基于灰色-馬爾柯夫模型的心血管病死亡率預測研究

王梓寬，于海雯

(1. 南昌大學前湖學院，330031，南昌；2. 南昌大學信息工程學院，330031，南昌)

0 引言

隨著社會與經濟的發(fā)展，人們的生活水平和生活方式發(fā)生了深刻變化。人口老齡化及城鎮(zhèn)化的加速等，心血管病危險因素流行趨勢越發(fā)明顯，導致了心血管病的發(fā)病人數(shù)持續(xù)增加，且今后10 a心血管病患病人數(shù)仍將繼續(xù)增長[1]。根據2019年中國衛(wèi)生健康統(tǒng)計年鑒[2]中的數(shù)據，心血管病(心臟病、腦血管病)死亡占城鄉(xiāng)居民總死亡原因的首位，2018年心血管病農村死亡率為322.31/(10萬)，其中心臟病死亡率為162.12/(10萬)，腦血管病死亡率為160.19/(10萬)；城市心血管病死亡率為275.22/(10萬)，其中心臟病死亡率為146.34/(10萬)，腦血管病死亡率為128.88/(10萬)；2018年農村、城市心血管病死亡占全部死因的比率分別為46.66%和43.8%。心血管病事件的發(fā)生主要歸因于血壓和總膽固醇水平升高等原因，在1958—1959年、1979—1980年、1991年、2002年進行過4次全國范圍內的高血壓抽樣調查[3]，≥15歲人群高血壓的患病粗率分別為5.1%、7.7%、13.6%、17.6%，總體呈上升趨勢。心血管病的疾病負擔日漸加重，已成為重大的公共衛(wèi)生問題[1]。能否較準確地預測心血管病死亡率，有利于指導預防心血管病事件的發(fā)生和公共衛(wèi)生事業(yè)的可持續(xù)發(fā)展。因此研究心血管死亡率的預測方法對引導我國公共衛(wèi)生事業(yè)的健康發(fā)展是非常有意義的。

灰色預測理論的核心和基礎是GM(1,1)模型[4-6]，它適用于時間短、數(shù)據少、波動小、具有長期趨勢的預測對象。對隨機波動較大的對象，其預測值就會出現(xiàn)偏高或者偏低，擬合程度較差。馬爾柯夫預測模型則適合于一個隨機變化的動態(tài)系統(tǒng)，根據狀態(tài)間的轉移概率來預測系統(tǒng)未來發(fā)展趨勢。目前不少研究者把灰色GM(1,1)模型與馬爾柯夫預測模型相結合[7-10]，即灰色-馬爾柯夫預測模型。本文主要研究灰色-馬爾柯夫的心血管病死亡率預測模型，提出了一種改進的灰色-馬爾柯夫預測模型，并利用1991—2018年統(tǒng)計數(shù)據[2,11]進行數(shù)值模擬。數(shù)值模擬結果表明本文提出的改進的灰色-馬爾柯夫預測模型是有效的。

1 灰色-馬爾柯夫預測模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

GM(1,1)模型是最簡單的灰色動態(tài)預測模型[4-6]，它的建模原理及過程如下所述。

(1)

其中a和u是需由x(1)來確定的參數(shù)。對式(1)中的方程兩邊在[k,k+1]上積分得

(2)

顯然，x(1)(k+1)-x(1)(k)=x(0)(k+1)，于是式(2)等價為

(3)

當k取從1到n-1時，則得超定方程組

(4)

(5)

于是，得到GM(1,1)預測模型為

(6)

1.2 馬爾柯夫預測模型

設{Yn,n=0,1,2,…}是一個離散型隨機變量序列，且Yn所可能取值屬于E，而E是個包含有限個元素的集合,在此即為有限個狀態(tài)的集合。如果Yn+1的條件概率只依賴于Yn的值，即P(Yn+1=in+1|Yn=in，Yn-1=in-1,…,Y0=i0)=P(Yn+1=in+1|Yn=in)，則稱該隨機過程是個有限狀態(tài)的馬爾柯夫鏈[7-8]。在描述馬爾柯夫鏈的概率分布時，最重要的是條件概率pij(k)=P(Yk+1=j|Yk=i)，它表示在時刻k時Yk取i值的條件下，在下一時刻Yk+1取j值的概率，一般稱pij(k)為k時刻的一步轉移概率。若隨機變量從i狀態(tài)轉移到j狀態(tài)的條件概率與時刻k無關，即pij(k)=P(Yk+1=j|Yk=i)pij，則稱其為齊次馬爾柯夫鏈。

設P為齊次馬爾柯夫鏈的一步轉移概率pij的矩陣，即

(7)

1.3 灰色-馬爾柯夫預測模型

(8)

1.4 改進的灰色-馬爾柯夫預測模型

為進一步提高預測精度，本文提出以下改進的灰色-馬爾柯夫預測模型，即取

(9)

為x(0)(k)的新擬合值和預測值，其中β0,β1,β2,β3,β4,β5為待定參數(shù)。在下面對心血管病死亡率的預測中，利用MATLAB軟件中函數(shù)regress直接計算出β0,β1,β2,β3,β4,β5，使用格式為：

b= regress(y,A,alpha)，

其中y為原始數(shù)據x(0)(k)，A為對應于回歸系數(shù)β0,β1,β2,β3,β4,β5的矩陣，alpha為置信水平α(缺省時α=0.05)；輸出b是一個六維列向量，它的分量分別是β0,β1,β2,β3,β4,β5的計算值。

1.5 狀態(tài)劃分的計算方法

為給出灰色-馬爾柯夫預測模型中狀態(tài)劃分，先給出中心趨勢曲線的定義。

成立，則稱F(k)為原始數(shù)據的中心趨勢曲線。

2 心血管病死亡率的灰色-馬爾柯夫預測

本文分別選取1991—2018年農村與城市心血管死亡率[2,11]作為預測對象，其中1991—2016年的數(shù)據作為原始數(shù)據來建立灰色-馬爾柯夫鏈預測模型，2017年、2018年的數(shù)據作為預測樣本數(shù)據，從而觀察預測效果。

首先，在方程組(4)中代入1991—2016年的數(shù)據，求得方程組(4)的最小二乘解。于是，得到農村、城市心血管病死亡率的灰色GM(1,1)預測模型分別為：

改進的灰色-馬爾柯夫模型的預測效果見圖1，其與GM(1,1)模型預測的對比以及精度檢驗見表1。

(a)農村心血管病死亡率 (b)城市心血管病死亡率

表1 改進的灰色-馬爾柯夫模型與GM(1,1)模型擬合結果以及精度檢驗

表1 (續(xù))

根據表2[5]中的精度檢驗分級標準及表1、表3中的計算結果，可知本文提出的改進的灰色-馬爾柯夫與模型能很好地對心血管病死亡率進行預測，且對農村心血管病死亡率的預測具有更好的結果，其中原因可能是城市心血管病死亡率在2002年較其他年份非常低而導致模型的精度偏弱。

表2 精度檢驗分級標準

表3 改進的灰色-馬爾柯夫模型與GM(1,1)模型預測結果

3 結論

本文針對1991-2018年農村與城市心血管病死亡率的統(tǒng)計數(shù)據，選用灰色-馬爾柯夫模型來對其進行預測，提出了一種改進的灰色-馬爾柯夫心血管病死亡率預測模型，數(shù)值模擬結果表明改進的灰色-馬爾柯夫預測模型是有效的，特別是對當前農村心血管病死亡率的預測，這將有利于預防和指導心血管病防治公共衛(wèi)生事業(yè)的發(fā)展。實際上，心血管病與高血壓、血脂異常、空氣污染等許多因素有關，如何建立心血管病事件與重要因素之間因果關系，從而建立更好的預測模型是需要繼續(xù)深入研究的。