“極化恒等式”在向量數(shù)量積中的巧用

方愛珍

【摘 要】 隨著時代的發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)不能再停留在老師教、學(xué)生被動接受的狀態(tài)。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)成為當(dāng)前高中迫切需要貫徹到平時的教學(xué)當(dāng)中、滲透到生活中的核心任務(wù)。數(shù)學(xué)最核心的素養(yǎng)是邏輯推理能力，面對任何問題，學(xué)生都需要從問題中尋找可利用的資源來解決問題。

【關(guān)鍵詞】 極化恒等式;邏輯推理

向量在浙江高考試題中經(jīng)常以壓軸題或次壓軸題的形式出現(xiàn)，在高三復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)該及時地總結(jié)出一些方法小專題，以一題多解或多題一解的方式引導(dǎo)學(xué)生跳出題海，站在高點看問題。本文在向量單元復(fù)習(xí)結(jié)束后，以向量的數(shù)量積為例，在本校開設(shè)公開課，闡述求解多動點數(shù)量積的解題策略。

一、引例

（2012年高考浙江卷理科第15題）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則=_。

（設(shè)計意圖：考查求向量的數(shù)量積方法。常用坐標(biāo)法和基底法）

學(xué)生的抽象思維能力有限，一般教師都會引導(dǎo)：“能建系一定要建系，不能建系也可以強(qiáng)制建系，只不過運算比較復(fù)雜。”引入斜三角形，從學(xué)生的角度排除建系的可能，轉(zhuǎn)向基底表示。學(xué)生容易得到：=，由AM=3，BC=10，想到兩式平方相減，得到=-16。

二、恒等式的發(fā)現(xiàn)

從引例中聯(lián)想到學(xué)生很容易在平行四邊形中找到：·=。由此得到極化恒等式的平行四邊形模式： （從引例中，容易發(fā)現(xiàn)極化恒等式的三角形模式）。

三、小試牛刀，讓學(xué)生體驗成功的快樂

例1：〔2014年高考全國新課標(biāo)II卷文（理）科第4（3）題〕設(shè)向量，滿足，，則等于（ ）。

A. 1 ? ? ? ? ?B. 2 ? ? ? ? ? C. 3 ? ? ? ? ? D. 5

例2：如右圖，AB，CD是半徑為1的圓O的兩條直徑，，則=_。

（設(shè)計意圖：收獲一個新知，需要通過練習(xí)來確認(rèn)方法的有效性。這兩個小題入口淺，學(xué)生根據(jù)圖形特點結(jié)合極化恒等式快速作答，能夠獲得成功的體驗，也為下一步挑戰(zhàn)更高難度的習(xí)題奠定了基礎(chǔ)）

例3：（2016年高考江蘇卷第13題）如下圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD的兩個三等分點，=4，=-1，則=_。

解析：在練習(xí)了2個較簡單的小題之后，教師及時點撥學(xué)生：“什么條件下容易想到使用極化恒等式？”讓學(xué)生收獲：向量共起點，中線對邊有定長。讓學(xué)生探討：看似不具備已知邊長的條件，怎樣從=4，=-1中獲得？引導(dǎo)學(xué)生觀察所給已知條件不共起點，化成共起點：=4，=-1，又=4，解得=，=，==。

四、求單動點問題的數(shù)量積最值

例4：（2017年高考全國II卷理科第12題）如下圖，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面內(nèi)一點，則的最小值是（ ）。

A. -2 ? ? ? ? B. ? ? ? ?C. ? ? ? ? D. -1

解析：由等邊三角形，學(xué)生很容易想到坐標(biāo)法，那嘗試用新知識能否解決問題？稍作思考，學(xué)生就會想到主動尋找BC中點D，問題轉(zhuǎn)化為求的最值，再使用極化恒等式輕松獲解。

變式1：如右圖，已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點P是圓O上的一個動點，則的取值范圍是_。

變式2：已知A、B在橢圓+=1上，且線段AB經(jīng)過原點，點M為直線3x-4y-15=0上的動點，的最小值為_。

五、求多動點的數(shù)量積最值

例5：如右圖，邊長為1的正方形ABCD的頂點A，D分別在x軸，y軸（含原點）滑動，則的最大值為_。

（設(shè)計意圖：學(xué)生對恒等式從了解到熟悉，掌握了求定值和最值的基本思路后，繼續(xù)挑戰(zhàn)兩個動點問題。當(dāng)學(xué)生思維陷入坐標(biāo)法中無法自拔時，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、推理的過程，明確本題中是否具有極化恒等式的條件，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”的活動過程，利用極化恒等式把多動點問題轉(zhuǎn)化為單動點問題，滲透了數(shù)學(xué)的化歸與轉(zhuǎn)化思想，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力）

變式3：如右圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，

BC=3，D是AB的中點，E，F(xiàn)分別是邊BC，AC上的動點，且EF=1，則的最小值為_。

（設(shè)計意圖：將例3得到的成功解題經(jīng)驗繼續(xù)遷移到兩個動點不在同一直線上，難度上升一小步，思維跳躍一大步。此時，教師應(yīng)留出足夠時間讓學(xué)生思考，讓學(xué)生經(jīng)歷一場頭腦風(fēng)暴，真正理解極化恒等式的使用特點，體會到極化恒等式的巧妙之處，更快捷地解決問題）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會有邏輯地思考問題;能夠在比較復(fù)雜的情境之中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò);形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神。本文以高三一輪復(fù)習(xí)課的課案形式，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”獲取新知識，由淺入深，層層深入，讓學(xué)生體驗到成功的快樂，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力。