新型冠狀病毒肺炎在職業(yè)院校人群動(dòng)力傳播規(guī)律分析

譚 平

(陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院鐵道工程系，714000，陜西，渭南)

0 引言

新型冠狀病毒肺炎(簡(jiǎn)稱(chēng)COVID-19)是一種動(dòng)物傳染人、人傳染人及相互傳播的疾病，自從2019年12月26日至今，傳染速度之快，給中國(guó)乃至世界，造成巨大恐慌，嚴(yán)重影響我國(guó)人民生命和財(cái)產(chǎn)安全，為此，我國(guó)成立疫情防控小組，利用各種手段控制疫情蔓延[1]。因此，全面認(rèn)識(shí)COVID-19的發(fā)病機(jī)理、了解病毒的傳播規(guī)律，提出有效防控策略，關(guān)系國(guó)計(jì)民生, 這也是當(dāng)前世界乃至后期一段時(shí)間所面臨且迫切需要解決的熱點(diǎn)問(wèn)題[2]。對(duì)于不同種群間傳播規(guī)律的研究具有理論和社會(huì)意義。對(duì)于高職院校學(xué)生(特定種群)而言，與普通種群，他的聚集性高、交叉大，與本科院校相對(duì)，學(xué)生理論基礎(chǔ)較差，好動(dòng)程度強(qiáng)[3]，且在校大部分時(shí)間是在校內(nèi)外實(shí)訓(xùn)(實(shí)習(xí))[4]，被感染和交叉感染風(fēng)險(xiǎn)大。對(duì)于傳染病傳播動(dòng)力模型規(guī)律認(rèn)識(shí)，最早是200年前，科學(xué)家Bernoulli 建立了天花傳播模型[5]，隨后Kermack建立了“閾值理論”[6]；據(jù)此，胡志興[7]建立了SIRS分布時(shí)滯和非線性接觸率。郭寶珠[8]利用Bernoulli閾值建立了一個(gè)年齡結(jié)構(gòu)分布控制傳染病模型。胡杰[9]等根據(jù)投放染病害蟲(chóng)、天敵和噴灑化學(xué)農(nóng)藥的傳染病模型研究發(fā)現(xiàn)，傳染病傳播過(guò)程中符合脈沖微分方程小振動(dòng)理論。目前對(duì)于傳染病，大部分針對(duì)的是病原個(gè)體、禽人間、人人間傳播，沒(méi)有考慮人與人、人與禽間的混合型，混合型中還包括類(lèi)聚性[9]。本文傳統(tǒng)的閾值動(dòng)力學(xué)模型理論為基礎(chǔ)，依據(jù)陜西鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院COVID-19上報(bào)數(shù)據(jù)，考慮高職院校不同年級(jí)學(xué)生活動(dòng)軌跡及聚合性、關(guān)聯(lián)度等因素，建立傳染病在高職院校間傳播的模型，通過(guò)再生系數(shù)的矩陣方程，判定模型穩(wěn)定性，分析COVID-19在職業(yè)院校中不同年級(jí)間的傳播規(guī)律。

1 職業(yè)院校COVID-19關(guān)聯(lián)函數(shù)建立

高職院校管理相關(guān)規(guī)定，學(xué)生大體分為3類(lèi)，大一、大二、大三，特點(diǎn)是大一集體活動(dòng)多，大二專(zhuān)業(yè)實(shí)踐課程多，大三大部分學(xué)生在自己所簽訂單位頂崗實(shí)習(xí)，中途回來(lái)4～5次，在學(xué)校停留時(shí)間在1—3周，大一、大二、大三間交流主要是通過(guò)學(xué)生工作辦公室、輔導(dǎo)員及相關(guān)班委。根據(jù)Kermack艙室理論，不考慮開(kāi)除、留級(jí)及意外死亡等因素影響，群體間不進(jìn)行任何交流聯(lián)系，可建立職業(yè)院校傳染病網(wǎng)格示意圖1。

圖1 高職院校傳染病網(wǎng)格示意圖

假設(shè)群體以班級(jí)為單位，每一個(gè)班級(jí)為一個(gè)獨(dú)立的艙室，每一個(gè)年級(jí)種群關(guān)聯(lián)度不同可設(shè)種群列j，每一個(gè)班級(jí)中群體包括正常者Fs，感染者FI及治愈者FV，可設(shè)置為行i，每一班級(jí)在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，班級(jí)中感染數(shù)量關(guān)系見(jiàn)公式(1)：

(1)

感染速率λ及治愈速率γ，感染后移除艙室，假設(shè)治愈后不再感染，傳染經(jīng)過(guò)時(shí)間[t,t+△t]，感染與治愈者按照公式(2)：

λ·△t，γ·△t

(2)

相應(yīng)的正常種群減小量及增加量見(jiàn)公式(3)：

λ[Fs·FI]△t|γFI△t

(3)

大三頂崗實(shí)習(xí)歸來(lái)學(xué)生進(jìn)入艙室，設(shè)定為新進(jìn)種群，網(wǎng)格數(shù)量增加bN(t)△t,以入網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn) k 的易感、恢復(fù)者可表示為公式(4)：

(1-p)bN(t)π△t;pbN(t)π△t

(4)

新增加節(jié)點(diǎn)進(jìn)入原有網(wǎng)格后，度會(huì)增加1，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，由此增加n個(gè)后可設(shè)置為公式(5)[2]：

(5)

建立傳播動(dòng)力微分方程見(jiàn)公式(6)：

(6)

加入一個(gè)人被感染，網(wǎng)格中原來(lái)是S-S將變成I-S，則I-S邊可以增加率為[2](1-p)φ′(1)[FI]，則邊界方程滿足公式(7)：

(7)

2 基本再生指數(shù)

動(dòng)力模型中，處于無(wú)感染極限時(shí)，則有FM=0，F(xiàn)I=0，令式(6)、式(7)右邊等于0，可得雅克比矩陣(8)：

展開(kāi)后

(8)

解非其次線性方程組，矩陣下部化簡(jiǎn)，特征方程見(jiàn)公式(9)：

(9)

其中，顯然x=b=-2b=0都是方程組一個(gè)根。

當(dāng)公式(10)

(10)

特征方程具有負(fù)實(shí)根，J區(qū)域穩(wěn)定。

由此得到種群再生系數(shù)，

無(wú)病平衡點(diǎn)E0趨于穩(wěn)定。

模型中，當(dāng)新進(jìn)成員為零時(shí)，也就是新引進(jìn)成員為零時(shí)，即p、b都趨于0時(shí)，模型就變成了Lindquist靜止模型，根據(jù)Lindquist設(shè)定系數(shù)，φ′(1)=5.7，φ″(1)=68.432，α=4.669，γ=0.1-1，λ=10-50。

靜態(tài)動(dòng)力模型中，基本再生系數(shù)與感染系數(shù)和治愈系數(shù)關(guān)系如圖2所示，據(jù)圖2分析可知，再生系數(shù)隨感染系數(shù)增大而增大，但再生系數(shù)小于并無(wú)線接近于1，隨著治愈系數(shù)增加，再生系數(shù)逐漸減小，接近于0 ，對(duì)于再生系數(shù)小于1，模型處于不穩(wěn)定狀態(tài)，說(shuō)明，Lindquist靜止模型有一定局限性。對(duì)于網(wǎng)格動(dòng)力模型中，再生系數(shù)與感染系數(shù)和治愈系數(shù)關(guān)系如圖3所示，與靜止模型規(guī)律基本相似，感染系數(shù)在30～50之間，再生系數(shù)穩(wěn)定且大于1，說(shuō)明，本文建立模型適合于傳染病動(dòng)力再生規(guī)律分析。

圖2 Lindquist靜態(tài)模擬結(jié)果

圖3 網(wǎng)格模擬結(jié)果

3 職業(yè)院校疫情防控措施評(píng)估

疫情源于武漢(可能源于華南海鮮市場(chǎng))，截止2020年2月20日，我國(guó)COVID-19感染人數(shù)如圖4所示。通過(guò)感染云圖分析，目前總計(jì)62 254人，其中，湖北60 000人，從數(shù)據(jù)看屬于疫情高發(fā)區(qū)，陜西省232人，屬于藍(lán)色疫情防控區(qū)，屬于人與人間的被傳播(與湖北密切接觸者)，其中，渭南市15例，在陜西屬于中度防控區(qū)，截止2月20日，統(tǒng)計(jì)新增種群如圖5所示，因?yàn)榇笠弧⒋蠖谛Ｆ陂g，與渭南市疫情種群增加類(lèi)似，采用指數(shù)增長(zhǎng)模型。

圖4 2020年2月20日全國(guó)確診分布

圖5 大一、大二疫情種群預(yù)測(cè)圖

根據(jù)目前學(xué)校統(tǒng)計(jì)報(bào)告及我國(guó)防控中心數(shù)據(jù)，將動(dòng)力模型系數(shù)確定如下。

1)大三情況統(tǒng)計(jì)如圖6所示，大三因?yàn)?0%以上學(xué)生都去參加頂崗實(shí)習(xí)，與外省人員接觸密切，假設(shè)大三在校生只要進(jìn)入武漢的學(xué)生或者與湖北密切接觸學(xué)生就認(rèn)為是被感染者，目前陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院共計(jì)有34人，其中在武漢參加醫(yī)療工程建設(shè)任務(wù)的3人，17人回家，23人有返校經(jīng)歷，大一按艙室值確定，大二按照渭南指數(shù)增長(zhǎng)模型推算，感染累計(jì)疫點(diǎn)數(shù)n= 1.637×107，感染系數(shù)可以定義為γ=0.8，1，1.2，治愈系數(shù)為λ=30.2，37.2，40.4。

圖6 職業(yè)院校大三進(jìn)倉(cāng)風(fēng)險(xiǎn)增加原因

2) 從學(xué)生返倉(cāng)原因可以預(yù)測(cè)出他們返倉(cāng)軌跡。假設(shè)返校、違約學(xué)生與離校生在同一時(shí)間發(fā)生，可得到φ″(x)≈κφ′(x) ，據(jù)此估算出p=10%。

3) 因?yàn)楹笃诔伺撌腋綦x，還有有疫苗作用，因?yàn)镃OVID-19病毒沒(méi)有疫苗，參照H5N1 禽流感滅活疫苗資料顯示，免疫保護(hù)為 1 a，因此設(shè)失效率φ= 1。其他參數(shù)假設(shè)為q=0.2，α=0.03，β=0.6。

圖7 為病情一個(gè)周期段內(nèi)、高職院校不同年級(jí)下以班級(jí)為艙室下累計(jì)感染模型，從種群進(jìn)入網(wǎng)格數(shù)量分析不同，隨著年級(jí)增長(zhǎng)，感染系數(shù)增大，感染人數(shù)也在增加，隨著艙室隔離、疫苗等作用，感染人數(shù)最終下降，最終趨勢(shì)值基本相同。

圖7 預(yù)測(cè)職業(yè)院校傳染病傳播規(guī)律

4 結(jié)論

為了深入研究COVID-19在職業(yè)院校學(xué)生間傳播，做好學(xué)生返校后疫情防控，保障學(xué)校正常教學(xué)、生產(chǎn)復(fù)工，建立網(wǎng)格傳染病防控模型，可得到以下規(guī)律。

1)通過(guò)艙室理論建立以班級(jí)為單位的艙室；通過(guò)輔導(dǎo)員、學(xué)生間聯(lián)系及高職院校各年級(jí)特點(diǎn)，設(shè)定職業(yè)院校傳染網(wǎng)、學(xué)生感染系數(shù)及治愈系數(shù)；通過(guò)網(wǎng)格高斯理論，建立了COVID-19微分動(dòng)力方程。

2)通過(guò)雅克比矩陣解線性方程組，通過(guò)簡(jiǎn)化判定，雅克比矩陣J為負(fù)，說(shuō)明基本再生系數(shù)大于1，動(dòng)力微分方程穩(wěn)定，比Lindquist靜止方程更加適用。

3)通過(guò)對(duì)全國(guó)COVID-19疫情判定，陜西省處于被感染區(qū)，陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院所處的渭南市在陜西省屬于中度防疫區(qū)，由于職業(yè)院校大一、大二學(xué)生特性，采用渭南地區(qū)指數(shù)增長(zhǎng)模型，大三采用倍數(shù)增長(zhǎng)模型，通過(guò)不同種群模型參數(shù)，建立一個(gè)周期內(nèi)，防疫模型，通過(guò)模型分析，大三學(xué)生在外實(shí)習(xí)感染風(fēng)險(xiǎn)較高，但隨著隔離、疫苗等手段控制后，疫情發(fā)展終值基本相同。