關于有限n-表示模的Gorenstein類

何東林，樊 亮

（隴南師范高等?？茖W校數信學院，甘肅 隴南 742500）

Gorenstein模類是相對同調代數的研究熱點之一.Auslander等[1]介紹了雙邊Noether環(huán)上有限生成模的G-維數.Enochs等[2]給出了一般環(huán)上Gorenstein內射模和Gorenstein投射模的定義.隨后，仍有許多學者先后對其進行了研究和推廣.特別地，2008年毛立新和丁南慶[3]引入了關于有限表示模的Gorenstein模，即Gorenstein FP-內射模.2012年Gao等[4]進一步討論了左凝聚環(huán)上Gorenstein FP-內射模的若干性質及其刻畫.有限n-表示模（即FPn型模[5-6]）是有限表示模的一個重要推廣.2017年Bravo等[7]介紹了關于有限n-表示模的內射模，即FPn-內射模，它是FP-內射模的一個推廣，并給出左n-凝聚環(huán)的若干刻畫.眾所周知，在左凝聚環(huán)上，（F P，F I）是一個完全遺傳余撓理論，其中F P和F I分別表示所有FP-投射模和FP-內射模組成的類.受此啟發(fā)，本文引入關于有限n-表示模的投射模（即FPn-投射模）的概念，并證明左n-凝聚環(huán)R上（F PnP，F PnI）是一個完全遺傳余撓理論，其中F PnP和F PnI分別表示所有限n-表示投射模和內射模組成的類.進而介紹Gorenstein FPn-內射模的定義，研究其性質和等價刻畫.

文中的環(huán)R均指有單位元的結合環(huán)，模指酉左R-模.P和I分別表示所有投射模和內射模組成的類.設n是非負整數，稱左R-模M是有限n-表示的[7]，如果存在正合列Fn→Fn－1→…→F1→F0→M→0，其中Fi（0≤i≤n）是有限生成自由模.用F Pn表示所有有限n-表示模組成的類，則模類F Pn關于擴張、單同態(tài)的余核及直和因子封閉且F P0?F P1?F P2?…? F Pn?….稱環(huán) R 是左 n-凝聚環(huán)[7]，如果 F Pn?F Pn＋1.顯然左1-凝聚環(huán)就是左凝聚環(huán).在左n-凝聚環(huán)上，F Pn關于滿同態(tài)的核封閉.稱左R-模N是FPn-內射模[7]，如果對任意M∈F Pn，都有用F PnI表示所有FPn-內射模組成的類，則F P0I?F P1I?F P2I?…?F PnI?…且F PnI關于擴張、直積和正向極限封閉.

設x和y是左R-模類.稱正合列（ε）在HomR（x，－）下正合，如果對任意X∈x有（ε）在HomR（X，－）下正合.記類似地可定義和⊥y.稱對子（x，y）是余撓對[8]（也稱余撓理論），如果進而，如果對任意左R-模M都存在正合列0→Y→X→M→0和 0→M→Y′→X′→0，其中 X，X′∈x 且 Y，Y′∈y，那么稱余撓理論（x，y）是完全的，如果對任意 X∈x和 Y∈y都有，那么稱余撓理論（x，y）是遺傳的.余撓理論（x，y）是遺傳的等價于模類y是內射可解的，即y包含所有內射模且關于擴張和單同態(tài)的余核封閉.其余未涉及的概念和記號參見文獻[9-11].

1 FPn-投射模與余撓理論

2 Gorenstein FPn-內射模

下文均假設R為左n-凝聚環(huán).

圖1 V→W和E→W的拉回圖

在正合列0→K→D→V→0中K∈GF PnI，由引理2.1得該序列在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合，且存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列…→E1→E0→V→0，其中Ei∈F PnI.由上面兩個正合列拼接可得正合列…→E1→E0→D→V→0，從而由引理2.1得V∈GF PnI.

引理2.3模類GF PnI關于擴張、單同態(tài)的余核及直和因子封閉.

證明先證對任意U∈GF PnI，都存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列…→H1→H0→U→0，其中 Hi＝F PnP∩F PnI.由引理 2.2得存在正合列 0→K0→E0→U→0，其中E0∈F PnI且K0∈GF PnI.由定理1.2知（F PnP，F PnI）是一個完全遺傳余撓理論.從而存在正合列0→L0→H0→E0→0，其中H0∈F PnP且L0∈F PnI.因為F PnI關于擴張封閉，所以H0∈F PnI，可見H0∈F PnP∩F PnI.構造拉回圖如圖2.由圖2第一列和引理2.2知N0∈GF PnI.因為圖2中間列和第三行正合列在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合，所以中間行正合列0→N0→H0→U→0在HomR（F PnP∩F PnI，－）下也正合.對N0重復上面對N的過程，如此繼續(xù)，可得HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列…→H1→H0→U→0，其中Hi∈F PnP∩F PnI.

圖 2 K0→E0 和H0→E0 的拉回圖

設0→U→V→W→0是左R-模正合列.若U，W∈GF PnI，由上面的證明可知，存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列

若U，V∈GF PnI，則存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列0→K→E→V→0，其中E∈F PnI且K∈GF PnI.考慮拉回圖，如圖3.

圖3 U→V和E→V的拉回圖

由圖3中第二列和第三行在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合，易得0→D→E→W→0在HomR（F PnP∩F PnI，－）下也正合.在正合列0→K→D→U→0中，K，U∈GF PnI且GF PnI關于擴張封閉，所以D∈GF PnI.從而存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列（ξ）:…→H1→H0→D→0，其中 Hi∈F PnI且 D∈（F PnP ∩F PnI）⊥.將（ξ）和短正合列0→D→E→W→0拼接易得HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列

…→H1→H0→E→W→0，

其中Hi∈F PnI且E∈F PnI.由D，E∈GF PnI及引理 2.1可得W∈（F PnP∩F PnI）⊥，進而W∈GF PnI.因此GF PnI關于單同態(tài)的余核封閉.

因為GF PnI關于擴張和直積封閉，根據文獻[9]中命題1.4可得GF PnI關于直和因子封閉.

推論2.1完全F PnI-I分解X的每個核都是Gorenstein FPn-內射模.

引理2.4設0→U→V→W→0是左R-模正合列.若V，W∈GF PnI，則U∈GF PnI的充要條件是對任意H∈F PnP∩F PnI都有

證明（必要性）由引理2.1易證.

（充分性）設對任意H∈F PnP∩F PnI都有.由W∈GF PnI及引理2.3的證明過程知，存在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合的正合列0→K→H→W→0，其中K∈F PnI且H∈GF PnI.構造拉回圖如圖4.

圖4 V→W和U→W的拉回圖

由圖4中間列及GF PnI關于擴張封閉知C∈GF PnI.考慮中間行0→U→C→H→0，因為H∈F PnP∩F PnI且，所以該序列可裂.可見U是C的直和因子.又由引理2.3知GF PnI關于直和因子封閉，因此U∈GF PnI.

圖 5 K0→C0 和E0→C0的拉回圖

由圖5中間列和第三行在HomR（F PnP∩F PnI，－）下正合得，中間行0→U0→E0→U→0在HomR（F PnP∩F PnI，－）下也正合.考慮拉回圖如圖6.

圖 6 U0→K0 和C1→K0 的拉回圖

…→E1→E0→U→0，其中 Ei∈F PnI.

根據引理2.1可得U是Gorenstein FPn-內射模.

3 結論

利用環(huán)模理論和同調代數的方法，研究了有限n-表示投射模和Gorenstein FPn-內射模的若干性質和等價刻畫.結果表明在左n-凝聚環(huán)R上，（F PnP，F PnI）是一個完全遺傳余撓理論，其中F PnP表示所有限n-表示投射模組成的類.從而補充了相對同調代數中關于余撓理論和有限表示模的相關理論.