HPM視角下的分配問題學習進階設(shè)計

姜浩哲 汪曉勤

(華東師范大學教師教育學院 200062)

1 問題的提出

2017年6月，由美國數(shù)學及其應(yīng)用聯(lián)合會(COMAP)、工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學學會(SIAM)聯(lián)合編寫的《數(shù)學建模教學與評估指南》一書中明確提出了“數(shù)學建模應(yīng)當在學生數(shù)學教育的每一個階段都被教授”、“從學前到大學開展數(shù)學建模是可行的”等觀點[1].但是在目前各學段的數(shù)學教育中，現(xiàn)實情境通常以應(yīng)用題的形式作為練習讓學生鞏固所學數(shù)學知識[2]，數(shù)學建模課程缺乏有效的組織形式和系統(tǒng)的教學資源，建模內(nèi)容間也缺乏必要的聯(lián)系.

美國國家研究理事會(National Research Council，簡稱NRC)在研究中發(fā)現(xiàn)大多數(shù)課程內(nèi)容的主題間缺乏連貫性和系統(tǒng)性，課程設(shè)計忽視了學生對同一主題的理解不斷提升和深化的過程，而重復(fù)、淺顯、間斷地學習某一主題會阻礙學生知識基礎(chǔ)的夯實[3].為此，NRC提出學習進階(Learning Progressions)(1)Learning Progressions與Learning Trajectories本質(zhì)上具有一致性，因而在此可不做區(qū)分(參閱文獻[4]和[5]).有關(guān)概念，將其定義為“在一個較大時間跨度內(nèi)(例如6至8年間)，學生對某一主題的思考和認識不斷豐富、精致和深入的一種過程”，旨在揭示學生在相當長時間內(nèi)學習和研究某一主題思考、理解和實踐活動的認知發(fā)展：由淺入深、從簡單到復(fù)雜、從零散到全面、從低水平到高水平[5].學習進階為數(shù)學建模系統(tǒng)、一致、連貫地貫穿于不同學段數(shù)學課程和有效銜接相鄰學段間數(shù)學建模教學提供了科學方法.

在大、中、小學的數(shù)學課程內(nèi)容中，常常出現(xiàn)一類關(guān)于如何將給定資源(如經(jīng)濟資源、權(quán)力資源等)按一定的方案、要素或準則(如按比例要素等)分配給若干對象的問題.例如，在小學階段，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》明確要求學生“在實際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡單的問題”[6]；在初中階段，用方程組解應(yīng)用題中就有不少分配問題；在普通高中階段，分配問題會與古典概型有關(guān)內(nèi)容相聯(lián)系；大學本科階段，席位分配問題往往是各類數(shù)學建模課程的重點內(nèi)容.

在數(shù)學史上，分配問題自公元1世紀就引發(fā)了數(shù)學家的關(guān)注，并在此后的眾多實際運用中經(jīng)歷了發(fā)展、完善和優(yōu)化的過程.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的衰分術(shù)詳細記載了古代農(nóng)業(yè)、征役、行商中的按比例分配問題[7].17世紀，帕斯卡(B. Pascal, 1623—1662)與費馬(P. Fermat, 1601—1665)通信討論賭金分配的“點數(shù)問題”標志了概率論的誕生[8].1880年，美國眾議院的席位分配悖論產(chǎn)生后，亨廷頓(S. P. Huntington, 1927—2008)等數(shù)學家更是一度尋求新的分配方法和模型[9].

荷蘭學者Bakker認為，歷史現(xiàn)象學可以為建立和發(fā)展假設(shè)的學習進階(Hypothetical Learning Trajectories)理論提供準備[10].有鑒于此，我們希望以分配問題發(fā)展史為依據(jù)和參考建立假設(shè)的學習進階，使數(shù)學建模教學能圍繞主線、不斷深入，貫穿在小學至大學的課程中，與學生的認知發(fā)展齊頭并進.同時，教學設(shè)計從HPM視角切入，引導學生經(jīng)歷分配問題逐漸復(fù)雜、數(shù)學模型逐漸完善的過程，既感受數(shù)學的歷史，感悟數(shù)學的文化，又加深對模型本質(zhì)、建模過程的認識和理解.

2 教學設(shè)計

2.1 小學階段分配問題的教學設(shè)計

2.1.1問題引入

例1早在公元1世紀，我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中就記載了大量農(nóng)業(yè)、征役、行商中的按比例分配問題，古人稱比例為“衰”，按比例分配為“衰分”.其中，有這樣一道關(guān)于分派徭役的問題：“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八，西鄉(xiāng)算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)徭三百七十八人，欲以算術(shù)多少衰出之.問各幾何？”

2.1.2方法歸納

教師進而向?qū)W生解釋：事實上，這就是一個簡單的數(shù)學模型，可以把數(shù)學模型理解為數(shù)字、字母或其他數(shù)學符號組成的，描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學公式、圖形或算法.

2.1.3思維拓展

教師展示《九章算術(shù)》中的問題答案：“北鄉(xiāng)遣一百三十五人、一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七；西鄉(xiāng)遣一百一十二人、一萬二千一百七十五分人之四千四；南鄉(xiāng)遣一百二十九人、一萬二千一百七十五分人之八千七百九.”并向?qū)W生提出以下思考拓展問題：

思考題1：《九章算術(shù)》的問題答案在數(shù)學上沒有任何問題，但是否符合實際？

思考題2：能否猜想古人實際會如何分派徭役？

思考題3：如果按照思考題2中你猜想的方法分派徭役，是否會對北鄉(xiāng)、西鄉(xiāng)或南鄉(xiāng)造成不公平？三鄉(xiāng)在理論上會因此分別多征派或少征派多少徭役人數(shù)？

在學生思考回答后，教師更進一步說明：由此可見，數(shù)學模型其實還是一種對實際問題的簡單化、理想化表達.

在上述教學設(shè)計中，教師運用了選自《九章算術(shù)》的一段史料，學生對數(shù)學模型開始有了最初步的認識.小學階段，大多數(shù)學生常常將數(shù)學模型理解為對現(xiàn)實問題復(fù)制式的數(shù)學表達，學生解決實際問題停留在直接運用教師幫助他們已經(jīng)建立的數(shù)學模型，但數(shù)學史的運用使得學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型不是現(xiàn)實原原本本的復(fù)制，而是數(shù)學化、理想化的產(chǎn)物，從對數(shù)學模型本質(zhì)認識的層面上說，學習進階的萌芽已經(jīng)出現(xiàn).同時，從思維拓展部分中可以發(fā)現(xiàn)，教與學源于史料，但又不唯史料，教師引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學史料中脫離實際的內(nèi)容，培養(yǎng)他們的批判性思維，為后續(xù)的學習進階打下了認知基礎(chǔ).

2.2 初中階段分配問題的教學設(shè)計

2.2.1新知傳授

教師教授學生運用方程組求解應(yīng)用問題的一般步驟.

2.2.2例題解析

教師引導學生回顧：在6年級，學生曾學習和解決了公元1世紀《九章算術(shù)》中一類簡單的按比例分配問題.繼而指出，現(xiàn)實生活中的許多分配問題，其分配所依據(jù)的比例并不會直接給出，而是需要根據(jù)已知條件間接求得.

例2(改編自《九章算術(shù)》)假設(shè)漆與油的售價之比為3∶4；油與漆可按4∶5的比例和成油漆.現(xiàn)有銀兩正好能購買3斗漆，問：該按什么比例分配銀兩來分別購買漆與油，使購得的漆與油恰可以和成油漆？如果現(xiàn)有銀兩正好能購買n斗漆呢？

再指導學生作答.

隨后，教師再次引導學生回顧6年級時的按比例分配模型，發(fā)現(xiàn)例1的比例關(guān)系式同樣可由方程組得出：對于未知量X,Y,Z，有方程組

這時，教師向?qū)W生說明，兩類看似不同的問題本質(zhì)實際上卻是統(tǒng)一的.

2.2.3課堂總結(jié)

課堂最后，教師指出，從簡單運用已建立的模型到根據(jù)一般步驟自主建立模型，這一階段的學習讓學生對數(shù)學建模有了更進一步的嘗試.再看數(shù)學模型，小學階段，數(shù)學模型曾被認為僅僅是用來解決實際問題的，它只是具有應(yīng)用價值，但如今，教師引導學生發(fā)現(xiàn)，數(shù)學模型還是對現(xiàn)實情境的一種簡潔、清晰的表達，兩道例題中的寥寥幾個等式，卻有數(shù)行文字的內(nèi)涵，這也很好地解釋了人們常說的“數(shù)學是一種語言”.

運用方程組求解應(yīng)用問題是一個簡單的數(shù)學建模過程，在初中數(shù)學課堂，教師往往會教授學生運用方程求解應(yīng)用問題的一般步驟，此時的數(shù)學建模有固定的模式和方法作為參照，但學生開始能夠獨立完成建立模型和求解模型這兩個十分重要的步驟.無論從數(shù)學建模的水平上，還是對數(shù)學模型的理解上，學生都完成了一次學習進階.

2.3 高中階段分配問題的教學設(shè)計

2.3.1問題引入

在學習了概率論的有關(guān)知識后，教師告訴學生其實概率論的起源也與分配問題有關(guān).

例3賭技相當?shù)募?、乙二人各?6金幣，規(guī)定必須要贏p場者才能贏得全部賭金共192金幣，但比賽中途因故終止，且此時甲乙勝局數(shù)為n:m.若你是仲裁者，請問此時應(yīng)如何分配賭金，并說明理由.

教師要求學生根據(jù)小學和初中時期對數(shù)學模型的認識，以小組合作討論的形式，為甲和乙確定一種合理的分配方案，并求得分配結(jié)果.

2.3.2歷史展示

教師告訴學生，本題的背景就是17世紀帕斯卡和費馬通信往來中研究的賭金分配問題.教師指出：在歷史上，數(shù)學家們也對這個問題進行了激烈的討論，許多數(shù)學家都給出了自己的解答.教師向?qū)W生加以展示：

表1 賭金分配問題中的數(shù)學家解答

教師對上述方法依次作出解釋和評價.

2.3.3課堂總結(jié)

最后，教師作適當總結(jié)：與小學和初中所認識的應(yīng)用數(shù)學模型解決實際問題不同，這一次，數(shù)學家們沒有直接得到數(shù)學模型，而是在逐步調(diào)整、修正模型過程中找到了真理.1654年，帕斯卡在他的《論算術(shù)三角形》中給出了正確的賭金分配問題一般公式，才結(jié)束了模型從錯誤到正確的漫長發(fā)展歷程.教師也向?qū)W生強調(diào)：數(shù)學模型其實并不唯一，無論是歷史上費馬、帕斯卡、惠更斯的方法，還是今天部分同學給出的直接計算甲、乙獲勝概率的方法，他們都是有理有據(jù)的正確模型.

高中階段，數(shù)學模型開始走向多元、開放，運用不同數(shù)學方法可以建立不同的模型，模型所聯(lián)系的知識點也不再單一.在對數(shù)學模型的理解上，通過數(shù)學史的融入，教師引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型不是一蹴而就的，而是在數(shù)學家們不斷調(diào)整、修正中逼近真理的.同時，學生開始在沒有模式參照的情況自己探索建模方法，這是建模能力進階過程中的一個重要臺階.

2.4 大學本科階段分配問題的教學設(shè)計

2.4.1回顧歷史背景

教師引導學生回顧：在6年級時，學生曾研究過《九章算術(shù)》中一道關(guān)于分派徭役的按比例分配問題，當時學生曾在教師的引導下將數(shù)學模型理解為對現(xiàn)實情境問題的一種簡單化、理想化表達，知道《九章算術(shù)》給出的分配結(jié)果解答在實際生活中是不可能實現(xiàn)的.但是，數(shù)學模型從實際問題中來，終歸還是要回到實際問題中去，而這樣的分配難題在實際問題中似乎并不可以避免.表2是思考題2的一種常規(guī)解答，即參照慣例，可以把各鄉(xiāng)按比例分配后的徭役名額近似地保留一位小數(shù)，將無法細分的一個徭役名額分派至十分位數(shù)值最大的地區(qū).

表2 按照比例并參照慣例的徭役分派

2.4.2展示歷史上的悖論

教師指出，在歷史上，表2的解法也是漢密爾頓(A. Hamilton, 1755-1804)的想法，被稱為最大剩余法(Greatest Remainders，簡稱GR).事實上，1850年至1900年間，美國國會眾議院席位分配就多次出現(xiàn)了與公元1世紀《九章算術(shù)》中記載的相類似的情形，這種模型也被當時采用.但是，1880年，關(guān)于亞拉巴馬(Alabama)州的席位分配難題將GR法推上了風口浪尖：由于美國總?cè)丝跀?shù)的增加，國會眾議院的總席位數(shù)從1787年的65逐漸增加到1920年的435，但是，亞拉巴馬州卻在該州人口占美國總?cè)丝诒壤唤档偷那闆r下，因眾議院總席位增加分得的席位反而減少，這就是歷史上著名的席位悖論[9].教師用以下表格模擬這種情況.

表3 當總席位數(shù)增加時按照比例并參照慣例的席位分配

教師引導學生發(fā)現(xiàn)，A州的人口比例沒有發(fā)生變化，但當總席位增加1時，其分得的席位數(shù)反而減少了，并指出：這樣不公平的分配人們是難以接受的，更加不公平的問題還有！

表4 當人口數(shù)增加時按照比例并參照慣例的席位分配

教師再次解釋說明，B州的人口數(shù)增加卻比原來少了1席，A州的人口數(shù)未變卻比原來增加了1席！歷史上，GR法的這一重大缺陷稱之為人口悖論[9].

2.4.3新探歷史舊題

教師指出：由此可見，數(shù)學模型不能僅僅憑直覺或感性的認識構(gòu)造，它必須包括嚴謹?shù)臄?shù)學論證，擁有嚴密的數(shù)學結(jié)構(gòu)，數(shù)學模型必須要讓我們看到問題的本質(zhì).席位有可能無法按照人口比例精確分配，就有可能會出現(xiàn)不公平現(xiàn)象，但我們應(yīng)該努力去尋找一種衡量不公平的數(shù)量指標，通過計算和比較數(shù)值大小把不公平度降到最低.在找到問題的突破口后，教師提到，學生曾在6年級思考題3中計算過三鄉(xiāng)在理論上分別多征派或少征派多少徭役人數(shù)，這其實就是一種衡量絕對不公平的指標.學生曾在初中學習了相對和絕對的概念，教師自然而然地引導學生借鑒并建立一種衡量相對不公平的指標.在學生適當討論后，教師介紹亨廷頓除數(shù)法席位分配模型基本構(gòu)想.

2.4.4再現(xiàn)歷史解答

教師指出：高中時期，費馬、帕斯卡、惠更斯等數(shù)學家們都曾給出了賭金分配問題的精彩解答，學生第一次看到了數(shù)學文化的多元、開放與包容.在今天所學習的席位分配模型中，歷史上的許多數(shù)學家同樣曾“心有靈犀”地探尋過亨廷頓除數(shù)和不公平度的衡量指標[11].教師向?qū)W生展示表5.

實際上，早在6年級時，席位分配問題的雛形就已出現(xiàn)，教師曾通過引導學生關(guān)注“《九章算術(shù)》中也有脫離生活實際的內(nèi)容”這一情況，為大學階段激發(fā)學生的認知沖突埋下了伏筆.重新審視席位分配模型，可以發(fā)現(xiàn)其實質(zhì)就是《九章算術(shù)》中按比例分配模型在政治選舉領(lǐng)域優(yōu)化、發(fā)展、完善了的“進化體”，只是這樣的優(yōu)化、發(fā)展、完善過程聯(lián)系了更多的數(shù)學知識，需要有更高的數(shù)學水準、更強的應(yīng)用能力.通過數(shù)學史的回憶、再現(xiàn)和演繹，教師加深了學生對數(shù)學模型本質(zhì)的理解：數(shù)學模型不是單一、靜態(tài)、固定、一成不變、事先預(yù)制好的，而是多元、動態(tài)、開放、靈活多變的，當數(shù)學模型從一個領(lǐng)域轉(zhuǎn)移到另一個領(lǐng)域時，它就必須經(jīng)歷修正、調(diào)整的過程以適應(yīng)新的問題情境.同時，關(guān)于亨廷頓除數(shù)和不公平度的衡量指標建立，數(shù)學史上也再次呈現(xiàn)了“百花齊放”的格局，展現(xiàn)了多元文化的魅力.

3 數(shù)學史與學習進階的融合

縱觀從小學至大學的分配問題教學設(shè)計，數(shù)學史通過復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式融入數(shù)學教學，且教師在不同學段教學中運用的數(shù)學史既有相互照應(yīng)、補充，也有相互抵觸、矛盾，既是為了與學生的認知發(fā)展相匹配，也是為了在創(chuàng)造學生認知沖突的過程中激發(fā)學生主動探索新知的欲望.而在數(shù)學史料和問題的不斷回顧、補充、對比中，學生的認知和元認知水平均能得到促進[12].實際上，數(shù)學史是在整體性重構(gòu)后與學習進階相融合的，如表6所示.

表6 數(shù)學史與學習進階融合的方式

4 數(shù)學史與學習進階融合的價值

在分配問題的教學設(shè)計中，不僅融入數(shù)學史體現(xiàn)了“文化之魅”，而且融合了的數(shù)學史與學習進階還共同體現(xiàn)了“知識之諧”、“方法之美”、“探究之樂”、“能力之助”和“德育之效”.

4.1 文化之魅

當跨越了近20個世紀，來自亞洲、歐洲和美洲不同地域，且與經(jīng)濟生活、社會生活等多個方面相聯(lián)系的分配問題發(fā)展歷史在教學中展現(xiàn)時，學生能充分感受到數(shù)學的“文化之魅”.

4.2 知識之諧

一方面，基于賭金、席位分配問題的歷史相似性或歷史上數(shù)學家們的認知引導學生發(fā)現(xiàn)和解決問題，使得學生理解和學習模型有關(guān)知識的過程變得自然而然、水到渠成；另一方面，基于學習進階的教學是依據(jù)學生的認知和理解而設(shè)計的，各學段的學習有賴于之前學段的知識內(nèi)容，學生也能明白有關(guān)模型或知識不是“降落傘”從天而降，并親身經(jīng)歷了知識不斷補充、發(fā)展、完善的過程，體現(xiàn)了“知識之諧”.

4.3 方法之美

一方面，歷史上眾多數(shù)學家們關(guān)于賭金、席位等分配問題或合理完美、或有待完善的思想與方法，都拓寬了教與學過程中師生的視野，成為了今天數(shù)學建模發(fā)展的寶庫.另一方面，分配問題的數(shù)學模型不斷發(fā)展、完善，并適用于更多全新的領(lǐng)域，其所聯(lián)系的數(shù)學方法也不斷增多.在學習進階中，不僅學生不同學段所學的許多或簡單、或復(fù)雜的思想與方法相互聯(lián)結(jié)在了一起，而且不同數(shù)學分支或領(lǐng)域的方法能有機統(tǒng)一地在分配問題教學中呈現(xiàn)，“方法之美”躍然于課堂之中，更全面、豐富、系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡(luò)和體系也得以被學生深刻理解.

4.4 探究之樂

一方面，探究歷史問題時，學生既能因與歷史上數(shù)學家的解法相似而收獲成功體驗，也能基于歷史主動分析和改進數(shù)學家的錯誤并探索新的合理方法，在數(shù)學活動經(jīng)驗的積累中收獲樂趣.另一方面，在學習進階中，教學始終圍繞分配問題不斷深入，學生經(jīng)歷著從面對復(fù)雜問題到完善解決方案的循環(huán)過程，6年級時思考和解答的不完美更是成為了推動大學問題探究的直接動力.隨著問題情境的不斷發(fā)展，“探究之樂”也因而愈發(fā)濃烈.

4.5 能力之助

一方面，歷史問題有助于提升學生數(shù)學建模等核心素養(yǎng)[13]，數(shù)學史也為數(shù)學建模提供了真實的問題情境，而將真實情境數(shù)學化并檢驗不同模型實用性的數(shù)學建模和數(shù)學應(yīng)用任務(wù)能有效發(fā)展學生一系列不同的數(shù)學能力[14].另一方面，學習進階為循序漸進地引導學生發(fā)展建模能力提供了科學依據(jù).從簡單運用模型，到依固定步驟建立模型，再到獨立自主全過程建模；學生數(shù)學建模能力不是一蹴而就的，基于學習進階的教學也無疑成為“能力之助”.

4.6 德育之效

一方面，歷史上數(shù)學家們鍥而不舍追求真理的精神鼓舞了今天課堂中的學生；另一方面，基于學習進階的教學也促進了學生的道德發(fā)展.早在先秦時期，我國《論語·季氏》就記載了孔子“不患寡而患不均”的政治主張，公平公正一直以來都是倫理道德的核心范疇.從按比例分配到席位分配，學生由依照和執(zhí)行公平分配方案向研究和制定公平分配方案逐漸轉(zhuǎn)變.當面對的現(xiàn)實問題越發(fā)復(fù)雜時，教師幫助學生加深了對于公平實質(zhì)的認識和感悟，潛移默化的“德育之效”也由此達成.