聚焦核心素養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計①
——以高中“平面向量的運算”單元為例

劉春艷

(北京教育學(xué)院 100120)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)實施建議中提到教師“不僅關(guān)注每一節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，明晰這些目標(biāo)對實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn)”. 課程標(biāo)準(zhǔn)還提出要“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”. 相比課時教學(xué)設(shè)計，單元教學(xué)設(shè)計可以使教師有更充足的時間和空間根據(jù)實際情況調(diào)整教學(xué)的節(jié)奏，因此，單元教學(xué)設(shè)計在中小學(xué)教學(xué)中受到廣泛重視.

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，單元教學(xué)設(shè)計中的“單元”大多以數(shù)學(xué)學(xué)科框架體系內(nèi)的學(xué)習(xí)內(nèi)容來組織. 在單元教學(xué)的具體操作過程中，“單元”的范圍不局限于教材中的“單元”，常見的“單元”類型有：以數(shù)學(xué)知識為主線的單元；以數(shù)學(xué)思想方法為主線的單元；以數(shù)學(xué)基本能力為主線的單元；以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為主線的單元等多種形式. 第一種類型一般用于新授課，實際教學(xué)中比較常見，本文所述的實際操作建議即以此類型為主.

對于單元教學(xué)設(shè)計的具體實施過程，鐘啟泉教授提出單元設(shè)計一般遵循“ADDIE”模型[1]，即分析Analysis、設(shè)計Design、開發(fā)Development、實施Implement和評價Evaluation. 呂世虎教授等將單元教學(xué)設(shè)計的整個過程細(xì)化為6個實施步驟[2]：確定單元內(nèi)容；分析教學(xué)要素；編制教學(xué)目標(biāo)；設(shè)計教學(xué)流程；實施教學(xué)；評價反思及改進(jìn). 人教高中數(shù)學(xué)A版教參(2017版)中給出的單元教學(xué)設(shè)計樣例包括內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標(biāo)和目標(biāo)解析、教學(xué)問題診斷分析、教學(xué)支持條件分析和教學(xué)過程設(shè)計五個主要環(huán)節(jié). 從中可以看出，無論是哪個模式或者步驟，都是為了更好地解決“教什么，怎么教，教得怎么樣”這三個教學(xué)中的基本問題. 單元教學(xué)設(shè)計的特點主要體現(xiàn)在：(1)設(shè)計框架涵蓋教學(xué)基本要素，體現(xiàn)單元教學(xué)設(shè)計的整體性；(2)將“分析”貫穿設(shè)計始終，注重教學(xué)設(shè)計有理有據(jù)；(3)強(qiáng)調(diào)從“單元”到“課時”的過程，保障教學(xué)設(shè)計的層次性和有序性.

對于教師而言，單元教學(xué)設(shè)計形成了一個閉路，利于整體上把握單元教學(xué)的全過程. 但是在具體實施的過程中，教師往往存在很多困惑與問題：對單元教學(xué)內(nèi)容從哪些角度進(jìn)行分析？學(xué)情分析關(guān)鍵點是什么？單元教學(xué)目標(biāo)重點分析什么？在教學(xué)過程設(shè)計過程中，如何體現(xiàn)單元的整體性、層次性和有序性？等等.本文以“平面向量的運算”單元為例，與老師們探討如何進(jìn)行一個真實的單元教學(xué)設(shè)計.

1 單元教學(xué)內(nèi)容分析的主線，是明確其學(xué)科地位，提升其學(xué)科核心素養(yǎng)

對于平面向量，按照課程標(biāo)準(zhǔn)要求包括向量概念、向量運算、向量基本定理及坐標(biāo)表示、向量應(yīng)用. 從新授課的角度，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)對于平面向量內(nèi)容和課時的要求，選擇以“向量運算”作為一個單元的主題，屬于“單元”類型的第一種情況. 本單元主要內(nèi)容包括平面向量的加減運算、數(shù)乘運算和數(shù)量積，以及它們的運算規(guī)則、運算性質(zhì)及其幾何意義等．

對于單元教學(xué)內(nèi)容分析，要以“四基”為基礎(chǔ)，以明確學(xué)科核心素養(yǎng)為指向．具體分析時，可以先利用結(jié)構(gòu)圖等形式進(jìn)行梳理，說明單元內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)，然后從知識的學(xué)科本質(zhì)和上下位關(guān)系、蘊(yùn)含的思想方法等方面具體分析；以此為基礎(chǔ)，說明本單元在本學(xué)段或者中學(xué)數(shù)學(xué)體系中，甚至數(shù)學(xué)體系中的地位和作用，并進(jìn)一步明確本單元的學(xué)習(xí)在提升能力和發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的具體作用.

平面向量的運算單元的結(jié)構(gòu)圖如下：

1.1 本單元的知識內(nèi)容

(1)學(xué)科本質(zhì)[4]

本單元是以平面向量為研究對象，對其從運算的角度開展研究．由于向量既是代數(shù)研究對象也是幾何研究對象，向量的運算自然有代數(shù)和幾何兩種意義，因此，向量的運算也要從代數(shù)、幾何兩個角度進(jìn)行研究．

從代數(shù)的角度，向量的運算遵循一般的運算研究脈絡(luò)，按照“背景——定義——法則——性質(zhì)——應(yīng)用”的順序建立相應(yīng)的運算體系.

從幾何的角度，位置是空間最為基本原始的概念，向量理所當(dāng)然地是空間最為基本原始的幾何量，這使得向量的運算都具有幾何意義，向量運算的運算律也具有豐富的幾何內(nèi)涵.如向量的加法用幾何語言描述就是“三角形法則”或“平行四邊形法則”．向量加法的交換律是平行四邊形定理的向量表述形式．?dāng)?shù)乘運算的分配律是相似三角形定理的代數(shù)形式．?dāng)?shù)量積的分配律也是勾股定理代數(shù)化的一種表達(dá)形式等等．

同時，由于向量理論具有豐富的物理背景，向量的概念源自物理學(xué)，因此向量的運算也有明確的物理背景，如物理中的功是平面向量數(shù)量積的背景．

(2)知識的上下位關(guān)系

本單元之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了關(guān)于數(shù)、式、集合、函數(shù)等對象的運算．本單元是將運算對象進(jìn)一步擴(kuò)展到向量，因此向量的運算是一類特殊的運算．

在數(shù)學(xué)中，從運算的共性來看，運算是一種映射，是兩個元到第三個確定元的一種特殊關(guān)系． 用集合的語言可敘述為：設(shè)有集合A，B，C，把一個從A×B→C的映射叫做A×B到C的一個代數(shù)運算或二元運算．特別地，若A=B=C，此映射稱為A上的一個二元運算．由此可見，向量的加減法運算是向量集合上的一個二元運算；向量的數(shù)乘運算是實數(shù)集合與向量集合對應(yīng)到向量集合的映射；向量的數(shù)量積也就是兩個向量集合對應(yīng)到實數(shù)集合的映射．

1.2 本單元蘊(yùn)含的思想方法

首先，向量集數(shù)形于一身，向量的運算也具有明顯的幾何意義，因此向量的運算中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的思想方法．其次，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和特點，類比數(shù)的運算研究向量的運算的研究方法貫穿本單元全過程，如類比數(shù)的減法，定義向量的減法．因此本單元學(xué)習(xí)過程中數(shù)形結(jié)合、類比是最主要的思想方法．

1.3 本單元的學(xué)科地位和作用

向量的運算不僅擴(kuò)充了運算對象，體現(xiàn)運算的形式在不斷發(fā)展，而且為后續(xù)向量的學(xué)習(xí)(包括平面向量基本定理、空間向量等)、在現(xiàn)實生活和物理中的應(yīng)用，在平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)內(nèi)部的廣泛應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)．

向量運算體系的建立也進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)學(xué)內(nèi)部，如代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．從向量運算的角度來看，向量具有較好的代數(shù)結(jié)構(gòu)：向量及其加法運算、數(shù)乘運算構(gòu)成向量空間，這也為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中線性代數(shù)奠定基礎(chǔ)．

1.4 本單元重點提升的學(xué)科素養(yǎng)

本單元最主要的內(nèi)容是向量運算的法則、性質(zhì)及其幾何意義．“運算法則是運算的基礎(chǔ)，是推理的基礎(chǔ)，也是運算結(jié)果具有唯一性的保障．在運用運算解決問題的過程中，運算法則可以幫助我們探索運算思路．”[3]理解向量運算法則的過程也是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的過程，同時，向量運算中蘊(yùn)含的幾何意義和代數(shù)意義，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，幫助學(xué)生感受到幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解，因此向量運算是提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等學(xué)科核心素養(yǎng)的良好載體．

2 學(xué)情分析的關(guān)鍵，是找出學(xué)生已有認(rèn)知與學(xué)習(xí)需要之間的差距

對于學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析，一方面要分析學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)；另一方面要結(jié)合本單元內(nèi)容，分析學(xué)習(xí)者需要具備的認(rèn)知基礎(chǔ)和經(jīng)驗，兩者之間的差距，也就是學(xué)生學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容時可能遇到的困難．

由前面的分析，向量的運算需要從物理、幾何、代數(shù)三個角度進(jìn)行理解，對于學(xué)生情況我們也從這三個角度對于已有的認(rèn)知基礎(chǔ)和可能遇到的困難進(jìn)行分析．

2.1 學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)

(1)從物理角度，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了位移、力、功等相關(guān)物理量． 在具體問題中，學(xué)生能夠用有向線段畫出位移的合成、力的分解，能計算功的大小，并且在圖中能準(zhǔn)確找到兩個向量(力與位移)的夾角．

(2)從代數(shù)角度，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)、式、集合、函數(shù)等運算，也體會到運算是代數(shù)研究的重要內(nèi)容．尤其對實數(shù)運算的研究過程，學(xué)生比較完整的經(jīng)歷了從運算對象到運算法則、運算律，直至運算應(yīng)用的研究過程，初步積累了建立運算體系的經(jīng)驗．

(3)從幾何角度，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平面幾何，具備相應(yīng)的知識基礎(chǔ)以及一定的關(guān)于幾何圖形研究的經(jīng)驗．另外，學(xué)生已具備了一定的觀察問題、分析問題的能力，具備能從簡單的實際背景中抽象出數(shù)學(xué)概念的能力，這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)本單元的良好基礎(chǔ)．

2.2 學(xué)生可能遇到的困難

(1)從物理角度，學(xué)生有利用數(shù)學(xué)知識研究物理問題的經(jīng)驗，如利用三角函數(shù)研究物理中的彈簧振子、交變電流等． 在研究向量之前，學(xué)生不具備從物理背景引出數(shù)學(xué)內(nèi)容的經(jīng)驗，所以從具體的物理實例引出向量運算，學(xué)生會存在一定困難．

(2)從代數(shù)角度，向量既有大小，也有方向． 我們類比數(shù)的運算研究向量的運算，在向量的運算中，對于方向如何參與運算，學(xué)生沒有直接的經(jīng)驗．學(xué)生很容易帶著實數(shù)運算的思維定勢來理解向量的運算，出現(xiàn)對向量運算理解不到位，甚至出現(xiàn)“負(fù)遷移”，如數(shù)量積的結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c)等典型錯誤．

(3)從幾何角度，向量加法的定義是用作圖語言來刻畫的，對直接通過作圖定義向量運算這種處理方法，學(xué)生也是第一次接觸．對于向量的數(shù)量積內(nèi)容，兩個向量數(shù)量積運算的結(jié)果是實數(shù)，其幾何意義不如線性運算直觀． 除此之外，還涉及兩個向量夾角、投影和投影向量的概念，研究這些概念的必要性，尤其投影和投影向量的概念讓學(xué)生感到很陌生，也很抽象．

3 單元教學(xué)目標(biāo)分析的重點，是將目標(biāo)中“行為動詞”具體化、可操作化

教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)設(shè)計的核心，具體的教學(xué)過程設(shè)計圍繞教學(xué)目標(biāo)展開，教學(xué)評價也是以教學(xué)目標(biāo)為依據(jù)．雖然課程標(biāo)準(zhǔn)對知識單元的內(nèi)容有明確要求，但是過于抽象和概括，尤其行為動詞“理解”和“掌握”等的具體含義，可以借鑒布魯姆教育目標(biāo)分類學(xué)中的認(rèn)知目標(biāo)，從解釋、舉例、分類、總結(jié)、推斷、比較、說明等方面分析.同時，考慮學(xué)生需要經(jīng)過什么樣的過程、具有什么樣的表現(xiàn)可以認(rèn)為達(dá)到相應(yīng)要求，以及本單元蘊(yùn)含的思想方法體現(xiàn)在哪些具體環(huán)節(jié)等.通過深入分析，使教學(xué)目標(biāo)明確、具體、可操作．

單元教學(xué)目標(biāo)分析要與前面所述的單元教學(xué)內(nèi)容分析和單元學(xué)情分析相銜接，同時要注意課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容要求和教學(xué)提示．由于教材的編寫要貫徹數(shù)學(xué)課程的基本理念和要求，因此，教材也是教學(xué)目標(biāo)分析的重要資源．

如：課程標(biāo)準(zhǔn)中對向量的加減法運算的內(nèi)容要求是：“借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義．”對于向量的運算內(nèi)容，課程標(biāo)準(zhǔn)中的教學(xué)提示是：“在平面向量及其應(yīng)用的教學(xué)中，應(yīng)從力、速度、位移等實際情境入手，從物理、幾何、代數(shù)三個角度理解向量的概念與運算法則，引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方法探索實數(shù)運算與向量運算的共性與差異.”人教A版教材“向量的加法運算”一節(jié)，文本呈現(xiàn)的順序是：“物理實例——向量的加法、向量加法法則——規(guī)定特殊情況——例題——向量的加法與數(shù)的加法聯(lián)系——運算律——例題”．“向量的減法運算”一節(jié)，文本呈現(xiàn)的順序是；“相反向量——向量的減法——減法的幾何意義——特殊情況——例題”． 對于向量的加法及運算法則是通過對圖形的語義轉(zhuǎn)換得到的，類比數(shù)的加法運算律，利用加法的幾何意義驗證運算律；類比數(shù)的減法，通過符號語言定義向量的減法；例習(xí)題的設(shè)計主要是通過圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生理解向量的加減法運算．

因此，對于向量的加減法運算教學(xué)目標(biāo)分析如下：

能借助物理中位移、力的合成和向量的幾何表示，定義向量的加法、向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能說明兩個法則的一致性；能借助向量加法的幾何意義，通過類比數(shù)的加法運算律，探究向量加法的運算律；能類比數(shù)的減法，定義向量的減法；能通過作圖表示兩個向量的和或差.

通過向量加減運算的研究過程，體會研究運算對象的一般思路，即“運算概念——運算規(guī)則——運算性質(zhì)”，提升數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的素養(yǎng)，通過向量運算中幾何意義的理解與運用，提升直觀想象的素養(yǎng)．

4 做到單元教學(xué)設(shè)計整體有序，必須將單元教學(xué)要素逐步分解、細(xì)化到課時教學(xué)過程

具體的教學(xué)過程是以課時為單位進(jìn)行設(shè)計的，首先根據(jù)前面的分析設(shè)計課時，將單元教學(xué)目標(biāo)和重難點逐步分解到課時，再將課時教學(xué)目標(biāo)細(xì)化為課時的主要教學(xué)環(huán)節(jié)，并以圍繞核心問題展開問題串的形式設(shè)計教學(xué)活動． 通過從單元到課時、從整體到局部，有邏輯有順序有步驟地設(shè)計課時教學(xué)過程，充分體現(xiàn)了單元教學(xué)設(shè)計的整體性和有序性，是單元教學(xué)目標(biāo)實現(xiàn)的重要保障．

對于向量的運算，建議用6課時．第一課時：向量的加法；第二課時：向量的減法；第三課時：向量的數(shù)乘運算；第四課時：向量的共線與數(shù)乘運算的關(guān)系；第五課時：向量的數(shù)量積和投影；第六課時：向量數(shù)量積的運算律及應(yīng)用．以第一課時“向量的加法”為例．

4.1 將單元教學(xué)目標(biāo)和重難點分解到具體課時

“向量的加法”主要與單元教學(xué)目標(biāo)的第一條有關(guān)，課時教學(xué)目標(biāo)為：(1)通過位移、力的合成，定義向量的加法、三角形法則和平行四邊形法則；(2)能借助向量的幾何表示，作出兩個向量的和；(3)通過類比數(shù)的加法運算律，猜想向量加法的運算律并利用向量的幾何表示驗證，體會向量運算與數(shù)的運算的區(qū)別與聯(lián)系，提升數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)．

課時教學(xué)重點是向量的加法法則和運算性質(zhì)；難點是向量加法概念的形成過程，對向量加法法則的理解．

4.2 將課時教學(xué)目標(biāo)細(xì)化為教學(xué)過程的主要環(huán)節(jié)

教學(xué)環(huán)節(jié)就是教學(xué)目標(biāo)的細(xì)化，是緊密圍繞課時教學(xué)目標(biāo)逐步展開的教學(xué)過程．“向量的加法”的教學(xué)過程設(shè)計7個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)與課時教學(xué)目標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系如下：

4.3 再將教學(xué)環(huán)節(jié)具體化為圍繞核心問題展開的師生活動

具體的教學(xué)活動應(yīng)該創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流．向量的運算具有豐富的物理背景，因此在教學(xué)環(huán)節(jié)1中創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的物理情境，在第2個教學(xué)環(huán)節(jié)“借助物理背景，定義向量的加法”中，設(shè)計如下的系列問題，引導(dǎo)學(xué)生思考和討論.

問題由位移的合成，你認(rèn)為如何進(jìn)行兩個向量的加法運算？

追問1對于矢量的合成，物理學(xué)中還有其他方法嗎？

備用問題：如右圖，在光滑的平面上，一個物體同時受到兩個外力F1與F2的作用，你能作出這個物體所受的合力F嗎?由此你能給出向量加法的另一種法則嗎？

追問2向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？

追問3以上的兩個法則是否完整？如不完整，缺少什么？

“你認(rèn)為如何進(jìn)行兩個向量的加法運算”就是一個核心問題，后續(xù)預(yù)設(shè)的追問不是固定的模式，授課中要根據(jù)學(xué)生的討論情況及時調(diào)整順序，甚至增加或者減少追問問題．比如在討論問題的過程中，學(xué)生可能提出“共線向量如何做加法運算”、“零向量如何處理”等問題，此時需要把追問3分解成多個小問題，并調(diào)整順序．圍繞核心問題展開的系列問題的靈活處理，都是為了達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)1．

教學(xué)環(huán)節(jié)要設(shè)計具有一定的開放性、引導(dǎo)性的核心問題，聚焦基本內(nèi)容，形成認(rèn)知沖突，激活學(xué)生思維，自然而然地思考“為什么”、“怎么辦”、“還有什么”、“有什么意義”、“具體是什么”等問題，通過問題解決的過程理解基本內(nèi)容．通過圍繞核心問題展開的、體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯的、有層次性的一組問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的方法和經(jīng)驗思考問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題，進(jìn)而達(dá)成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)．

圍繞核心問題展開的某一教學(xué)環(huán)節(jié)與相應(yīng)教學(xué)目標(biāo)的關(guān)系如下圖：

4.4 通過單元引言和單元小結(jié)凸顯單元設(shè)計的整體性

對于課時教學(xué)設(shè)計，引入和小結(jié)是兩個重要的環(huán)節(jié)．對于單元教學(xué)設(shè)計，第一課時的引入和最后一課時的小結(jié)更要考慮立足“單元”進(jìn)行整體設(shè)計，也就是要成為“單元引入”和“單元小結(jié)”．

(1)單元引入

課時教學(xué)設(shè)計的第一個環(huán)節(jié)常常要考慮創(chuàng)設(shè)情境引入主題，單元教學(xué)設(shè)計也需要通過單元引入創(chuàng)設(shè)整個單元的教學(xué)情境，引入單元教學(xué)主題．本單元的引入可以借用人教A版必修第二冊6.2“平面向量的運算”中的節(jié)引言：

“我們知道，數(shù)能進(jìn)行運算，因為有了運算而使數(shù)的威力無窮．那么向量是否也能像數(shù)一樣進(jìn)行運算呢？人們從向量的物理背景和數(shù)的運算中得到啟發(fā)，引進(jìn)了向量的運算．本節(jié)我們就來研究平面向量的運算，探索其運算性質(zhì)，體會向量運算的作用．”

這段引言通過比較開放和具體統(tǒng)攝性的問題，幫助學(xué)生站在數(shù)學(xué)知識的整體高度認(rèn)識問題、思考問題． 幫助學(xué)生明確：引進(jìn)一個量，就要研究它的運算；引進(jìn)一種運算，就要研究它的運算性質(zhì)；向量的運算是以物理實例為背景，以數(shù)的運算為類比對象展開研究的.單元引言要幫助學(xué)習(xí)體會本單元要研究什么、為什么研究、以及如何研究等基本問題，這些基本問題既要成為貫穿本單元教學(xué)始終的一條主線，也要為學(xué)生提供一個有力的知識、方法的認(rèn)知固著點．

(2)單元小結(jié)

最后一課時的小結(jié)要概括性的總結(jié)提煉本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，以“如何研究向量運算？每種向量運算的共性與個性是什么？”作為核心問題，根據(jù)學(xué)生實際情況，可以預(yù)設(shè)如下的系列問題：

問題1：本單元學(xué)習(xí)了向量的哪些運算？請舉例說明．

問題2：對于向量的每一種運算，研究了哪些內(nèi)容？

問題3: 對于向量的每一種運算，研究的方法是什么？

問題4: 向量的各種運算，具有什么共性和個性？

問題5: 向量的運算與實數(shù)的運算之間，有什么共性與差異？

通過圍繞核心問題的系列問題進(jìn)行總結(jié)，以提綱的形式幫助學(xué)生梳理本單元學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，形成本單元的知識結(jié)構(gòu)，明確數(shù)學(xué)思想方法在研究問題中的具體作用，幫助學(xué)生明確應(yīng)該落實的“四基”．通過對向量運算研究路徑的梳理，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確研究數(shù)學(xué)運算對象的基本思路，把“獲取知識當(dāng)作方法而不是最終目的”[5]，借此為提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力做好示范，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算和邏輯推理等素養(yǎng)．