進是多精英引導突變，使用精英（優(yōu)秀的個體）信息的突變策略建議在探索與開發(fā)之間取得平衡。在傳統(tǒng)的由精英指導的差分算法中，種群的個體通常只由一位精英指導，當選定的精英被定位在一個地區(qū)時，很容易將個體引向一個未知地區(qū)。在AMECoDEs 算法中，種群的每一個個體都受到兩位精英的指導，這樣可以減少被誤解的可能性，并有效地使個體朝著更好的前景發(fā)展。每一位精英都是由一代向量生成策略創(chuàng)建的，并有不同的選擇方法和參數(shù)，參數(shù)根據(jù)初步經(jīng)驗進行獨立的自適應調整。第二個改進是引入了轉移機制（Shift Mechanism，SM）。在SM中，如果種群不能收斂到一個小的區(qū)域，一些沒有希望的個體將被轉移到一個有希望的社區(qū)，以促進收斂；如果種群集中在一個很小的區(qū)域，一些沒有希望的個體將無條件地轉移到隨機位置，以增強種群的多樣性。AMECoDEs算法的步驟如下：

1）隨機生成N 個命令序列。命令序列被視為目標向量，每個命令序列代表一個結構隨機的非線性系統(tǒng)。產生初始種群P0。

2）計算目標向量的適應值，確定適應值是否滿足全局最優(yōu)條件。如果滿足則輸出最佳個體，結束計算；否則，執(zhí)行3）。

6）算子M1 和M2 使用相同的庫A，如果庫A 的大小超過種群的大小PS，則會隨機刪除多余的個體。每一代結束時，啟動轉移機制。

7）返回2）進行比較。

AMECoDEs算法的偽代碼如下：

2 結構自適應濾波模型

2.1 子系統(tǒng)

本文提出的自適應濾波模型由多個子系統(tǒng)組成，每個子系統(tǒng)為一個類型可選的一階子系統(tǒng)或二階子系統(tǒng)。一階子系統(tǒng)由1 個延遲器、2 個乘法器、2 個加法器和1 個靜態(tài)非線性函數(shù)組成；二階子系統(tǒng)由2 個延遲器、4 個乘法器、3 個加法器和1個靜態(tài)非線性函數(shù)組成。

一階子系統(tǒng)如圖1（a）所示，其中：A1和B1表示乘法器，z-1表示單位延遲，3 個黑點表示加法器，箭頭表示信號流向；二階子系統(tǒng)如圖1（b）所示，其中：A1、A2、B1和B2表示乘法器，z-1表示單位延遲，3個黑點表示加法器，箭頭表示信號流方向。

圖1 子系統(tǒng)結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of subsystem structure

為了便于敘述，將一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)簡稱為子系統(tǒng)。式（1）表示一階子系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)，其中R為實數(shù)域，A1的取值范圍為(-1，1)，使傳遞函數(shù)的極點位于單位圓內，確保了一階子系統(tǒng)線性部分的穩(wěn)定性。

式（2）表示二階子系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)，其中R為實數(shù)域，C 為復數(shù)域；a1和a2的取值范圍使傳遞函數(shù)的極點限制在單位圓內，保證了二階子系統(tǒng)線性部分的穩(wěn)定性。

一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的非線性部分有幾種選擇：

其中：s（n）為自變量，y（s（n））為系統(tǒng)輸出；式（4）中，e 為自然常數(shù)。Sigmoid 函數(shù)是最常用的非線性函數(shù)之一，被廣泛應用［19］，故本文子系統(tǒng)的靜態(tài)非線性函數(shù)統(tǒng)一設置為Sigmoid函數(shù)。

2.2 優(yōu)化問題描述

2.2.1 算法個體信息描述

在AMECoDEs 算法中，每個單獨的個體（θ）稱為一條指令。一個個體包含i個子系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)所包含的信息有：輸入端口號（I）；輸出端口號（O）；子系統(tǒng)類型（T），即一階子系統(tǒng)或二階子系統(tǒng)；連接方式C，分C1、C2、C3三種；子系統(tǒng)線性部分的參數(shù)（P）。

AMECoDEs 算法中每個個體的結構如圖2 所示。其中矩陣θ和矩陣的表達式如式（7）和式（8）所示。

圖2 單個個體的結構Fig. 2 Structure of each individual

2.2.2 子系統(tǒng)連接方式

子系統(tǒng)的連接方式有三種：連接新的活動端口（C1）、連接現(xiàn)有端口（C2）和連接系統(tǒng)的輸入端口（C3）。C1是生成一個新的活動端口，即新添加的子系統(tǒng)的輸入端口連接到當前的活動端口，其輸出端口連接到新生成的活動端口，如圖3（a）所示；C2是新增加的子系統(tǒng)的輸出端口連接到當前活動端口，其輸入端口連接到之前的活動端口，如圖3（b）所示；C3是新增加的子系統(tǒng)的輸出端口連接到當前活動端口，其輸入端口連接到整個系統(tǒng)的輸入端口。在本指令中，添加到現(xiàn)有模型的最后一個子系統(tǒng)的輸出是整個模型的輸出，如圖3（c）所示。若連接方式為C1，新活動端口的值是其上一個活動端口的值加上1；若連接方式為C2或C3，則活動端口的值保持不變。

圖3 子系統(tǒng)的三種連接方式Fig.3 Three connection modes of subsystems

2.2.3 自適應模型的生成

在AMECoDEs算法的初始過程中，指令按規(guī)則隨機生成，每條指令可構造一個完整的自適應系統(tǒng)模型。演化開始后，系統(tǒng)的輸入端口設置為端口1，從端口1 開始，按照指令逐一添加子系統(tǒng)，形成一個完整的無反饋的非線性系統(tǒng)。

例如，當子系統(tǒng)的數(shù)目S= 5 時，其信息如表1 所示，其對應的系統(tǒng)構造如圖4所示。

表1 子系統(tǒng)數(shù)目為5時的系統(tǒng)信息Tab. 1 System information when number of subsystems is 5

圖4 中，箭頭是信號流的方向；x（n）和y（n）分別是系統(tǒng)的輸入端口和輸出端口。在算法初始化之后，自適應濾波模型在AMECoDEs 算法作用下進行循環(huán)的迭代優(yōu)化，即通過不斷的變異、交叉、選擇操作和移位機制來更新種群，以找到全局最優(yōu)解，即最優(yōu)的系統(tǒng)結構和參數(shù)。

圖4 示例系統(tǒng)的結構示意圖Fig. 4 Schematic diagram of example system

2.3 收斂性評價指標

本文將非線性系統(tǒng)的辨識作為一個優(yōu)化問題來處理。根據(jù)均方誤差（Mean Square Error，MSE）、歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）和相關系數(shù)r三個指標對系統(tǒng)實際輸出y^ (t)和期望輸出y(t)的預測誤差ε進行了收斂分析，如式（9）～（12）所示，適應值（Fitness）的計算公式如式（13）所示。

3 實驗結果與分析

對5個非線性對象進行辨識，包括4個假設為未知的非線性函數(shù)和1 個實際的液體飽和蒸汽熱交換系統(tǒng)。每一類實驗均進行了100 組，且每一組進行了10 000 次迭代演化。實驗結果均為100 組中選出的最優(yōu)結果。辨識對象1～5 的子系統(tǒng)個數(shù)均設為15。

3.1 辨識對象1

辨識對象1的系統(tǒng)函數(shù)［20］如下所示：

其中：yp(k)是系統(tǒng)的輸出；u(k)是系統(tǒng)的輸入，u(k)∈［-2，2］。辨識模型可簡化成如下形式：

圖5（a）比較了六種算法（包括AMECoDEs、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）、DE、遺傳算法（GA）、一種改進的多種群集成差分進化算法（IMPEDE）和基于成功父選擇框架的差分進化算法（DESPS））的適應值迭代曲線，其中AMECoDEs算法具有最小的適應值。表2中，AMECoDEs算法的 MSE 和 NMSE 分別為 0.084 825 和 0.005 634，也優(yōu)于其他五種算法。此外，AMECoDEs 算法的r為0.995 688，十分接近于1，這意味著非線性系統(tǒng)的絕大部分信息被自適應濾波模型成功提取，從圖5（b）中的擬合曲線亦可看出。因此，本示例中，基于AMECoDEs算法的SSAF的性能最優(yōu)。

圖5 辨識對象1中六種算法的性能比較Fig.5 Performance comparison of six algorithms on identification object 1

SSAF 對于本辨識對象的最優(yōu)系統(tǒng)結構如圖6 所示，其中S1、S2、S3、S5、S6、S8、S9、S10、S11、S12、S13和S14是二階子系統(tǒng)，而S4、S7和S15是一階子系統(tǒng)。

表2 辨識對象1中六種算法的收斂結果比較Tab. 2 Comparison of convergence results of six algorithms on identification object 1

圖6 辨識對象1基于AMECoDEs算法的SSAF最優(yōu)結構示意圖Fig. 6 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by AMECoDEs algorithm for identification object 1

3.2 辨識對象2

本辨識對象的系統(tǒng)函數(shù)［21］如下所示：

其 中 ：a1=Yp(k)，a2=Yp(k- 1)，a3=Yp(k- 2)，a4=x(k)，a5=x(k- 1)；F表示非線性函數(shù)，如式（18）所示。

其中：β= 1，系統(tǒng)輸入x(k)為sin(2πk/25)。

如圖 7 和表 3 所示，由 AMECoDEs 算法設計的 SSAF 的適應值最小，擬合性能和收斂性優(yōu)于其他五種最新算法。

表3 辨識對象2中六種算法的收斂結果比較Tab. 3 Comparison of convergence results of six algorithms on identification object 2

圖7 辨識對象2中六種算法的性能比較Fig.7 Performance comparison of six algorithms on identification object 2

SSAF 的最優(yōu)結構如圖 8 所示，其中S1、S2、S3、S6、S7、S8、S12和S15是二階子系統(tǒng)，S4、S5、S9、S10、S11、S13和S14是一階子系統(tǒng)。

圖8 辨識對象2基于AMECoDEs算法的SSAF最優(yōu)結構示意圖Fig. 8 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by AMECoDEs algorithm for identification object 2

3.3 辨識對象3

辨識對象3的系統(tǒng)函數(shù)［21］如下所示：

圖9 辨識對象3中六種算法的性能比較Fig.9 Performance comparison of six algorithms on identification object 3

未知函數(shù)F如下所示：

其中：α= 5，系統(tǒng)輸入x(k)為sin(2πk/25)。

在本示例中，由DESPS設計的SSAF的綜合性能在六種算法中最優(yōu)。然而，如圖9（a）所示，AMECoDE 的最小適應值與DEPSP 十分接近。六種算法的輸出擬合曲線如圖9（b）所示。表 4 中，AMECoDE 的 MSE、NMSE 和r三個指標值與 DEPSPS亦十分接近。因此，AMECoDEs 算法設計的SSAF 的綜合性能與DESPS接近，在六種算法中綜合性能居第二。

本示例中，SSAF 的最優(yōu)結構如圖10 所示。其中S9、S13和S14是二階子系統(tǒng)，而S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7、S8、S10、S11、S12和S15是一階子系統(tǒng)。

表4 辨識對象3中六種算法的收斂結果比較Tab. 4 Comparison of convergence results of six algorithms on identification object three

3.4 辨識對象4

辨識對象4的系統(tǒng)函數(shù)［21］如下所示：

未知函數(shù)F如下所示：

其中α值為2.5，系統(tǒng)輸入為：

如圖11 和表5 所示的仿真結果表明，由AMECoDEs 算法設計的SSAF成功地提取了非線性示例的信息，綜合性能優(yōu)于其他五種算法。

圖10 辨識對象3基于DESPS算法的SSAF最優(yōu)結構示意圖Fig. 10 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by DESPS for identification object 3

表5 辨識對象4中六種算法的收斂結果比較Tab. 5 Comparison of convergence results of six algorithms on identification object 4

圖11 辨識對象4中六種算法的性能比較Fig.11 Performance comparison of six algorithms on identification object 4

SSAF 的最優(yōu)結構如圖 12 所示，其中S1、S2、S3、S4、S8、S11、S12、S14和S15是二階子系統(tǒng)，而S5、S6、S7、S9、S10和S13是一階子系統(tǒng)。

圖12 辨識對象4基于AMECoDEs算法的SSAF最優(yōu)結構示意圖Fig. 12 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by AMECoDEs algorithm for identification object 4

3.5 辨識對象5

辨識對象5 是一個實際的液體飽和蒸汽熱交換系統(tǒng)。液體飽和蒸汽熱交換過程是非線性控制設計的重要基準（Daisy 97-002［17］），它具有非最小相位特性。該系統(tǒng)換熱過程中，水通過銅管由加壓飽和蒸汽加熱，輸入變量是液體流量、蒸汽溫度和入口液體溫度；輸出變量是出口液體溫度。在本實驗中，蒸汽溫度和入口液體溫度與它們的名義值保持不變。該系統(tǒng)可以看作是單輸入單輸出（Single Input Single Output，SISO）模型。此基準中有3 200個樣本，采樣時間為1 s。

從辨識對象1～4 的實驗結果可以看出，使用AMECoDEs算法設計的SSAF 辨識精度高、收斂速度快，綜合性能優(yōu)于其他五種算法。因此本實例中選用AMECoDEs算法訓練基于子系統(tǒng)的結構自適應濾波模型（Subsystem-based structural adaptive filtering method using AMECoDEs， SSAFAMECoDEs）。辨識結果如圖13所示，絕大部分非線性信息被SSAF以較高的精度成功提取。

SSAF 的最優(yōu)結構如圖 14 所示，其中S2，S3，S4，S5，S6，S10，S11，S13和S15是二階子系統(tǒng)，而S1，S7，S8，S9，S12和S14是一階子系統(tǒng)。子系統(tǒng)取不同非線性函數(shù)時的適應值比較如圖15所示。

在 表 6 中 ，SSAF-AMECoDEs 的 MSE 及 NMSE 分 別 為0.038 323 和0.000 04，均小于聚焦時滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡（Focused Time Lagged Recurrent Neural Network，F(xiàn)TLRNN）和多層感知機神經(jīng)網(wǎng)絡（Multi-Layer Perceptron Neural Network，MLPNN）相應的值；并且 SSAF-AMECoDEs 的r與 1 最為接近。此外，SSAF所用參數(shù)的數(shù)量少于120，僅為兩種神經(jīng)網(wǎng)絡所用的參數(shù)數(shù)量的1/10，且SSAF-AMECoDEs 的適應值精度比FTLRNN提高了7%。由圖15可以看出，在取不同的非線性函數(shù)時，LeakyRelu 函數(shù)在初始迭代時表現(xiàn)較優(yōu)，在后續(xù)迭代過程中逐漸被Sigmoid函數(shù)超越。

綜上，由AMECoDEs 算法設計的自適應濾波方法具有良好的非線性系統(tǒng)辨識和收斂性能。

圖13 AMECoDEs算法對辨識對象5的輸出擬合曲線與實際輸出比較Fig. 13 Comparison of output fitting curves between AMECoDEs and reality for identification object 5

圖14 辨識對象5基于AMECoDEs算法的SSAF最優(yōu)結構示意圖Fig. 14 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by AMECoDEs algorithm for identification object 5

圖15 辨識對象5在不同非線性函數(shù)下的適應值比較Fig. 15 Comparison of itness under different nonlinear functions for identification object 5

表6 SSAF-AMECoDEs和兩種神經(jīng)網(wǎng)絡的收斂結果比較Tab. 6 Comparison of convergence results between SSAF-AMECoDEs and two neural networks

4 結語

本文提出了一種基于子系統(tǒng)的結構自適應濾波模型，該模型由子系統(tǒng)隨機級聯(lián)而成，而子系統(tǒng)由低階的IIR 數(shù)字濾波器和靜態(tài)非線性函數(shù)組成，無反饋的連接機制保證了模型的有效性。六種演化算法被用于自適應模型的訓練和進化，對4 個非線性示例和1 個實際數(shù)據(jù)集進行了辨識和收斂性分析，仿真結果表明，基于AMECoDEs算法的結構自適應濾波模型可成功提取復雜系統(tǒng)的非線性信息，收斂性能優(yōu)異，辨識精度高。此外，我們還將繼續(xù)探討對自適應模型的優(yōu)化以及對算法的改進。