基于ANSYS的極限載荷分析評定方法與結(jié)果討論

左安達(dá)

（惠生工程（中國）有限公司，上海 201210）

基于應(yīng)力分類法和塑性失效準(zhǔn)則的分析設(shè)計(jì)在壓力容器行業(yè)中已得到普遍的認(rèn)可，并解決了很多常規(guī)設(shè)計(jì)無法解決的工程實(shí)際問題。但近些年來，在工程應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)應(yīng)力分類法往往存在或保守或冒進(jìn)的弊端，主要原因在于：應(yīng)力分類法在對彎曲應(yīng)力進(jìn)行劃類時(shí)，無法進(jìn)一步區(qū)分出一次彎曲應(yīng)力和二次彎曲應(yīng)力，如果將其定性為一次應(yīng)力，則會保守地將二次應(yīng)力成分劃為一次應(yīng)力，造成保守的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)尺寸；相反，則會冒進(jìn)地將一次應(yīng)力成分定義為二次應(yīng)力造成不安全或?yàn)?zāi)難性的后果[1-2]。分析設(shè)計(jì)作為一種不斷進(jìn)行技術(shù)更新的設(shè)計(jì)方法，自2002 年以來歐盟EN 13445 標(biāo)準(zhǔn)和美國ASME Ⅷ-2 標(biāo)準(zhǔn)相繼推出了基于彈塑性分析的直接法：極限載荷分析法和彈塑性應(yīng)力分析法。極限載荷分析法在評定準(zhǔn)則和結(jié)果的準(zhǔn)確性方面優(yōu)于應(yīng)力分類法，在工程應(yīng)用的可操作性和效率方面則優(yōu)于彈塑性分析法。但該法也存在先天性缺點(diǎn)：即只適用于一次加載的工況，而無法考慮多次或循環(huán)加載工況下結(jié)構(gòu)安定性的失效模式[3]?；谏鲜鰞?yōu)缺點(diǎn)，極限載荷分析法雖在行業(yè)內(nèi)已逐漸開始得到認(rèn)可并有所應(yīng)用，但更多的則是作為彌補(bǔ)應(yīng)力分類法缺陷的一種輔助驗(yàn)證方法。目前，我國JB 4732 標(biāo)準(zhǔn)修訂版中已征求意見并將正式引進(jìn)極限載荷分析法和彈塑性分析法，同時(shí)規(guī)定了載荷系數(shù)法和塑性垮塌載荷法兩種防止塑性垮塌失效模式的評定方法。隨著新標(biāo)準(zhǔn)的正式實(shí)施以及設(shè)計(jì)人員對塑性分析法理論知識和有限元軟件應(yīng)用技術(shù)的提高，極限載荷分析法勢必會在壓力容器行業(yè)內(nèi)得到更為廣泛的認(rèn)可和工程應(yīng)用[4]。

本文基于極限載荷分析的理論基礎(chǔ)結(jié)合某一實(shí)例模型主要探討其在有限元軟件ANSYS 中的實(shí)現(xiàn)并針對極限載荷值的確定、評定方法進(jìn)行結(jié)果討論，以期為極限載荷分析法在行業(yè)內(nèi)的推廣應(yīng)用提供一定的指導(dǎo)價(jià)值。

1 設(shè)計(jì)條件和有限元模型

1.1 設(shè)計(jì)條件

某高壓設(shè)備球形封頭上開孔接管結(jié)構(gòu)的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)和材料性能參數(shù)分別見表1、表2。

1.2 有限元模型

本計(jì)算模型為球形封頭上開孔接管的局部模型，不需考慮設(shè)備自重、液柱靜壓力、風(fēng)載荷、地震載荷及內(nèi)裝物料重量等其他載荷的作用，僅考慮設(shè)計(jì)壓力作用。因模型幾何、載荷和材料特性等具有對稱性，采用1/2 對稱模型建模，選擇Solid 185 增強(qiáng)應(yīng)變單元并劃分全六面體網(wǎng)格，單元數(shù)量為50 764，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)量為58 653，網(wǎng)格平均質(zhì)量為76.8%，既能保證求解精度又可提高求解速度（如圖1 所示）。

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)Table 1 Design parameters and geometric dimensions

極限載荷分析的本構(gòu)模型一般采用理想彈塑性模型（用于數(shù)值計(jì)算，如有限元法）或理想剛塑性模型（用于解析求解，忽略彈性變形階段，只考慮塑性變形階段，便于簡化偏微分方程），兩種塑性模型均不考慮材料的應(yīng)變硬化特性，在理論上求解得到的極限載荷是相同的。本文有限元法采用ANSYS 內(nèi)置的基于Von-Mises 屈服準(zhǔn)則、關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則和小位移理論的雙線性等向強(qiáng)化（BISO）模型，將切線模量設(shè)置為0 并定義屈服強(qiáng)度為235.8 MPa，以符合極限載荷分析的理論假設(shè)和理想彈塑性的數(shù)值模型[5]（如圖2 所示）。

表2 材料性能參數(shù)Table 2 Characteristic parameters of material

圖1 有限元模型和網(wǎng)格劃分Fig.1 Finite element model and meshing

有限元模型位移和載荷邊界條件：在球形封頭下端面施加環(huán)向和軸向位移約束，殼體和接管對稱面施加對稱約束、內(nèi)表面均施加均布壓力，法向和側(cè)向接管端面均施加相應(yīng)的等效壓力[7]。極限載荷分析載荷施加需采用由零到最大值的逐步遞增的一次加載方式且載荷增量必須恒正，為獲得較為平滑的載荷-位移曲線和更為精確的極限載荷值，需將載荷增量設(shè)置的足夠小并在進(jìn)入塑性階段后進(jìn)一步減?。赏ㄟ^ANSYS 中的載荷增量步和自動時(shí)間步長等技術(shù)來實(shí)現(xiàn)）。另外，所有載荷的施加應(yīng)采用等比例加載的方式[8]（即各種載荷按相同的百分比同時(shí)由零增加到最大值）。

圖2 理想彈塑性數(shù)值模型Fig.2 Ideal elastic-plastic numerical model

2 極限載荷分析評定方法和結(jié)果討論

2.1 載荷系數(shù)法

根據(jù)ASME Ⅷ-2 新標(biāo)準(zhǔn)和JB 4732 標(biāo)準(zhǔn)征求意見稿中關(guān)于載荷工況的規(guī)定，本模型需要按工況1.5 P = 27 MPa（P 為設(shè)計(jì)壓力）的總體準(zhǔn)則進(jìn)行極限載荷分析和評定，以防止結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性垮塌。合格的評定標(biāo)準(zhǔn)是：若載荷加載到27 MPa 時(shí)，有限元計(jì)算能夠收斂則評定通過，相反則不通過[9]。本文為直觀地從應(yīng)力和應(yīng)變的角度比較說明和分析，分別進(jìn)行了4 種載荷工況的計(jì)算（0.5P = 9 MPa、1.0 P = 18 MPa、1.5 P = 27 MPa、2.0 P = 36 MPa）。等效應(yīng)力/應(yīng)變云圖和載荷-位移曲線如圖3 所示。

圖3 等效應(yīng)力/應(yīng)變云圖和載荷-位移曲線Fig.3 Curve of equivalent stress-strain and load-displacement

由圖3a～d 分析可知：當(dāng)施加內(nèi)壓為9 MPa 時(shí)，結(jié)構(gòu)最大等效應(yīng)力出現(xiàn)在法向接管根部內(nèi)表面且值為133.33 MPa，遠(yuǎn)小于材料屈服強(qiáng)度235.8 MPa，等效塑性應(yīng)變?yōu)?，表明結(jié)構(gòu)此時(shí)仍處于彈性變形階段，并未發(fā)生塑性變形。由載荷-位移曲線可明顯看出，曲線斜率未發(fā)生改變，呈線性增長趨勢。當(dāng)內(nèi)壓增大到18 MPa 時(shí)，結(jié)構(gòu)最大等效應(yīng)力值為240.64 MPa，稍大于材料屈服強(qiáng)度，等效塑性應(yīng)變?yōu)?.000 156 92 mm，表明結(jié)構(gòu)此時(shí)已開始進(jìn)入塑性變形階段，且接管根部內(nèi)表面局部微小區(qū)域最先屈服，但塑性變形很小。雖然從載荷-位移曲線中看不出明顯的斜率變化，但實(shí)際上斜率已經(jīng)開始出現(xiàn)變化，只是變化極其微小，近似與彈性階段斜率相同。當(dāng)內(nèi)壓增大到27 MPa 時(shí)，結(jié)構(gòu)最大等效應(yīng)力值為243.89 MPa，等效塑性應(yīng)變?yōu)?.001 617 4 mm，較內(nèi)壓為18 MPa 時(shí)增大了近10 倍，此時(shí)結(jié)構(gòu)塑性變形由接管根部內(nèi)表面已經(jīng)擴(kuò)展到外表面，整個(gè)接管根部較大區(qū)域內(nèi)均已達(dá)到屈服極限并進(jìn)入塑性變形階段，載荷-位移曲線斜率也已明顯出現(xiàn)減小趨勢，球形封頭內(nèi)表面應(yīng)力雖然也比較大，但還未達(dá)到屈服強(qiáng)度，因而并未發(fā)生塑性變形。在內(nèi)壓為18 MPa 和27 MPa時(shí)，最大等效應(yīng)力值均略超過屈服強(qiáng)度235.8 MPa，理論上計(jì)算值是不應(yīng)該超過屈服強(qiáng)度的，原因在于有限元軟件中計(jì)算的應(yīng)力精確值是在高斯積分點(diǎn)上，而云圖中顯示的則是單元節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力值，該值是由高斯積分點(diǎn)上的應(yīng)力值通過插值外推到節(jié)點(diǎn)上的，因而云圖上應(yīng)力值與屈服強(qiáng)度值會有略微差別。當(dāng)內(nèi)壓繼續(xù)增大到36 MPa 時(shí)，結(jié)構(gòu)最大等效應(yīng)力值為252.64 MPa，等效塑性應(yīng)變?yōu)?.903 21 mm，但有限元計(jì)算在經(jīng)過累計(jì)120 次迭代后計(jì)算結(jié)果并不收斂（如圖4）。因而，此時(shí)計(jì)算得到的等效應(yīng)力和應(yīng)變值已不具備任何物理意義，且不具備任何參考價(jià)值（理論上，達(dá)到極限載荷后塑性變形是不可限制的，應(yīng)力和應(yīng)變都是不確定 的）。

圖4 內(nèi)壓為36 MPa 時(shí)有限元計(jì)算收斂曲線Fig.4 Convergence curve by finite element calculated at pressure of 36 MPa

圖3c 有限元計(jì)算結(jié)果表明，在內(nèi)壓加載到1.5P=27 MPa 時(shí)計(jì)算結(jié)果是收斂的，因而按載荷系數(shù)法對極限載荷分析的評定標(biāo)準(zhǔn)是合格的，即該結(jié)構(gòu)不會發(fā)生塑性垮塌?；谟?jì)算結(jié)果理論分析認(rèn)為：雖然此時(shí)整個(gè)接管根部均已達(dá)到屈服強(qiáng)度進(jìn)入塑性變形階段，但塑性變形仍較小，不足以使接管根部形成塑性鉸，故該結(jié)構(gòu)仍具備一定的承載能力而不會發(fā)生塑性垮塌。

2.2 塑性垮塌載荷法

塑性垮塌載荷法是基于ASME Ⅷ-2 新標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于極限載荷分析的定義而確定的：極限載荷是導(dǎo)致總體結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的載荷，表現(xiàn)為對小的載荷增量不能求得平衡解（即解不收斂），前文已指出在進(jìn)入塑性階段的有限元計(jì)算過程中載荷增量需逐步減小，若載荷增量設(shè)置得過大，則可能會直接導(dǎo)致計(jì)算不收斂，此時(shí)不收斂的原因是因?yàn)閿?shù)值發(fā)散，并非達(dá)到極限載荷值，切勿將數(shù)值發(fā)散誤認(rèn)為已達(dá)到了極限載荷。文獻(xiàn) [8]中介紹了一種判斷是否達(dá)到極限載荷的數(shù)值處理方法，即根據(jù)載荷-位移曲線進(jìn)行判定：若該曲線在趨于水平階段的斜率小于彈性斜率的1/100，則可判定已達(dá)到極限載荷；若該曲線在斜率較大時(shí)不能收斂，則屬于數(shù)值發(fā)散。本模型在計(jì)算內(nèi)壓2.0P = 36 MPa時(shí)設(shè)置分析步為1 步，分析步時(shí)間為1 s，初始載荷增量步為1×10-2s，最小載荷增量步為5×10-3s，根據(jù)上述判定方法并結(jié)合圖3d 的載荷-位移曲線可判定此時(shí)不收斂是因?yàn)檩d荷值已超過極限載荷導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性垮塌而并非數(shù)值發(fā)散，且計(jì)算結(jié)果表明在載荷增量步時(shí)間為0.822 5 s 時(shí)有限元計(jì)算結(jié)果收斂，但達(dá)到0.827 5 s 時(shí)計(jì)算已不收斂（即發(fā)生塑性垮塌），因而可初步判定在上述載荷增量步設(shè)置條件的計(jì)算精度下極限載荷值介于0.822 5 ～ 0.827 5 s 之間所施加的載荷值（29.61 ～29.79 MPa）。但載荷增量步設(shè)置的不同對計(jì)算收斂精度有一定的影響，為進(jìn)一步確定極限載荷值，將初始載荷增量步減小為5×10-3s，最小載荷增量步為2.5×10-3s，有限元計(jì)算在經(jīng)過累計(jì)207 次迭代后不收斂（如圖5 所示），此時(shí)計(jì)算結(jié)果表明極限載荷值大致介于0.823 75 ～ 0.826 25 s 之間所施加的載荷值（29.655 ～29.745 MPa），結(jié)合兩個(gè)區(qū)間范圍值，取二者共有的最大值29.745 MPa 確定為極限載荷值。

圖5 減小載荷增量步后的有限元計(jì)算收斂曲線Fig.5 Convergence curve by finite element calculated after the reduced load increment

圖6 內(nèi)壓為29.745 MPa 等效應(yīng)力/應(yīng)變云圖和收斂曲線Fig.6 Equivalent stress-strain and convergence curve at pressure of 29.745 MPa

為進(jìn)一步驗(yàn)證，內(nèi)壓為29.745 MPa 有限元計(jì)算結(jié)果顯示（如圖6 所示）：在內(nèi)壓為29.745 MPa 時(shí)經(jīng)過236 次迭代有限元計(jì)算結(jié)果收斂，最大等效應(yīng)力值為243.65 MPa，最大等效塑性應(yīng)變?yōu)?.138 54 mm，較內(nèi)壓為27 MPa 時(shí)增大了約85 倍，且已從接管根部內(nèi)表面轉(zhuǎn)移到外表面，充分表明整個(gè)接管根部已完全屈服并形成一個(gè)塑性鉸，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性垮塌（如圖6 放大倍數(shù)后的應(yīng)變圖）。同時(shí)也表明取此值作為極限載荷值是合適的，但此值也并非十分精確的極限載荷值點(diǎn)，真正的極限載荷值可能仍大于29.745 MPa，只是可判斷出誤差已經(jīng)極小了。綜合上述分析也不難發(fā)現(xiàn)，通過有限元數(shù)值算法只能判定極限載荷值所在的大致區(qū)間，可通過多次減小載荷增量步時(shí)間（即增加載荷增量步數(shù)）來進(jìn)一步縮小極限載荷值所在的區(qū)間范圍，得到更為精確的極限載荷值，進(jìn)一步縮小誤差，只能一步步逼近精確值，而無法十分精確地得出確切的極限載荷值點(diǎn)。但是，減小載荷增量步時(shí)間所帶來的一個(gè)問題是導(dǎo)致求解時(shí)間會大大增加，因而在工程應(yīng)用中需在求解精度和計(jì)算效率上做適當(dāng)平衡?；诒疚挠?jì)算結(jié)果，將此結(jié)構(gòu)的極限載荷值確定為29.745 MPa 是偏保守的，且可判斷誤差已極小，完全滿足工程精度要求。

2.3 兩倍彈性斜率法

兩倍彈性斜率法是ASME Ⅷ-2 老版本標(biāo)準(zhǔn)中確定極限載荷的方法，該法以載荷-位移曲線原點(diǎn)為起始點(diǎn)，作出彈性階段的彈性斜率直線，然后作另一條直線滿足其斜率等于兩倍的彈性斜率，該直線與載荷-位移曲線的交點(diǎn)投射到縱坐標(biāo)上的載荷值即為極限載荷值[10]（如圖7 所示）。

圖7 兩倍彈性斜率法確定極限載荷值Fig.7 Limit load value confirmed by double elastic slope method

由圖7 可知：本模型基于減小載荷增量步后較為精確的載荷-位移曲線并采用兩倍彈性斜率法確定的極限載荷值約為28.951 MPa，此方法是一種人為的規(guī)定且受人為因素影響較大，所確定的極限載荷值分散性和誤差可能會比較大，是真實(shí)極限載荷一個(gè)保守程度較大的下限近似值。

2.4 雙切線相交法

雙切線相交法是歐盟標(biāo)準(zhǔn)EN 13445 中確定極限載荷的方法，該法同樣基于載荷-位移曲線，分別作出彈性階段和塑性階段的切線，兩切線相交點(diǎn)投射到縱坐標(biāo)上的載荷值即為極限載荷值[11]，如圖8 所示。

由圖8 可知：本模型基于減小載荷增量步后較為精確的載荷-位移曲線并采用雙切線相交法確定的極限載荷值約為29.372 MPa，此方法完全由曲線本身決定，相較于兩倍彈性斜率法受人為因素影響較小，但問題在于塑性階段切線斜率不易定準(zhǔn)（彈性階段較為精確），稍有變化便會影響到極限載荷值，同樣精度難以保證。

2.5 零曲率法

零曲率法最先由我國清華大學(xué)提出，但并未列于我國相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)中，該法同樣基于載荷-位移曲線并考慮材料硬化效應(yīng)與大變形的影響，提出用載荷-位移曲線的零曲率點(diǎn)來進(jìn)行極限載荷的確定，指出此點(diǎn)是形成塑性鉸并開始顯著塑性變形的特征點(diǎn)，能反映出進(jìn)入顯著塑性變形的現(xiàn)象且與該點(diǎn)處的局部性質(zhì)無關(guān)。

圖8 雙切線相交法確定極限載荷值Fig.8 Limit load value confirmed by double tangent intersection method

由圖9 可知：根據(jù)文獻(xiàn) [12]中關(guān)于零曲率點(diǎn)的定義，本模型基于減小載荷增量步后較為精確的載荷-位移曲線并采用零曲率法確定的極限載荷值約為29.456 MPa，此方法同樣由曲線本身決定且受人為因素影響較小，相較于兩倍彈性斜率法和雙切線相交法更具有優(yōu)越性。

圖9 零曲率法確定極限載荷值Fig.9 Limit load value confirmed by zero curvature method

2.6 評定方法的比較和討論

基于本模型對極限載荷有限元分析進(jìn)行極限載荷值確認(rèn)和評定方法的論述可知，各種方法均有其理論基礎(chǔ)、評定準(zhǔn)則以及優(yōu)缺點(diǎn)，將其匯總進(jìn)行對比討論，如表3 所示。

表3 極限載荷分析評定方法對比討論Table 3 Comparative discussion on the different method of limit load analysis

3 結(jié)論

本文基于某一工程實(shí)例局部模型，探討了極限載荷分析在有限元軟件ANSYS 中的實(shí)現(xiàn)方法，并針對極限載荷值的確定和評定方法進(jìn)行了對比和討論，最終得出結(jié)論如下[10]：

（1）載荷系數(shù)法不需要確定極限載荷值，乘以載荷系數(shù)后有限元計(jì)算結(jié)果收斂即為合格，在工程應(yīng)用中最易于操作和實(shí)現(xiàn)，其余四種方法均需首先確定極限載荷值，然后除以1.5 倍的安全系數(shù)確定許用載荷，設(shè)計(jì)載荷小于等于許用載荷則評定合格。

（2）基于極限載荷定義的塑性垮塌載荷法需直接確定極限載荷值，兩倍彈性斜率法、雙切線相交法和零曲率法則基于載荷-位移曲線。因而需通過有限元軟件進(jìn)行較為精確的計(jì)算，并可直觀地通過計(jì)算得到的應(yīng)力、應(yīng)變云圖和載荷-位移曲線對極限載荷進(jìn)行判斷和確定。

（3）有限元非線性計(jì)算中，載荷增量步的設(shè)置至關(guān)重要，若載荷增量步設(shè)置得過大，則計(jì)算收斂精確很低甚至?xí)?shù)值發(fā)散導(dǎo)致不收斂；若設(shè)置得過小，則計(jì)算時(shí)間大大增加。本模型中設(shè)置了不同的載荷步求解得到兩個(gè)極限載荷區(qū)間，取兩區(qū)間內(nèi)共有值作為極限載荷值，精度可以得到一定的保證，若想確定更為精確的載荷值，則需減小載荷增量步，縮小誤差步步逼近精確值，但要耗費(fèi)很大的計(jì)算成本。工程應(yīng)用中，需平衡求解精度和計(jì)算效率，控制誤差在工程許可范圍內(nèi)即可。

（4）在極限載荷值確定精度方面，塑性垮塌載荷法精確度可達(dá)到最高，零曲率法次之，雙切線相交法受塑性階段切線不易定準(zhǔn)的影響在可接受范圍內(nèi)，兩倍彈性斜率法易受人為因素影響，精度最差而最為保守。

（5）極限載荷分析在評定準(zhǔn)則方面的優(yōu)越性，彌補(bǔ)了應(yīng)力分類法無法區(qū)分一次彎曲彎曲應(yīng)力的缺陷，可代替應(yīng)力分類法中一次應(yīng)力極限的校核（即Pm≤Sm，PL≤1.5Sm和PL+Pb≤1.5Sm三 個(gè) 評定準(zhǔn)則），但不能替代一次+二次應(yīng)力的校核（即PL+Q ≤3Sm），因?yàn)闃O限載荷分析只考慮一次加載的方式，而無法考慮循環(huán)加載的安定性失效模式。

（6）隨著JB 4732 新標(biāo)準(zhǔn)的修訂和正式實(shí)施，極限載荷分析的操作和評定方法將在國內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范內(nèi)有據(jù)可循，載荷系數(shù)法和塑性垮塌載荷法在行業(yè)內(nèi)必定得到進(jìn)一步的認(rèn)可和新一輪的廣泛應(yīng)用，但同時(shí)對分析設(shè)計(jì)工程師的理論知識、標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范的應(yīng)用和軟件操作水平方面提出了更高的要求。