特征值法在坐標(biāo)測(cè)量機(jī)三維探測(cè)誤差計(jì)算中的應(yīng)用

李品

摘要：坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是在現(xiàn)代智能制造行業(yè)中廣泛應(yīng)用的幾何量測(cè)量設(shè)備。最大允許探測(cè)誤差MPEP是評(píng)價(jià)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量精度的一項(xiàng)重要指標(biāo)。在設(shè)備驗(yàn)收檢測(cè)和復(fù)檢檢測(cè)工作中，設(shè)備的三維探測(cè)誤差P（Probing Error）應(yīng)不超過設(shè)備標(biāo)明的最大允許探測(cè)誤差MPEP。因此，對(duì)于三維探測(cè)誤差的可靠的校準(zhǔn)測(cè)量，以及科學(xué)高效的數(shù)據(jù)處理具有重要的意義。文章對(duì)三維探測(cè)誤差的計(jì)算方法從一種新型的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，使用特征值法來實(shí)現(xiàn)三維探測(cè)誤差校準(zhǔn)測(cè)量原始記錄數(shù)據(jù)的計(jì)算，為三維探測(cè)誤差的校準(zhǔn)測(cè)量提供理論和實(shí)踐的參考。

Abstract： Coordinate measuring machine is a geometric quantity measuring equipment widely used in modern intelligent manufacturing industry. The maximum allowable detection error MPEP is an important indicator for evaluating the measurement accuracy of coordinate measuring machines. In the equipment acceptance inspection and re-inspection inspection， the three-dimensional detection error P （Probing Error） of the equipment should not exceed the maximum allowable detection error MPEP marked by the equipment. Therefore， reliable calibration measurement of three-dimensional detection errors and scientific and efficient data processing are of great significance. The calculation method of the three-dimensional detection error is based on a new mathematical model， and the eigenvalue method is used to calculate the original recorded data of the three-dimensional detection error calibration measurement， which provides a theoretical and practical reference for the calibration measurement of the three-dimensional detection error.

關(guān)鍵詞：三維探測(cè)誤差;特征值法;二次型最值

Key words： three-dimensional detection error;eigenvalue method;quadratic maximum

中圖分類號(hào)：TH721 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1006-4311（2020）24-0242-02

0 ?引言

將被測(cè)物件固定在坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的操作臺(tái)上，一般的接觸式的3D橋式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的探頭會(huì)在沿著坐標(biāo)測(cè)量機(jī)設(shè)備的X，Y，Z軸移動(dòng)，每一個(gè)軸上都有微米級(jí)的位移傳感器實(shí)時(shí)監(jiān)控探頭的位置。在測(cè)量前，首先建立空間直角坐標(biāo)系，確定空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)的相對(duì)位置和X，Y，Z軸正方向相對(duì)位置，當(dāng)探頭接觸到被測(cè)物體的某一特定位置時(shí)，計(jì)算機(jī)就采樣三個(gè)位置傳感器的數(shù)據(jù)，然后還需要考慮探頭的角度等多種因素，綜合各項(xiàng)因素就可以得到物體表面上的點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)的數(shù)據(jù)。這個(gè)過程不斷重復(fù)，就可以產(chǎn)生出物體表面上的點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)數(shù)據(jù)的集合，從而可以通過數(shù)據(jù)處理來描述物體的表面幾何特征。

1 ?三維探測(cè)誤差的測(cè)量結(jié)果的精度指標(biāo)

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種高精度的測(cè)量設(shè)備，關(guān)于如何評(píng)定它的精度指標(biāo)，多年以來有了一系列的發(fā)展和變化，各個(gè)主要工業(yè)國(guó)家先后都頒布了其評(píng)定坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的標(biāo)準(zhǔn)。1994年，ISO 10360-2《坐標(biāo)計(jì)量學(xué)-第2部分：坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的性能評(píng)定》標(biāo)準(zhǔn)制定，該標(biāo)準(zhǔn)于2000年經(jīng)過修訂。我國(guó)則采用GB/T 16857.2-2006/ISO 10360-2：2001《產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范（GPS）坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的驗(yàn)收濟(jì)檢測(cè)和復(fù)檢檢測(cè) 第2部分：用于測(cè)量尺寸的坐標(biāo)測(cè)量機(jī)》來評(píng)價(jià)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的精度指標(biāo)。另外由原國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局于2010年組織編制的坐標(biāo)測(cè)量機(jī)計(jì)量校準(zhǔn)規(guī)范JJF 1064-2010《坐標(biāo)測(cè)量機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范》對(duì)于計(jì)量部門進(jìn)行坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的計(jì)量校準(zhǔn)做了更為具體操作要求。

要注意的是在驗(yàn)收或校準(zhǔn)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)時(shí)，檢測(cè)的測(cè)量不確定度是對(duì)檢測(cè)質(zhì)量的一個(gè)評(píng)價(jià)，而不是對(duì)坐標(biāo)測(cè)量機(jī)性能的評(píng)價(jià)，坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的性能評(píng)價(jià)應(yīng)該是由長(zhǎng)度測(cè)量最大允許是指誤差（MPEE）、最大允許探測(cè)誤差（MPEP）和最大允許掃描探測(cè)誤差（MPETHP）來評(píng)定。本文主要討論的是其中一個(gè)指標(biāo)，最大允許探測(cè)誤差（MPEP）。

最大探測(cè)誤差的測(cè)量方法是：在標(biāo)準(zhǔn)球上探測(cè)25個(gè)點(diǎn)，各個(gè)測(cè)量點(diǎn)應(yīng)在檢測(cè)球上勻稱分布，至少要覆蓋半個(gè)球面。對(duì)于垂直探針，推薦25個(gè)采樣點(diǎn)分布為：一點(diǎn)位于標(biāo)準(zhǔn)球的極點(diǎn);四點(diǎn)均勻分布且與極點(diǎn)成22.5°;八點(diǎn)均勻分布，相對(duì)于前者繞極軸旋轉(zhuǎn)22.5°，且與極點(diǎn)成45°;四點(diǎn)均勻分布，相對(duì)于前者繞極軸旋轉(zhuǎn)22.5°，且與極點(diǎn)成67.5°;八點(diǎn)均勻分布，相對(duì)于前者繞極軸旋轉(zhuǎn)22.5°，且與極點(diǎn)成90°。

2 ?三維探測(cè)誤差的測(cè)量結(jié)果的處理

根據(jù)《JJF1064-2010 坐標(biāo)測(cè)量機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范》中7.1.1.3 （三維）探測(cè)誤差（P）測(cè)量結(jié)果的處理：使用所有25個(gè)測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算最小二乘擬合球。對(duì)25個(gè)測(cè)量點(diǎn)分別計(jì)算最小二乘半徑距離R。計(jì)算探測(cè)誤差P，為25個(gè)最小二乘半徑距離的范圍：

④那么探測(cè)誤差的計(jì)算就需要將25個(gè)點(diǎn)的與球心之間的距離分別計(jì)算出來，然后得到最大的距離Rmax和最小的距離Rmin。那么探測(cè)誤差就可以通過公式P=Rmax-Rmin計(jì)算出來了。

通過上述步驟發(fā)現(xiàn)，核心問題就是求出矩陣N的特征值和對(duì)應(yīng)的單位特征向量來?，F(xiàn)在已經(jīng)有很多文章總結(jié)了使用Excel來直接求實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的單位特征向量了，所以本文就不在贅述。

5 ?總結(jié)

以上列出的是求三維探測(cè)誤差P及最小二乘擬合球的一種新型的算法，其中給出了一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)學(xué)模型就是二次型，從而使用了二次型的特征值方法去解決這個(gè)問題。在追求最優(yōu)解的過程中，可以選擇不同的數(shù)學(xué)模型，可以選擇不同的算法，想要最終確定哪種方法最優(yōu)，不僅要考慮算法的效率，也還需要結(jié)合具體的硬件條件。

參考文獻(xiàn)：

[1]全國(guó)幾何量長(zhǎng)度計(jì)量技術(shù)委員會(huì).JJF 1064-2010，坐標(biāo)測(cè)量機(jī)校準(zhǔn)規(guī)范[S].

[2]馬巧云.特征值法求解二次型的條件最值問題[J].河南科學(xué)，2010（01）.

[3]楊敏.用Excel求實(shí)對(duì)稱陣的全部特征值和特征向量[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2010.