考慮黏結(jié)-滑移效應(yīng)的FRP筋混凝土受彎構(gòu)件裂縫寬度計(jì)算方法

郭盛, 陳倓, 涂建維

(1.中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司,湖北 武漢 430063; 2.武漢理工大學(xué)道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢430070)

纖維增強(qiáng)聚合物(Fiber-Reinforced Polymer,FRP)筋具有優(yōu)異的抗腐蝕性能,以之代替鋼筋可用來解決腐蝕環(huán)境下鋼筋混凝土的鋼筋銹蝕問題。FRP筋的低彈性模量會(huì)導(dǎo)致混凝土受彎構(gòu)件產(chǎn)生較大的變形；因此，F(xiàn)RP筋混凝土結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)往往受正常使用極限狀態(tài)下變形的控制,而FRP筋與混凝土的黏結(jié)性能相比鋼筋較差[1]。因此,在對(duì)FRP筋混凝土受彎構(gòu)件進(jìn)行裂縫計(jì)算時(shí),勢(shì)必要考慮黏結(jié)-滑移效應(yīng)的影響。針對(duì)鋼筋混凝土受彎構(gòu)件,國(guó)內(nèi)外已開展了較多的研究。OLIVEIRA R S等[2]提出了梁間分層模型,通過在單元域中加入連續(xù)滑移函數(shù)以考慮黏結(jié)-滑移效應(yīng)的影響,實(shí)現(xiàn)了對(duì)鋼筋混凝土梁變形的精細(xì)計(jì)算;OH B H等[3]用冪函數(shù)近似模擬黏結(jié)應(yīng)力和滑移的關(guān)系,將黏結(jié)-滑移關(guān)系納入裂縫寬度分析模型中,建立了鋼筋混凝土梁裂縫寬度分析模型。而針對(duì)FRP筋混凝土受彎構(gòu)件裂縫寬度計(jì)算的研究仍以經(jīng)驗(yàn)公式擬合為主[4],鮮有學(xué)者從精細(xì)數(shù)值分析的角度研究其裂縫開展。本文基于黏結(jié)-滑移效應(yīng)建立了FRP筋混凝土梁裂縫寬度計(jì)算數(shù)值模型,以期合理地計(jì)算FRP筋混凝土受彎構(gòu)件在正常使用極限狀態(tài)下的裂縫寬度,并將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值和按規(guī)范GB 50608—2010中公式[5]的計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算模型的合理性。

1 黏結(jié)-滑移理論

我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010[5]以及歐洲規(guī)范CEB-FIP 2010[6]中裂縫寬度計(jì)算公式的建立都是基于黏結(jié)-滑移理論,明確引入了黏結(jié)-滑移關(guān)系,可以直接反映混凝土的拉伸硬化效應(yīng)。圖1為按照黏結(jié)-滑移理論計(jì)算裂縫寬度的示意圖。圖中：wm為平均裂縫寬度;εs(x)和εct(x)分別為位置x處的縱筋應(yīng)變和混凝土拉應(yīng)變。

由圖1可以看出,黏結(jié)應(yīng)力將縱筋的部分應(yīng)力傳遞給周邊混凝土而引起兩裂縫之間的縱筋的應(yīng)變減小[7]。當(dāng)構(gòu)件第一批裂縫出現(xiàn)后,結(jié)構(gòu)發(fā)生應(yīng)力重分布,在裂縫處,拉應(yīng)力僅由縱筋承擔(dān),受拉區(qū)混凝土退出工作狀態(tài)。由于黏結(jié)-滑移效應(yīng),在未開裂截面處,部分縱筋承擔(dān)的拉應(yīng)力由黏結(jié)應(yīng)力傳遞給混凝土。從裂縫截面處到混凝土中黏結(jié)傳遞應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度的截面的距離稱為傳遞長(zhǎng)度ltr。顯然,兩條相鄰裂縫的最大間距應(yīng)為2ltr,故平均裂縫間距l(xiāng)m=1.5ltr。按照黏結(jié)-滑移理論,裂縫寬度等于裂縫間距范圍內(nèi)縱筋和混凝土的變形差,即裂縫間距內(nèi)縱筋平均應(yīng)變與混凝土平均應(yīng)變之差:

(1)

由上式可看出,平均裂縫間距l(xiāng)m的取值對(duì)平均裂縫寬度的計(jì)算有較大影響。本文中,裂縫間距采用我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010[5]推薦的半經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算:

(2)

式中:c為混凝土保護(hù)層厚度,mm;deq為受拉區(qū)縱向FRP筋的等效直徑,mm;ρte為按有效受拉混凝土截面面積計(jì)算的縱向受拉FRP筋的配筋率;di為受拉區(qū)第i種縱向FRP筋的公稱直徑,mm;ni為受拉區(qū)第i種縱向FRP筋的根數(shù);vi為受拉區(qū)縱向FRP筋的相對(duì)黏結(jié)特性系數(shù)。

國(guó)內(nèi)外有關(guān)FRP筋表面處理的試驗(yàn)研究尚不充分,還未形成統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。目前,我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010[5]中并未明確給出相對(duì)黏結(jié)特性系數(shù)v的具體取值,僅規(guī)定根據(jù)FRP筋表面特性的不同,參考試驗(yàn)數(shù)據(jù)取值,并建議在無試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí),v取0.7。故本文中取v=0.7。

2 數(shù)值計(jì)算模型的建立

2.1 基本假設(shè)

基于黏結(jié)-滑移效應(yīng)建立FRP筋混凝土梁裂縫寬度計(jì)算的數(shù)值模型,基于以下假設(shè):

1)平截面假定;

2)不考慮長(zhǎng)期效應(yīng)的影響;

3)忽略剪切變形對(duì)構(gòu)件變形的影響;

4)不考慮受壓區(qū)縱筋的貢獻(xiàn)。

2.2 材料本構(gòu)關(guān)系

1)混凝土的受壓和受拉應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系模型采用歐洲規(guī)范CEB-FIP 2010[6]建議的模型。

2)FRP筋采用線彈性應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系。

3)黏結(jié)-滑移本構(gòu)關(guān)系。歐洲規(guī)范CEB-FIP 2010[6]中給出的黏結(jié)應(yīng)力-滑移本構(gòu)模型,見公式(3)，并如圖2所示。

(3)

式中:τ為黏結(jié)強(qiáng)度;s為τ對(duì)應(yīng)的滑移量;τmax為峰值黏結(jié)強(qiáng)度;s1為τmax對(duì)應(yīng)的滑移量;α、s2、s3由試驗(yàn)確定,取決于黏結(jié)條件和混凝土強(qiáng)度等。

2.3 截面分析

以FRP筋混凝土矩形受彎梁構(gòu)件為例進(jìn)行分析,根據(jù)裂縫的開展位置將整根梁劃分為若干個(gè)分析母單元lcr,i;再將分析母單元等分為n個(gè)子單元,即形成n+1個(gè)截面;對(duì)開裂處截面1-1和任意未開裂處截面2-2進(jìn)行分析,如圖3所示。圖中:Mk為彎矩;b為試驗(yàn)梁構(gòu)件的寬度;h為構(gòu)件的高度;h0為構(gòu)件的有效高度;as為縱筋中心到截面邊緣的距離;dc為混凝土受壓區(qū)高度;σc、εc分別為混凝土的壓應(yīng)力、壓應(yīng)變;σs、εs分別為縱筋的拉應(yīng)力、拉應(yīng)變;σct、εct分別為混凝土的拉應(yīng)力、拉應(yīng)變。

圖3 截面應(yīng)力-應(yīng)變分布示意圖

兩條相鄰裂縫之間的部分為一個(gè)分析單元,每個(gè)分析單元可根據(jù)精度要求分成若干個(gè)截面,每個(gè)微段長(zhǎng)度為Δx,每個(gè)截面可建立力和力矩的平衡方程:

(4)

(5)

式中:Ac為受壓區(qū)混凝土面積;At為受拉區(qū)混凝土面積;As為受拉縱筋總面積;k為受拉縱筋的根數(shù);M(x)為截面外加彎矩。

此外,由FRP筋與混凝土間的黏結(jié)-滑移關(guān)系,可建立如下的變形協(xié)調(diào)方程:

(6)

考慮單個(gè)FRP筋微元的受力平衡,可建立筋材應(yīng)力σs與黏結(jié)應(yīng)力τb之間的表達(dá)式:

Asdσs(x)=πdτb(x)dx。

(7)

(8)

(9)

式中:上標(biāo)(i)表示第i次迭代,變量含義同前文;d為縱筋直徑;τb,j為j截面處的平均黏結(jié)應(yīng)力;Δx為兩個(gè)相鄰截面間的微段長(zhǎng)度。

各截面的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)可以用3個(gè)參數(shù)來表示:①混凝土受壓區(qū)高度dc;②混凝土受拉區(qū)縱筋拉應(yīng)變?chǔ)舠;③混凝土受拉區(qū)邊緣混凝土拉應(yīng)變?chǔ)與t。而方程(4)、(5)和(8)的解并不直觀,黏結(jié)應(yīng)力τb,j的大小與受拉區(qū)的縱筋應(yīng)變?chǔ)舠和混凝土拉應(yīng)變?chǔ)與t有關(guān)。因此,必須采用數(shù)值迭代求解的方法對(duì)截面進(jìn)行分析,并假設(shè)方程中一個(gè)未知參數(shù)的初始值。

2.4 數(shù)值求解

對(duì)于四點(diǎn)受彎的FRP筋混凝土簡(jiǎn)支梁,其最大裂縫一般出現(xiàn)在純彎區(qū)。本文取平均裂縫間距為1個(gè)分析母單元的長(zhǎng)度,基于該母單元分析即可得出考慮黏結(jié)-滑移效應(yīng)的FRP筋混凝土梁純彎區(qū)的平均裂縫寬度。而純彎區(qū)彎矩處處相同,因此于純彎區(qū)中任取兩個(gè)相鄰裂縫間的一個(gè)母單元進(jìn)行分析即可。

對(duì)于一個(gè)給定的FRP筋混凝土梁,已知其截面大小、配筋狀況等,在一個(gè)給定的外荷載P下,該梁的平均裂縫寬度的數(shù)值計(jì)算迭代過程如圖4所示。

圖4所示的迭代過程具體按以下步驟執(zhí)行,可采用MATLAB軟件進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)。

步驟1:由給定梁的基本參數(shù)計(jì)算平均裂縫間距,從而得到所要分析的母單元的長(zhǎng)度,將母單元均分為n份(本文選定n=100,精度即可滿足要求),微段長(zhǎng)度為Δx。

步驟2:開裂截面處受拉區(qū)混凝土的應(yīng)變?chǔ)與t,0=0,從而由式(4)和(5)計(jì)算開裂截面處的初始縱筋拉應(yīng)變?chǔ)舠,0和拉應(yīng)力σs,0等。

圖4 FRP筋混凝土梁平均裂縫寬度數(shù)值模型迭代示意圖

步驟3:假設(shè)開裂截面處的滑移量初始值為s0,并由黏結(jié)-滑移本構(gòu)計(jì)算對(duì)應(yīng)的黏結(jié)應(yīng)力τ0。

步驟4:已知上一截面i處的縱筋拉應(yīng)力σs,i和黏結(jié)應(yīng)力τb,i,由式(8)計(jì)算i+1截面的縱筋拉應(yīng)力σs,i+1，并通過FRP筋應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，得到相應(yīng)的拉應(yīng)變?chǔ)舠,i+1。

步驟5:由式(4)和(5)計(jì)算截面i+1處的受壓區(qū)混凝土壓應(yīng)力σc,i+1和受拉區(qū)混凝土拉應(yīng)力σct,i+1。

步驟6:由式(9)計(jì)算截面i+1處的滑移量si+1,并得到黏結(jié)應(yīng)力τi+1。

步驟7:重復(fù)步驟4至步驟6直到i+1=n/2,判斷式(10)是否成立。若成立,則退出循環(huán),由式(11)計(jì)算平均裂縫寬度;反之,改變s0,重復(fù)步驟4至步驟7。

sn/2≈0,

(10)

(11)

式中sn/2為母單元中點(diǎn)處的滑移量。

3 模型適用性的校核

由于采用按我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010[5]推薦的平均裂縫間距公式計(jì)算的裂縫間距作為計(jì)算裂縫寬度時(shí)的一個(gè)母單元長(zhǎng)度,因而應(yīng)該選取使FRP筋混凝土梁裂縫發(fā)展較為充分和穩(wěn)定的荷載進(jìn)行驗(yàn)算。國(guó)內(nèi)外學(xué)者經(jīng)過試驗(yàn)分析認(rèn)為,對(duì)于FRP筋混凝土梁而言,可保守地選擇0.3Mu作為正常使用極限狀態(tài)進(jìn)行驗(yàn)算(Mu為極限彎矩)。本文選擇0.5Mu左右進(jìn)行驗(yàn)算。這時(shí)裂縫發(fā)展比較充分,裂縫間距已相對(duì)穩(wěn)定,用我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010[5]中公式計(jì)算裂縫間距進(jìn)而計(jì)算裂縫寬度則比較合理。

3.1 兩種黏結(jié)-滑移本構(gòu)對(duì)比

將上述兩種本構(gòu)分別代入數(shù)值模型中進(jìn)行計(jì)算,并與文獻(xiàn)[8]中采用箍筋約束的FRP梁四點(diǎn)受彎試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖5所示。

圖5 兩種本構(gòu)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

由圖5可看出,基于兩種本構(gòu)的計(jì)算結(jié)果差異較大。采用約束良好、黏結(jié)性能一般的本構(gòu)時(shí),計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值的吻合度較好,程序預(yù)測(cè)平均裂縫寬度與試驗(yàn)實(shí)測(cè)平均裂縫寬度之比的均值為0.97,優(yōu)于采用約束良好、黏結(jié)性能良好本構(gòu)時(shí)的均值0.73?？梢?選取不同黏結(jié)本構(gòu)參數(shù)對(duì)裂縫寬度的計(jì)算有較大影響。目前,國(guó)內(nèi)外相關(guān)FRP筋的規(guī)范中,缺乏有關(guān)詳細(xì)劃分各類FRP筋黏結(jié)本構(gòu)參數(shù)取值的內(nèi)容。因此,本文根據(jù)圖5及分析結(jié)果選擇歐洲規(guī)范CEB-FIP 2010[6]中約束良好、黏結(jié)性能一般條件下的拔出破壞本構(gòu)參數(shù)值進(jìn)行后續(xù)數(shù)值模型計(jì)算。

3.2 預(yù)測(cè)值與規(guī)范計(jì)算值對(duì)比

我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010[5]中規(guī)定FRP筋混凝土受彎構(gòu)件按荷載效應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)組合并計(jì)入長(zhǎng)期作用影響的最大裂縫寬度wmax,應(yīng)按下列公式計(jì)算:

(12)

(13)

(14)

式中:ψ為裂縫間縱向受拉FRP筋的應(yīng)變不均勻系數(shù);σfk為荷載效應(yīng)組合下FRP筋的應(yīng)力;Ef為FRP筋的彈性模量;ftk為混凝土軸心抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值;參數(shù)具體取值及計(jì)算參見我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010[5]。

2017年,東南大學(xué)董志強(qiáng)等[4]針對(duì)我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010中最大裂縫寬度計(jì)算公式及其參數(shù)取值未經(jīng)過試驗(yàn)數(shù)據(jù)校核等問題,基于收集的FRP筋混凝土梁的試驗(yàn)結(jié)果,對(duì)規(guī)范GB 50608—2010中的裂縫寬度計(jì)算公式進(jìn)行了全面的校核和修訂:

1)相對(duì)黏結(jié)特性系數(shù)v建議取1.0;

2)裂縫間縱向受拉FRP筋應(yīng)變不均勻系數(shù)ψ建議按式(15)計(jì)算，

(15)

3)裂縫間混凝土伸長(zhǎng)對(duì)裂縫開展寬度的影響系數(shù)αc建議從0.85改為0.80等。下文簡(jiǎn)稱董志強(qiáng)等修正后的裂縫寬度計(jì)算公式為“修正規(guī)范”。

本文選取文獻(xiàn)[8-9]中有關(guān)FRP筋混凝土梁平均裂縫寬度的系列試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模型預(yù)測(cè),并以試驗(yàn)的實(shí)測(cè)值為基準(zhǔn),對(duì)比分析數(shù)值模型的預(yù)測(cè)值,按我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010的計(jì)算值及按董志強(qiáng)等[4]修正規(guī)范的計(jì)算值,結(jié)果如圖6所示。

圖6 計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

由圖6可以看出,數(shù)值模型的應(yīng)用效果非常理想,程序預(yù)測(cè)平均裂縫寬度與試驗(yàn)實(shí)測(cè)平均裂縫寬度之比的均值為0.92,具有較高的精確度;按董志強(qiáng)修正規(guī)范、規(guī)范GB 50608—2010計(jì)算的平均裂縫寬度與實(shí)測(cè)平均裂縫寬度之比的均值分別為1.20和1.31,按董志強(qiáng)修正規(guī)范的計(jì)算公式得出的結(jié)果更為準(zhǔn)確,也更為經(jīng)濟(jì)。同時(shí),從另一方面也可以看出:規(guī)范GB 50608—2010中關(guān)于平均裂縫寬度的計(jì)算方法較為保守,而本文數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確,但偏激進(jìn),在實(shí)際工程中應(yīng)用數(shù)值模型計(jì)算裂縫寬度時(shí)可以考慮乘以1.1的放大系數(shù)。

4 結(jié)語(yǔ)

1)基于黏結(jié)-滑移理論,建立了FRP筋混凝土梁構(gòu)件受力裂縫寬度計(jì)算的數(shù)值模型,并通過MATLAB軟件編程進(jìn)行實(shí)現(xiàn),為FRP筋混凝土受彎構(gòu)件裂縫計(jì)算提供了一種有效的分析方法。

2)對(duì)數(shù)值模型及我國(guó)規(guī)范GB 50608—2010、董志強(qiáng)修正規(guī)范的計(jì)算方法進(jìn)行了驗(yàn)證,結(jié)果表明,數(shù)值模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果較符合,說明采用數(shù)值計(jì)算模型分析受力裂縫是可行的,且具有較高的精確度。

3)黏結(jié)模型本構(gòu)參數(shù)的選取對(duì)裂縫寬度計(jì)算結(jié)果的影響較大。目前，國(guó)內(nèi)外有關(guān)FRP筋的規(guī)范中尚無詳細(xì)劃分各類FRP筋黏結(jié)本構(gòu)參數(shù)取值的內(nèi)容,只能相對(duì)籠統(tǒng)地取值,這方面有待進(jìn)一步研究。