數(shù)字濾波器級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)及仿真

崔永青 ，史琳蕓 ，陰超波

(1.寶雞職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電信息學(xué)院，陜西 寶雞 721013；2.西安理工大學(xué) 自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

0 引言

在測(cè)振儀中，需要應(yīng)用到數(shù)字加速度傳感器，它輸出的所有信號(hào)都屬于加速度數(shù)字信號(hào)。對(duì)于該信號(hào)而言，如果處于噪聲環(huán)境中，會(huì)大大降低加速度傳感器輸出信號(hào)的準(zhǔn)確性。因此，需要通過(guò)數(shù)字濾波器對(duì)其進(jìn)行處理。數(shù)字濾波器的工作原理是依據(jù)離散系統(tǒng)的特性對(duì)系統(tǒng)的輸入信號(hào)進(jìn)行加工和變換，從而使它們的頻譜或者信號(hào)波形發(fā)生變化，保證被需要的頻率信號(hào)順利通過(guò)，并抑制無(wú)用的信號(hào)通過(guò)。對(duì)于數(shù)字濾波器而言，其不僅具有很高的濾波精度，而且它的靈活性也比較好。

本文以傳感器的輸出信號(hào)作為研究對(duì)象，分析其頻譜特性，針對(duì)其中的噪聲信號(hào)設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)字濾波器。通過(guò)低通濾波器，能夠把高頻率的信號(hào)阻擋在外面，對(duì)于低頻信號(hào)，則盡量保持其信號(hào)的準(zhǔn)確性。理想低通濾波器具有非常好的濾波效果，幾乎不存在失真現(xiàn)象，一般情況下，把通頻特性視為矩形，但在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，在所截止的頻率中存在一些過(guò)渡帶。通過(guò)陷波濾波器能夠把頻率范圍較小的信號(hào)篩選出來(lái)，陷波濾波器可以將某一特定信號(hào)頻率點(diǎn)的信號(hào)衰減為零，而對(duì)于其他的頻率信號(hào)保持不變。結(jié)合該加速度傳感器的使用環(huán)境和要求，將低通濾波器與陷波濾波器兩者進(jìn)行級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)作用于傳感器輸出，從而得到準(zhǔn)確有效的信號(hào)。

1 對(duì)加速度傳感器信號(hào)進(jìn)行頻譜分析

采集加速度傳感器的輸出信號(hào)，并對(duì)其進(jìn)行頻譜分析[1]，結(jié)果如圖1 所示。結(jié)合該傳感器的使用環(huán)境，認(rèn)為該信號(hào)在50 Hz 附近存在較大噪聲。同時(shí)對(duì)于該加速度傳感器而言，其使用頻率范圍為300 Hz 以下的低頻段，因此 300 Hz 以上的信號(hào)可以不用考慮。

圖1 加速度傳感器原始信號(hào)頻譜分析

2 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

通過(guò)上述分析可知加速度傳感器輸出信號(hào)存在50 Hz 單點(diǎn)噪聲，同時(shí)該傳感器使用頻率為300 Hz以下低頻段。因此設(shè)計(jì) 300 Hz 低通數(shù)字濾波器和50 Hz 陷波數(shù)字濾波器級(jí)聯(lián)完成對(duì)加速度傳感器信號(hào)的濾波處理，從而減少自身噪聲和環(huán)境噪聲對(duì)加速度傳感器輸出信號(hào)的干擾。

數(shù)字濾波器具有精度高、穩(wěn)定性強(qiáng)和靈活性好等優(yōu)點(diǎn)。根據(jù)離散系統(tǒng)的時(shí)域特性，數(shù)字濾波器劃分為以下兩種類(lèi)型：無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器(IIR 濾波器)、有限沖激響應(yīng)濾波器(FIR 濾波器)[2-3]。對(duì)于IIR數(shù)字濾波器，在獲得同樣的技術(shù)指標(biāo)時(shí)，它的階數(shù)更少[4]。通過(guò)深入分析 IIR 數(shù)字濾波器的特性[5-12]，本文采用IIR 數(shù)字濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)。

2.1 300 Hz 低通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

IIR 低通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟如下[13]：

(1)分析實(shí)際的工程需求，明確濾波器需要的性能指標(biāo)。對(duì)于一般的性能指標(biāo)而言，通常包含阻帶

(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。

(4)構(gòu)建模擬濾波器 H(s)，并使其從 s 平面轉(zhuǎn)移到z 平面，從而得到數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

IIR 數(shù)字濾波器在MATLAB 中的實(shí)現(xiàn)方法如下：

首先，根據(jù)數(shù)字低通濾波器的性能要求設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，然后通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法將其進(jìn)行數(shù)字化，轉(zhuǎn)化為所需的數(shù)字低通濾波器。在MATLAB 中進(jìn)行 IIR 濾波器設(shè)計(jì)的相關(guān)函數(shù)說(shuō)明如下[14]：

(1)巴特沃茲濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)：[B，A]=butter(N，W，options)

該函數(shù)得到一個(gè)用有理分式表示的低通數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)，該系統(tǒng)函數(shù)的分子分母系數(shù)向量為 B 和 A。該函數(shù)的參數(shù) N 為指定低通濾波器的階數(shù)，W 為截止頻率。

(2)巴特沃茲濾波器階次選擇函數(shù)：[N，W]=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′)或[N，Wn]=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs)

設(shè)計(jì)出符合巴特沃茲低通濾波器所需的最低階次 N 以及3 dB 截止頻率 Wn，其中 Wp代表通帶截止頻率，Ws代表阻帶截止頻率，Rp代表最大通帶衰減，Rs代表最小阻帶衰減，s 表示模擬濾波器。

(3)雙線性變 換 函數(shù) ：[Bz，Az]=bilinear(Bs，As，F(xiàn)s)

把模擬濾波器的[Bs，As]轉(zhuǎn)換成實(shí)際采樣頻率為 Fs的數(shù)字濾波器[Bz，Az]。其中 Bs為模 擬濾 波器傳遞函數(shù)的分子系數(shù)行向量，As為模擬濾波器傳遞函數(shù)的分母系數(shù)行向量。

(4)頻率特性響應(yīng)函數(shù)：[H，w]=freqs(b，a，N)

函數(shù)可以得到數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(z)。其中b 表示連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式的系統(tǒng)截止頻率 ωs，阻帶衰減 αs，通帶截止頻率 ωp，通帶衰減 αp。

(2)在明確所需的技術(shù)指標(biāo)以后，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)字濾波器模型。綜合分析數(shù)字低通濾波器的相關(guān)技術(shù)指標(biāo)，并將其化轉(zhuǎn)為模擬低通濾波器所需的技術(shù)指標(biāo)。在這一過(guò)程中，主要應(yīng)用的是雙線性變換法，其中，邊界頻率存在以下轉(zhuǎn)換關(guān)系,見(jiàn)式(1)，其中 Ω表示模擬角頻率，w 表示數(shù)字頻率。向量，a 表示連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式的系統(tǒng)向量，N 表示頻率等分點(diǎn)數(shù)，默認(rèn)為 512。

2.2 50 Hz 陷波數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

當(dāng)帶阻濾波器具有很窄的阻帶時(shí)，通常將其稱(chēng)作是陷波濾波器。陷波濾波器的設(shè)計(jì)是以模擬濾波器為原型，通過(guò)一定變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器[15]。在設(shè)計(jì)陷波濾波器時(shí)，常常應(yīng)用以下兩種方法：(1)通過(guò)z 平面零極點(diǎn)法，設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字陷波濾波器；(2)通過(guò)MATLAB 的信號(hào)處理設(shè)備，設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器。

(1)在設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字陷波濾波器時(shí)，一般采用的是 z 平面零極點(diǎn)法。由 IIR 濾波器的傳遞函數(shù)知道，它的分子、分母多項(xiàng)式作因式分解可得式(2)：

其中，A 代表的是系統(tǒng)的增益。如果把 z 當(dāng)作極坐標(biāo)，那么對(duì)于z=rejw，當(dāng) r=1 時(shí)，所進(jìn)行的 z 變換稱(chēng)作是傅里葉變換。所以，在上面的IIR 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)中，對(duì)于復(fù)變量 z，如果利用 ejw進(jìn)行取代，就能夠獲得 IIR 數(shù)字濾波器的頻率特性 H(ejw)。采用該方法設(shè)計(jì)一個(gè)IIR 陷波濾波器，如對(duì)w0點(diǎn)進(jìn)行陷波，即當(dāng) w=w0時(shí)，|H(ejw)|≈1，則取極點(diǎn) z=ae±jw0，從而得到IIR 陷波濾波器傳遞函數(shù)如式(3)所示：

(2)通過(guò) MATLAB 的信號(hào)處理工具箱 Fdatool 對(duì)數(shù)字濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)十分便捷，可大大減小工作量。在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，可以對(duì)比分析濾波器具有的不同特性，調(diào)整相關(guān)的參數(shù)，以獲得最佳的設(shè)計(jì)效果。

本文在設(shè)計(jì)50 Hz 陷波濾波器時(shí)，主要應(yīng)用的是 MATLAB 信號(hào)處理工具箱 Fdatool。選擇 Design Filter，濾波器類(lèi)型選擇單點(diǎn)陷波濾波器，設(shè)計(jì)方法為 IIR，采樣頻率為 1 000 Hz，陷波頻率為 50 Hz。在把陷波濾波器的所有系數(shù)都計(jì)算完成以后，再深入分析陷波濾波器的相關(guān)性能，進(jìn)而驗(yàn)證濾波器是否達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。選擇 Fdatool 的菜單“Analysis”->“Magnitude Responae”，啟動(dòng)幅頻響應(yīng)分析，得陷波濾波器頻譜如圖2 所示，該圖表示該陷波濾波器對(duì)50 Hz 單點(diǎn)信號(hào)能夠進(jìn)行有效衰減，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。

2.3 低通濾波器和陷波濾波器級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)

針對(duì)加速度傳感器信號(hào)的噪聲分別設(shè)計(jì)300 Hz低通濾波器和50 Hz 陷波濾波器之后，將兩個(gè)濾波器進(jìn)行級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)以達(dá)到低通濾波和陷波濾波雙重目的。具體實(shí)現(xiàn)方法即先將原始信號(hào)經(jīng)低通濾波處理，之后再經(jīng)過(guò)陷波濾波處理，這樣即可達(dá)到兩個(gè)濾波器級(jí)聯(lián)的效果。級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)如圖3 所示。

圖3 濾波器級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)

3 對(duì)濾波處理后的信號(hào)進(jìn)行頻譜分析

3.1 低通數(shù)字濾波器

通過(guò)上述巴特沃茲濾波器設(shè)計(jì)出了300 Hz 低通數(shù)字濾波器，在對(duì)原始信號(hào)實(shí)施低通濾波以后，再進(jìn)行頻譜分析，最終分析結(jié)果如圖4 所示。對(duì)比原始數(shù)據(jù)頻譜，表明300 Hz 以上信號(hào)基本被濾除，300 Hz 以下信號(hào)不受影響，從而可知該濾波器有效地實(shí)現(xiàn)了低通濾波功能。

圖2 采用Fdatool 設(shè)計(jì)陷波濾波器

圖4 經(jīng)300 Hz 低通濾波器處理后信號(hào)頻譜分析

3.2 陷波數(shù)字濾波器

對(duì)該陷波濾波器作用于原始信號(hào)后的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖5 所示。對(duì)比原始數(shù)據(jù)頻譜，表明50 Hz 單點(diǎn)噪聲已被濾除，其他信號(hào)不受影響，從而可知該陷波濾波器有效實(shí)現(xiàn)了50 Hz 陷波濾波功能。

圖5 經(jīng)50 Hz 陷波濾波器處理后信號(hào)頻譜分析

3.3 低通數(shù)字濾波器與陷波濾波器級(jí)聯(lián)

在分別驗(yàn)證了低通濾波器和陷波濾波器的濾波作用之后，將兩個(gè)濾波器級(jí)聯(lián)作用于加速度傳感器信號(hào)，對(duì)經(jīng)濾波后的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，如圖6所示。數(shù)據(jù)頻譜表明 50 Hz 單點(diǎn)噪聲和 300 Hz 以上噪聲均被有效濾除，并且兩個(gè)濾波器級(jí)聯(lián)不影響各自單獨(dú)的作用，滿(mǎn)足了對(duì)該信號(hào)的濾波設(shè)計(jì)要求。

圖6 經(jīng)低通濾波器和陷波濾波器級(jí)聯(lián)處理后信號(hào)頻譜分析

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于加速度傳感器信號(hào)而言，因?yàn)槭艿礁鞣N因素的影響，通常存在高頻或者低頻的干擾信號(hào)，從而導(dǎo)致信號(hào)失真現(xiàn)象，為了解決這一問(wèn)題必須進(jìn)行濾波處理。根據(jù)傳感器的使用環(huán)境要求、噪聲信號(hào)水平，本文設(shè)計(jì)了300 Hz 低通濾波器、50 Hz 陷波濾波器，把其中高于300 Hz 頻率的噪聲和 50 Hz 單點(diǎn)噪聲消除掉，最終得到所需的低頻信號(hào)。本文詳細(xì)闡述了IIR 低通數(shù)字濾波器的具體設(shè)計(jì)方法，并通過(guò) MATLAB 工具箱Fdatool 設(shè)計(jì)陷波濾波器的具體過(guò)程。在分別驗(yàn)證了單個(gè)濾波器的性能之后，將兩個(gè)濾波器級(jí)聯(lián)起到對(duì)傳感器信號(hào)進(jìn)行雙重濾波的作用。對(duì)經(jīng)濾波處理的輸出信號(hào)與原始信號(hào)進(jìn)行對(duì)比分析，該級(jí)聯(lián)濾波器有效地起到了濾波作用，并且未對(duì)有用信號(hào)造成影響，有效提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。同時(shí)本文所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器操作過(guò)程簡(jiǎn)便、易于實(shí)現(xiàn)。