考慮溫度影響的非關(guān)聯(lián)彈塑性飽和黏土本構(gòu)模型

劉紅，陳琴梅，盧黎，肖楊，吳煥然

(1.內(nèi)江師范學(xué)院 建筑工程學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100；2.重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400045)

近年來(lái)，隨著核廢料處理[1]、能量樁[2-3]、高速公路[4]、路堤[5]、擋土墻[6]以及儲(chǔ)熱結(jié)構(gòu)[7]的不斷發(fā)展和廣泛應(yīng)用，溫度對(duì)土體工程性質(zhì)的影響逐漸成為巖土工程界的研究熱點(diǎn)。

Hueckel等[8-9]在臨界狀態(tài)理論框架內(nèi)，首先提出一種考慮熱軟化現(xiàn)象的飽和黏土彈塑性本構(gòu)模型。Cui等[10]在修正劍橋模型的基礎(chǔ)上，提出一種適用于超固結(jié)土的熱力學(xué)模型，該模型能夠考慮溫度和應(yīng)力耦合作用所引起的硬化現(xiàn)象。Hamidi等[11]利用加熱后的壓縮曲線和常溫時(shí)土體的壓縮曲線、臨界狀態(tài)線之間的關(guān)系，結(jié)合臨界狀態(tài)理論，建立一種考慮應(yīng)力歷史的熱力學(xué)本構(gòu)模型。姚仰平等[12]在臨界土力學(xué)框架內(nèi)，提出一種適用于非飽和黏土、能夠考慮溫度和應(yīng)力歷史的本構(gòu)模型。Yao等[13]提出一種能考慮溫度影響、適用于正常固結(jié)和超固結(jié)土體的統(tǒng)一硬化彈塑性本構(gòu)模型，該模型能較好的模擬飽和土體在各向同性或各向異性狀態(tài)下加熱，在排水或不排水條件下剪切的熱力學(xué)性質(zhì)。Wang等[14]通過建立先期固結(jié)應(yīng)力和溫度之間的關(guān)系，提出一種各向異性熱彈塑性本構(gòu)模型。Coccia等[15]通過分析不同溫度作用下的二次壓縮系數(shù)變化規(guī)律，提出一種考慮時(shí)間效應(yīng)的熱力學(xué)模型。

上述模型主要是劍橋或修正劍橋模型基礎(chǔ)上，建立先期固結(jié)應(yīng)力、二次壓縮系數(shù)、超固結(jié)比等參數(shù)與溫度之間的關(guān)系，再結(jié)合臨界狀態(tài)理論，提出考慮時(shí)間效應(yīng)、應(yīng)力歷史、各向異性等適用于飽和土和非飽和土的熱力學(xué)模型。然而，這些模型需要分別考慮溫度和應(yīng)力引起的屈服，模型參數(shù)較多，且求解過程較為繁瑣。筆者在傳統(tǒng)臨界狀態(tài)理論基礎(chǔ)上，建立考慮溫度影響的非關(guān)聯(lián)飽和黏土彈塑性本構(gòu)模型，該模型僅有6個(gè)參數(shù)，且給出具體確定方法，通過試驗(yàn)值與模擬值的對(duì)比分析，驗(yàn)證了該模型的合理性，為能量樁等溫度相關(guān)的實(shí)際工程應(yīng)用提供了非常重要的理論依據(jù)。

1 考慮溫度影響的非關(guān)聯(lián)彈塑性模型

1.1 模型的提出

如圖1所示，正常固結(jié)飽和黏土首先在應(yīng)力作用下進(jìn)行力學(xué)固結(jié)，土體發(fā)生體積壓縮現(xiàn)象(A-B)；然后，應(yīng)力保持不變，在排水條件下進(jìn)行加熱，土體發(fā)生熱固結(jié)現(xiàn)象(B-C)；最后，溫度保持不變，在排水條件下進(jìn)行剪切試驗(yàn)。在整個(gè)固結(jié)試驗(yàn)過程中(A-B-C)，應(yīng)力和溫度都將引起土體發(fā)生屈服，從而產(chǎn)生彈塑性變形。已有的熱力學(xué)模型，主要是力學(xué)固結(jié)(A-B)和熱固結(jié)(B-C)階段提出不同的屈服函數(shù)，然后在臨界狀態(tài)理論框架內(nèi)，建立新的考慮溫度影響的本構(gòu)模型，求解過程通常較為復(fù)雜。從圖1中可以看出，雖然力學(xué)固結(jié)和熱固結(jié)的作用機(jī)理不同，但熱固結(jié)階段(B-C)和常溫時(shí)的力學(xué)固結(jié)階段(B-D)的變形相同。因此，在常規(guī)溫控三軸試驗(yàn)中，土體的熱力學(xué)固結(jié)(A-B-C)過程可以等效為純力學(xué)固結(jié)(A-B-D)過程。

圖1 不同溫度作用下飽和黏土壓縮曲線和回彈曲線Fig.1 Diagram of the compression and swelling curves for saturated clays at different temperatures

1.2 彈性變形

純力學(xué)固結(jié)(A-B-D)階段的彈性變形可用式(1)表示。

(1)

式中：Δee為彈性階段的孔隙比變化量；κ為回彈曲線(DE)的斜率，大小與溫度無(wú)關(guān)；pA為初始應(yīng)力；pB為力學(xué)固結(jié)結(jié)束時(shí)的應(yīng)力；pD為等效應(yīng)力，其對(duì)應(yīng)的體變(或孔隙比)與熱固結(jié)結(jié)束時(shí)的值相同。

對(duì)于應(yīng)力pB和pD的關(guān)系，Laloui等[16]認(rèn)為先期固結(jié)應(yīng)力與溫度呈半對(duì)數(shù)關(guān)系，Moritz[17]認(rèn)為先期固結(jié)應(yīng)力與溫度之間呈指數(shù)關(guān)系，Wang等[14]對(duì)Laloui等[16]和Moritz[17]提出的先期固結(jié)壓力與溫度之間的關(guān)系進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩種關(guān)系實(shí)質(zhì)上是等效的。為了簡(jiǎn)便，筆者采用Moritz[17]提出的關(guān)系式，即

(2)

式中：pcT和pcT0分別為目標(biāo)溫度和初始溫度作用下的先期固結(jié)應(yīng)力；T為目標(biāo)溫度，即土體經(jīng)歷加熱或溫度循環(huán)后所達(dá)到的溫度，主要在5～90 ℃之間。T0為初始溫度，即歸一化處理目標(biāo)溫度T的一個(gè)參考溫度，為一組常規(guī)溫控三軸試驗(yàn)中幾個(gè)目標(biāo)溫度的最小溫度值，通常取試驗(yàn)時(shí)的室內(nèi)溫度。θ為材料參數(shù)，可通過常規(guī)溫控三軸試驗(yàn)求得。

彈性體積變形

(3)

式中：e0為初始孔隙比。

由式(1)～式(3)可得

(4)

對(duì)式(4)求導(dǎo)，可得出彈性體積變形增量為

(5)

式中：p為有效應(yīng)力；dp為有效應(yīng)力增量；dT為溫度增量。

彈性剪切變形增量為

(6)

(7)

式中：dq為偏應(yīng)力增量；G為剪切模量，可由泊松比和體積模量求得；v為泊松比，取0.3，且大小與溫度無(wú)關(guān)。

1.3 塑性變形

純力學(xué)固結(jié)(A-B-D)階段的塑性變形可用式(8)表示。

(8)

將式(2)帶入(8)可得

(9)

塑性體積變形為

(10)

由式(10)可得應(yīng)力pB滿足式(11)。

(11)

根據(jù)傳統(tǒng)的臨界狀態(tài)理論可知，屈服函數(shù)可由式(12)表示。

f=q2+M2p2-Cp=0

(12)

式中：f為屈服函數(shù)；q為偏應(yīng)力；M為臨界狀態(tài)應(yīng)力比；C為材料參數(shù)。

當(dāng)土樣處于固結(jié)階段(力學(xué)固結(jié)或熱固結(jié))，偏應(yīng)力q為0，有效應(yīng)力p=pB。此時(shí)，材料參數(shù)C可表示為

C=M2pB

(13)

將式(13)帶入(12)可得

f=q2+M2p2-M2pBp=0

(14)

(15)

對(duì)式(15)求導(dǎo)，可得

(16)

其中:

(17)

(18)

(19)

(20)

由式(15)～式(20)得出塑性體積應(yīng)變?cè)隽勘磉_(dá)式為

(21)

采用非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，即塑性勢(shì)函數(shù)和屈服函數(shù)不同，但兩函數(shù)之間存在式(22)所示關(guān)系。

(22)

式中：g為塑性勢(shì)函數(shù)；Ha為比例因子。

塑性體積變形和塑性剪切變形之間的關(guān)系式為

(23)

(24)

因此，塑性剪切變形為

(25)

1.4 總變形

(26)

(27)

2 模型參數(shù)分析

在考慮溫度影響的非關(guān)聯(lián)彈塑性本構(gòu)模型中，共有λ、κ、ν、θ、M和Ha等6個(gè)參數(shù)，這些參數(shù)都可以根據(jù)常規(guī)溫控三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到。

2.1 參數(shù)λ、κ

在常規(guī)溫控三軸試驗(yàn)中，參數(shù)λ和κ分別為飽和黏土在不同溫度作用下的壓縮曲線和回彈曲線的斜率。不同溫度作用下，黏土的壓縮曲線和回彈曲線相互平行，其斜率不隨溫度變化。

2.2 指數(shù)θ

由式(2)可知，指數(shù)θ與不同溫度作用下的先期固結(jié)應(yīng)力有關(guān)。對(duì)于先期固結(jié)應(yīng)力的求解，方法多種多樣[18-20]，筆者采用Abuel-Naga等[20]的方法，具體求解過程如圖2所示。首先，將溫度T0(常溫)狀態(tài)下土體壓縮曲線中的拐點(diǎn)(直線段的起點(diǎn))作為常溫狀態(tài)下的先期固結(jié)應(yīng)力pcT0；然后，將回彈曲線平移至該拐點(diǎn)，并將溫度T作用下的壓縮曲線直線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)段與回彈曲線的交點(diǎn)作為加熱后的先期固結(jié)應(yīng)力pcT。

圖2 不同溫度作用下飽和黏土的先期固結(jié)應(yīng)力求解示意圖Fig.2 Determination of the preconsolidation pressure of saturated clays at different temperatures

通過此方法可求出不同溫度作用下的先期固結(jié)應(yīng)力。最后，利用式(28)將求得的先期固結(jié)應(yīng)力比和溫度比在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中進(jìn)行線性擬合，斜率即為參數(shù)θ。

(28)

由圖2可以看出，隨著溫度的增加，先期固結(jié)應(yīng)力逐漸減少，因此，式(15)表示的屈服函數(shù)在p-q-T三維空間中的變化趨勢(shì)如圖3所示。

圖3 不同溫度作用下飽和黏土的屈服函數(shù)示意圖Fig.3 Diagram of the yield function of saturated clays at different temperatures

2.3 臨界狀態(tài)應(yīng)力比M

在常規(guī)三軸試驗(yàn)中，當(dāng)軸向應(yīng)變繼續(xù)增加，偏應(yīng)力和體變不發(fā)生變化，即增量為0，此時(shí)土體在應(yīng)力的作用下達(dá)到臨界狀態(tài)。根據(jù)臨界狀態(tài)理論，可求出不同應(yīng)力和溫度作用下，土體達(dá)到臨界狀態(tài)時(shí)的有效應(yīng)力pcs和偏應(yīng)力qcs，然后將一系列pcs、qcs在p-q平面內(nèi)進(jìn)行線性擬合，該直線的斜率便為臨界狀態(tài)應(yīng)力比M，如圖4所示。

圖4 不同溫度作用下飽和黏土的臨界狀態(tài)應(yīng)力比示意圖Fig.4 Diagram of the stress ratio of saturated clays in critical state at different temperatures

2.4 比例因子Ha

首先假定比例因子Ha為1，此時(shí)塑性勢(shì)函數(shù)和屈服函數(shù)相同，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，并將試驗(yàn)值、模擬值進(jìn)行對(duì)比分析。若Ha=1，計(jì)算得到的模擬值小于試驗(yàn)值，則逐漸增大Ha(Ha>1)，重新計(jì)算模擬值，并與試驗(yàn)值進(jìn)行比較，直至模擬值和試驗(yàn)值較為接近，且相對(duì)誤差小于0.5%。若Ha=1，求得的模擬值大于試驗(yàn)值，則逐漸減少Ha(Ha<1)，試算方法與Ha<1類似。

3 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型的有效性，對(duì)一組Kaolin[21]黏土和Bourke[22]粉質(zhì)黏土的溫控三軸排水剪切試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模擬，并分別與Yao等[13]和Hamidi等[11]提出的彈塑性本構(gòu)模型進(jìn)行對(duì)比分析。試驗(yàn)材料的基本物理性質(zhì)指標(biāo)如表1所示。Kaolin黏土正常固結(jié)狀態(tài)下的有效應(yīng)力為600 kPa，溫度分別為22 ℃、90 ℃，Bourke粉質(zhì)黏土正常固結(jié)狀態(tài)下的有效應(yīng)力為150 kPa，溫度分別為25 ℃、40 ℃、60 ℃，試驗(yàn)得到的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖5、圖6所示。

表1 黏土的基本物理性質(zhì)指標(biāo)Table 1 Physical indices of clays

圖5 正常固結(jié)飽和高嶺土在不同溫度作用下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.5 The stress-strain relationships of normal consolidated saturated Kaolin clay at different temperatures

圖6 正常固結(jié)飽和伯克土在不同溫度作用下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.6 The stress-strain relationships of normal consolidated saturated Bourke silt at different temperatures

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，分別求出考慮溫度影響的非關(guān)聯(lián)彈塑性模型中的6個(gè)參數(shù)值，其中λ、κ和M的求解方法與常溫三軸試驗(yàn)方法一樣，這里將不再贅述。另外，泊松比ν根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定為0.3，無(wú)需計(jì)算，比例因子Ha通過試算求得。剩余參數(shù)θ的求解過程如圖7所示，各參數(shù)值如表2所示。

圖7 模型參數(shù)θ確定Fig.7 Determination of model parameter θ

表2 飽和黏土的模型參數(shù)Table 2 Model parameters of saturated clays

將6個(gè)模型參數(shù)代入式(26)和式(27)，求出不同溫度作用下飽和黏土的應(yīng)力-應(yīng)變模擬值，并與試驗(yàn)值和Yao等[13]、Hamidi等[11]提出的模擬值進(jìn)行對(duì)比，如圖5、圖6所示。從圖7中可以看出，該模擬值與試驗(yàn)值吻合較好，初步驗(yàn)證了該模型的合理性。

4 結(jié)論

利用相同變形的力學(xué)固結(jié)代替熱固結(jié)，將常規(guī)溫控三軸試驗(yàn)中的熱力學(xué)特性轉(zhuǎn)化為純力學(xué)特性，再基于臨界狀態(tài)理論框架，提出考慮溫度影響的非關(guān)聯(lián)飽和黏土彈塑性本構(gòu)模型。結(jié)論與建議如下：

1)隨著溫度的增加，正常固結(jié)黏土發(fā)生體積壓縮現(xiàn)象，壓縮曲線和回彈曲線逐漸向下平移，斜率不變。此外，不同溫度作用下的臨界狀態(tài)應(yīng)力比也是唯一的，而先期固結(jié)應(yīng)力呈指數(shù)關(guān)系變化。

2)利用等效純力學(xué)固結(jié)代替常規(guī)溫控三軸試驗(yàn)中的力學(xué)固結(jié)和熱固結(jié)，雖然溫度和應(yīng)力使土體發(fā)生變形的機(jī)理不同，但等效替換后，兩者使土體發(fā)生的變形相同，作用效果一樣。

3)土體復(fù)雜的熱力學(xué)特性轉(zhuǎn)化為等效的純力學(xué)特性，再利用傳統(tǒng)的臨界狀態(tài)理論，建立新的考慮溫度效應(yīng)的本構(gòu)模型。相比分別考慮溫度和應(yīng)力作用下的屈服函數(shù)等傳統(tǒng)熱力學(xué)本構(gòu)模型研究方法，此種替換方法使整個(gè)研究過程更為簡(jiǎn)便，模型中共有6個(gè)參數(shù)，模型參數(shù)均具有明確的物理意義，且可由常規(guī)溫控三軸試驗(yàn)確定。

4)提出的非關(guān)聯(lián)彈塑性本構(gòu)模型中，塑性勢(shì)函數(shù)和屈服函數(shù)不同，但兩者之間存在一定的比例關(guān)系，該比例因子可結(jié)合試驗(yàn)值和模擬值之間的相對(duì)關(guān)系，通過試算求得。