地震作用下大型渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析

張威，王博，徐建國，黃亮

(1.河南財經(jīng)政法大學(xué) 工程管理與房地產(chǎn)學(xué)院，鄭州 450046；2.鄭州大學(xué) a.水利科學(xué)與工程學(xué)院；b.土木工程學(xué)院，鄭州 450001)

渡槽結(jié)構(gòu)具有排洪、導(dǎo)流和跨流域調(diào)水等多種功能，是重要的輸水建筑物，渡槽結(jié)構(gòu)的正常服役與抗洪排澇、農(nóng)業(yè)灌溉和居民的日常飲水等休戚相關(guān)[1-2]。渡槽槽身之間的伸縮縫，一般采用橡膠類等強(qiáng)度較弱的止水材料連接。然而，不少渡槽結(jié)構(gòu)處于地震高烈度區(qū)，在強(qiáng)烈地震作用下，渡槽槽身節(jié)段間極易發(fā)生錯動，使止水拉裂[3]，引發(fā)槽內(nèi)水體大面積泄漏，甚至全線輸水中斷。不僅如此，泄漏水體沖刷槽墩底部，迫使基底土壤處于飽和狀態(tài)，也會引發(fā)渡槽結(jié)構(gòu)二次破壞乃至局部或整體坍陷；在北方寒冷地域，還可能引起槽墩和樁基等的凍脹破壞[4]。因此，深入研究伸縮縫止水在地震作用下的動力響應(yīng)及其對渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性和服役安全的影響具有重要意義。

在渡槽結(jié)構(gòu)設(shè)計中，一般直接依據(jù)設(shè)計規(guī)程[5]給定渡槽槽身節(jié)段之間伸縮縫的寬度及其變化限值，這種處理忽略了混凝土材料自身的變異性對結(jié)構(gòu)抗震性能產(chǎn)生的影響。事實(shí)上，在施工工序、工藝和環(huán)境溫度等綜合因素的影響下，混凝土結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能存在較大差異。周浩[6]研究發(fā)現(xiàn)，混凝土彈性模量10%的初始變異性可能導(dǎo)致懸臂梁結(jié)構(gòu)的靜力撓度變異性高達(dá)18%～55%左右。考慮混凝土材料隨機(jī)性因素的影響，混凝土結(jié)構(gòu)在確定性強(qiáng)烈地震作用下會產(chǎn)生截然不同的倒塌破壞模式[7]，其在強(qiáng)烈地震動激勵下發(fā)生動力響應(yīng)的變異性也很可能會更加顯著。另一方面，混凝土自身表現(xiàn)出高度復(fù)雜的非線性力學(xué)行為，經(jīng)典的彈性、彈塑性力學(xué)均難以客觀全面地反映混凝土的基本力學(xué)性能[8]。在渡槽結(jié)構(gòu)抗震分析時充分考慮混凝土材料的隨機(jī)性與非線性特征，對開展渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性研究具有重要的意義。因此，筆者采用混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)模型[9]綜合反映渡槽結(jié)構(gòu)混凝土材料內(nèi)秉的隨機(jī)性與非線性力學(xué)行為。在渡槽結(jié)構(gòu)抗震可靠性分析方面，較為廣泛的是采用經(jīng)典隨機(jī)模擬方法[1, 10-13]，然而，計算效率問題限制了這一方法在渡槽結(jié)構(gòu)動力可靠性分析中的應(yīng)用[14]。近年來，李杰等[15]提出的概率密度演化方法為解決復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性分析提供了新的可行路徑。與隨機(jī)模擬方法相比，概率密度演化方法從根本上解決了可靠性分析中隨機(jī)性與非線性耦合帶來的困難，并已成功應(yīng)用于上海中心大廈、上海浦東廣電中心等超高層建筑結(jié)構(gòu)的抗震可靠性評估[16]。筆者將援引概率密度演化理論進(jìn)行渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能可靠性分析。

為了研究渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性與渡槽結(jié)構(gòu)止水布置之間的關(guān)系，以某大型渡槽結(jié)構(gòu)為例，基于隨機(jī)損傷力學(xué)建立反映混凝土力學(xué)性能隨機(jī)性和非線性的耦聯(lián)模型，并結(jié)合概率密度演化方法[17-18]，建立了大型渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析方法，探究了渡槽結(jié)構(gòu)止水橫向錯動位移對渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性的影響，提出了設(shè)計建議。

1 渡槽結(jié)構(gòu)模型

1.1 渡槽有限元分析模型

南水北調(diào)中線工程某大型鋼筋混凝土渡槽結(jié)構(gòu)[14]如圖1所示，基于OpenSEES建立其有限元分析模型，如圖2所示。在建模中，考慮箍筋約束對混凝土力學(xué)行為的影響，約束區(qū)混凝土強(qiáng)度和延性的提升可通過約束圍壓求得[19]，同時考慮鋼筋材料的Bauschinger效應(yīng)。由于墩系、槽身等構(gòu)件是在不同工序施工下完成的，因此，應(yīng)考慮各構(gòu)件混凝土材料力學(xué)性質(zhì)的隨機(jī)性。渡槽結(jié)構(gòu)力學(xué)性能參數(shù)(基本隨機(jī)變量)包括：混凝土抗壓強(qiáng)度fc,r1(C50)、fc,r2(C30)、fc,r3(C30)和結(jié)構(gòu)阻尼比ζ共計4個隨機(jī)變量，各變量取值及物理意義見表1。

圖1 渡槽結(jié)構(gòu)立面簡圖Fig.1 Schematic of the aqueduct structure

圖2 渡槽有限元模型Fig.2 Finite element model of the aqueduct

表1 渡槽結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量Table 1 Random variables of aqueduct structure

為了研究渡槽結(jié)構(gòu)止水在抗震設(shè)防烈度8度地震作用下的響應(yīng)規(guī)律，擬采用與該渡槽所在場地類型接近的二類場地下的Chi Chi地震波，并將地震動的加速度幅值調(diào)至0.2g，沿橫槽向施加一致激勵。地震動加速度調(diào)幅后的加速度時程和相應(yīng)的反應(yīng)譜分別如圖3和圖4所示。渡槽結(jié)構(gòu)槽墩排架底部與地基固結(jié)，盆式橡膠支座設(shè)置于兩墩頂。為了提高渡槽結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的精度和效率，采用開源OpenSEES平臺[20-21]，基于纖維梁單元建立渡槽結(jié)構(gòu)的有限元模型。槽內(nèi)設(shè)計水深2.21 m，采用附加質(zhì)量法[22]將水體固結(jié)于槽身考慮水體對渡槽結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響。

圖3 Chi Chi地震加速度時程曲線(0.2g)Fig.3 Chi Chi earthquake time history curve (0.2g)

1.2 渡槽結(jié)構(gòu)伸縮縫及有限元建模

渡槽結(jié)構(gòu)采用壓板式止水模式[23-24]，設(shè)計伸縮縫的寬度為40 mm。在承受0.06 MPa水壓力以及張開40 mm、橫向錯動40～60 mm、豎向位移40 mm三向位移聯(lián)合作用下具有穩(wěn)定可靠的止水效果，能滿足渡槽結(jié)構(gòu)正常運(yùn)行要求。如圖5所示，止水帶厚7 mm，U形鼻子半圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為8、15 mm，鼻高50 mm，使變形環(huán)節(jié)的展開長度不小于接縫三向位移的矢徑，達(dá)到可吸收接縫位移而不會在止水帶中產(chǎn)生較大應(yīng)力的目的。止水帶表面還布置了勒筋和燕尾，以提高抗繞滲能力并達(dá)到固定效果。止水帶與底部混凝土間采用GB膠板粘接。

圖4 Chi Chi地震動加速度反應(yīng)譜(0.2g)Fig.4 Chi Chi earthquake acceleration response spectrum (0.2g)

圖5 橡膠止水示意圖(單位：mm)Fig.5 Sketch of the rubber water stop (unit: mm)

橡膠止水材料彈性模量為6.1 MPa，泊松比為0.49，密度為1×103kg/m3。在有限元分析模型中，采用零長單元來模擬橡膠止帶，三向剛度均取值為6.1 MPa。

1.3 混凝土隨機(jī)損傷本構(gòu)關(guān)系模型

已有研究表明，混凝土隨機(jī)損傷本構(gòu)模型可基本全面地反映混凝土材料的典型非線性和隨機(jī)特性[9]?；诖?，選用該模型模擬渡槽結(jié)構(gòu)中混凝土，以期探究考慮混凝土材料隨機(jī)性影響下渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性規(guī)律。不失一般性，可將混凝土任一代表性體積元抽象為如圖6所示的并聯(lián)微彈簧系統(tǒng)[9]，且單根微彈簧服從理想彈脆性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，通過考察細(xì)觀微彈簧的隨機(jī)斷裂，進(jìn)而可得混凝土材料的隨機(jī)損傷演化規(guī)律。

通過微彈簧的隨機(jī)斷裂可將損傷表示為

(1)

式中：Af為斷裂的面積；A0為初始總面積；n表示在當(dāng)前荷載作用下斷裂的彈簧根數(shù)；N為彈簧總數(shù)；Δi為第i根彈簧的斷裂應(yīng)變；H(·)表示Heaviside函數(shù)；ε為應(yīng)變量。

圖6 細(xì)觀隨機(jī)斷裂模型Fig.6 Microscale random fracture model

令彈簧總數(shù)趨于無窮，損傷變量可按隨機(jī)積分形式表述為

(2)

式中：D為混凝土損傷因子；Δ(x)為一維斷裂應(yīng)變隨機(jī)場；x為空間坐標(biāo)。

基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論[9, 16]，混凝土材料的一維損傷本構(gòu)關(guān)系可表達(dá)為

σ=(1-D)·E0·(ε-εp)

(3)

式中：σ為混凝土應(yīng)力；E0為混凝土初始彈性模量；εp為混凝土塑性應(yīng)變。

該模型可采用如圖7所示的曲線表達(dá)在一維反復(fù)加、卸載條件下混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變力學(xué)行為。

圖7 混凝土一維損傷本構(gòu)關(guān)系Fig.7 One-dimensional damage constitutive relationship of concrete

對于箍筋約束區(qū)混凝土，可通過修正損傷演化函數(shù)式(2)來反映約束作用對有效彈性應(yīng)變發(fā)展和損傷演化的減緩效應(yīng)，即約束混凝土的損傷演化函數(shù)表示為[16]

(4)

式中：γ為減緩系數(shù)[9]。

為了兼顧大型渡槽結(jié)構(gòu)隨機(jī)結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的精度和效率，采用纖維梁單元模擬渡槽結(jié)構(gòu)各部件，進(jìn)而建立其整體有限元分析模型。

2 渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析方法

2.1 渡槽隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析的概率密度演化方法

考慮結(jié)構(gòu)自身特性和外部激勵的隨機(jī)性[18]，可將渡槽結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程廣義表達(dá)為

(5)

設(shè)X=(X1,X2,…,Xm)T為渡槽結(jié)構(gòu)中感興趣的響應(yīng)量，則依據(jù)概率守恒原理，渡槽結(jié)構(gòu)隨機(jī)動力響應(yīng)的概率密度滿足偏微分方程[17-18]

(6)

式(6)的初始條件為

pXΨ(x,ψ,t)|t=0=δ(x-x0)pΨ(ψ)

(7)

式中：x0為x的初始值，δ(·)為Dirac delta函數(shù)。

式(6)即為廣義概率密度演化方程，揭示了渡槽結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率信息隨時間的演化規(guī)律。通過求解式(5)～式(7)，可獲得渡槽結(jié)構(gòu)響應(yīng)量的概率密度函數(shù)

(8)

進(jìn)而得到給定閾值下Xlim的渡槽結(jié)構(gòu)時變可靠度

(9)

2.2 與蒙特卡洛模擬方法的比較研究

為了驗(yàn)證概率密度演化方法在渡槽結(jié)構(gòu)可靠性分析中的適用性，分別采用蒙特卡洛模擬和概率密度演化方法計算渡槽結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動力響應(yīng)，并進(jìn)行對比研究。采用GF偏差選點(diǎn)方法[25]，優(yōu)化選取200個離散代表性樣本點(diǎn)集開展基于概率密度演化方法的隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析，并進(jìn)行10 000次蒙特卡洛模擬，分別獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)的統(tǒng)計矩信息。

對于蒙特卡洛模擬，前k階響應(yīng)統(tǒng)計矩可按式(10)、式(11)計算。

(10)

(11)

(12)

(13)

式中:NPDEM為基于概率密度方法選點(diǎn)的代表點(diǎn)個數(shù)，k=2,3,4,…。

分析中取NMCS=10 000；NPDEM=200，Pi為第i個代表點(diǎn)對應(yīng)的賦得概率，可由Voronoi定義計算求得[25]。需要指出的是，在概率密度演化方法中，代表點(diǎn)通過數(shù)學(xué)理論上的論證與優(yōu)化，使得僅采用少量“優(yōu)質(zhì)”的代表性點(diǎn)便能獲得足夠精確的隨機(jī)響應(yīng)，并極大地提高了計算的效率。這與傳統(tǒng)的蒙特卡洛方法采用大量非優(yōu)化的隨機(jī)樣本點(diǎn)思路不同。

依據(jù)止水相對位移的前4階統(tǒng)計矩，對比圖8、圖9(圖中MCS代表蒙特卡洛方法，PDEM代表概率密度演化方法，下同)可知，概率密度演化方法計算結(jié)果具有與蒙特卡洛方法相同的高精度特性。概率密度演化方法僅需要200次確定性分析，而傳統(tǒng)的蒙特卡洛模擬卻需要數(shù)千上萬次的分析成本(如文中采用的10 000次)?？梢?，概率密度演化方法在精度滿足要求的情況下，計算效率上具有顯著的優(yōu)勢。

圖8 第1階、2階矩對比圖Fig.8 Comparison of the first and second order moments

為了深入分析渡槽結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的更多概率信息，圖10給出了基于概率密度演化方法的截口概率密度函數(shù)與基于蒙特卡洛方法的截口響應(yīng)直方圖對比，圖11給出了不同時刻下的概率分布函數(shù)(圖中3條實(shí)線為基于概率密度演化方法的計算結(jié)果)和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)(圖中三角、矩形和圓形標(biāo)識為基于蒙特卡洛方法的計算結(jié)果)。

圖9 第3階、4階矩對比圖Fig.9 Comparison of the first and second order moments

圖10 截口概率密度函數(shù)與截口響應(yīng)直方圖對比Fig.10 Comparison of intercept probability density function and intercept response histogram

圖11 概率分布函數(shù)和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖對比Fig.11 Comparison of probability distribution function and empirical distribution function

圖10和圖11所示的概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)均為求解廣義概率密度演化方程所得，而基于蒙特卡洛方法的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)則由式(14)計算所得。

(14)

式中：I{·}為示性函數(shù)。由于基于蒙特卡洛方法的計算結(jié)果受帶寬影響，因此，圖10中直方圖不能用于反映結(jié)構(gòu)響應(yīng)的密度演化信息；而基于概率密度演化方法，通過對概率密度演化方程的求解，可以獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的截口概率密度函數(shù)(如圖11所示)，這也就自然解決了傳統(tǒng)的基于矩方法導(dǎo)致概率信息不封閉的問題。

2.3 渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析流程

采用GF偏差選點(diǎn)方法[25]選取若干渡槽隨機(jī)結(jié)構(gòu)樣本，并計算相應(yīng)的賦得概率。以此為基礎(chǔ)，采用某實(shí)際地震波對渡槽結(jié)構(gòu)進(jìn)行橫槽向地震動激勵，得到一組確定性地震響應(yīng)分析結(jié)果。利用概率密度演化方法對渡槽結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可獲取渡槽結(jié)構(gòu)止水處響應(yīng)量的概率密度演化信息。通過與吸收邊界條件相結(jié)合，可開展渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能可靠性分析。渡槽結(jié)構(gòu)隨機(jī)動力響應(yīng)分析與可靠性求解流程如圖12所示。

圖12 隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析與可靠性評估流程Fig.12 Flow chart of stochastic structural analysis and reliability assessment

3 渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性

在渡槽輸水過程中，相鄰槽身之間結(jié)構(gòu)止水的橫向錯動是造成渡槽止水處漏水的主要因素?；诖耍攸c(diǎn)分析在地震作用下渡槽結(jié)構(gòu)“相鄰槽身之間止水橫向錯動(Dr)”的響應(yīng)規(guī)律，建立Dr與渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性之間的關(guān)聯(lián)機(jī)制。

全部隨機(jī)結(jié)構(gòu)樣本Dr的時程曲線如圖13所示。由圖13可知，結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨著損傷演化和非線性程度的發(fā)展產(chǎn)生了一定的隨機(jī)漲落。這一漲落效應(yīng)在渡槽結(jié)構(gòu)處于初始彈性階段或弱非線性狀態(tài)(約前10 s)表現(xiàn)得并不明顯；然而，隨著地震動激勵引起的渡槽結(jié)構(gòu)損傷累積，渡槽結(jié)構(gòu)的非線性程度加劇，對隨機(jī)性的擾動變得愈加敏感，并隨著激勵的變化產(chǎn)生顯著的漲落效應(yīng)(約10～40 s之間)。由圖13還可發(fā)現(xiàn)，有少部分樣本結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)超越了40～60 mm的臨界值。顯然，在渡槽結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計中，忽略混凝土材料力學(xué)性質(zhì)隨機(jī)性的影響有可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)抗震分析與設(shè)計的不合理，對渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能安全帶來風(fēng)險。

圖13 Chi Chi地震作用下全部樣本Dr的時程曲線Fig.13 Time history curves of all samples Dr under earthquake action

分別采用兩種不同的有限差分算法，即Lax-Wendroff(L-W)差分格式和總變差減小(Total Variation Diminishing，TVD)差分格式[17, 26]，求解Dr響應(yīng)的概率密度演化方程，獲得了渡槽結(jié)構(gòu)時程響應(yīng)的均值和均方差(StD)曲線，如圖14所示。盡管L-W差分格式具有二階精度，但在結(jié)構(gòu)響應(yīng)概率密度函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)處具有震蕩現(xiàn)象并使得某些情況下的計算失真[27]，因此，該方法僅在驗(yàn)證TVD格式差分精度時使用。圖14中兩種算法結(jié)果吻合一致，說明在采用TVD格式差分算法求解概率密度演化方程中的差分時間步長取值合理。為了提高差分求解的精度，采用無振蕩TVD格式的高階精度差分算法求解概率密度演化方程。

圖14 Dr的均值和均方差曲線Fig.14 Mean and mean square deviation curves of Dr

圖15和圖16分別給出了渡槽槽身節(jié)段一與槽身節(jié)段二之間相對位移響應(yīng)的概率密度隨時間演化的曲面圖和等值線圖。由圖15和圖16可見，渡槽結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)隨時間呈現(xiàn)出隨機(jī)漲落效應(yīng)。這一渡槽結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的豐富概率信息，可用于表達(dá)Dr隨時間的波動規(guī)律，為開展渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析奠定了基礎(chǔ)。

圖17為3個典型時刻的概率密度曲線。顯然，該概率密度函數(shù)形狀不規(guī)則，且分布的寬度和形狀隨時間發(fā)展均發(fā)生不斷變化。這意味著渡槽結(jié)構(gòu)在地震激勵下的動力響應(yīng)是復(fù)雜多變的隨機(jī)損傷演化過程，混凝土材料力學(xué)性能的隨機(jī)性導(dǎo)致了渡槽結(jié)構(gòu)在地震作用下響應(yīng)的隨機(jī)漲落效應(yīng)，并表現(xiàn)在Dr隨時間的變化上。因此，在渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能設(shè)計中需考慮混凝土材料隨機(jī)性的影響，這對開展渡槽結(jié)構(gòu)止水的抗震性能研究大有裨益。

圖15 概率密度曲面Fig.15 Probability density surface

圖16 概率密度等值線Fig.16 Probability density contour

獲得渡槽結(jié)構(gòu)止水動力響應(yīng)的概率密度信息后，施加與失效閾值相應(yīng)的吸收邊界條件，可求得渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能的可靠性指標(biāo)。在0.2g地震激勵下，對渡槽槽身節(jié)段一與節(jié)段二之間相對位移閾值Dr分別取40、45、50、55、60 mm，可計算其在不同閾值下的可靠度，如表2所示。5個閾值下渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能的可靠度曲線如圖18所示，渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能可靠度隨時間呈現(xiàn)階梯式下降的規(guī)律。在5個不同失效閾值下，渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠度迥異，也從側(cè)面說明了失效閾值對輸水功能可靠性的影響較大。

在渡槽結(jié)構(gòu)止水的抗震設(shè)計時，一般取失效閾值為50 mm作為設(shè)計指標(biāo)。上述研究表明，當(dāng)設(shè)定渡槽結(jié)構(gòu)止水失效閾值為50 mm時，在幅值為0.2g的Chi Chi地震波橫槽向激勵下，渡槽結(jié)構(gòu)的輸水功能可靠度為86.93%。

4 結(jié)論

基于混凝土隨機(jī)損傷力學(xué)模型和概率密度演化理論，提出了渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性分析方法。主要研究結(jié)論如下：

1)與經(jīng)典隨機(jī)結(jié)構(gòu)分析方法相比，基于概率密度演化理論的可靠度分析更加高效且精準(zhǔn)，該方法能夠獲得渡槽結(jié)構(gòu)在地震動激勵下的完備概率密度信息。

2)渡槽結(jié)構(gòu)止水相對位移限值是影響渡槽結(jié)構(gòu)輸水功能可靠性的重要因素，尋求提高止水相對位移失效閾值是提高輸水功能可靠性的有效途徑。

3)考慮混凝土材料參數(shù)的隨機(jī)性會使渡槽結(jié)構(gòu)止水在同等地震激勵下的位移響應(yīng)出現(xiàn)顯著變異特性。因此，在渡槽結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計中應(yīng)合理考慮混凝土力學(xué)性質(zhì)隨機(jī)性的影響。