基于分形理論的高煤階煤巖滲透率計(jì)算方法研究與應(yīng)用

王鏡惠　梅明華　劉娟　王華軍

摘????? 要：為了提供有效的煤巖滲透率計(jì)算方法，基于分形理論推導(dǎo)了煤樣滲透率計(jì)算模型，提出了相應(yīng)參數(shù)的獲取方法，基于高壓壓汞實(shí)驗(yàn)獲得的毛管壓力數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)測(cè)得的相應(yīng)煤樣的滲透率數(shù)據(jù)驗(yàn)證了計(jì)算方法的正確性，并基于該方法利用數(shù)值模擬的方法分析了煤樣滲透率的主要影響因素。結(jié)果表明，分形理論的煤巖滲透率計(jì)算方法能夠有效預(yù)測(cè)煤巖滲透率，平均誤差僅為6.84%;煤巖分形維數(shù)、迂曲度和最大孔隙半徑對(duì)滲透率具有重要影響，煤巖滲透率隨著分形維數(shù)和迂曲度增加而降低，隨最大孔隙半徑增加而增加。

關(guān)? 鍵? 詞：分形理論;高煤階;煤巖;滲透率;計(jì)算方法

中圖分類號(hào)：TQ021.4?????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ????文章編號(hào)：1671-0460（2020）07-1356-05

Research and Application of the Permeability Calculation

Method for High-rank Coal Rock Based on Fractal Theory

WANG Jing-hui1a， MEI Ming-hua2， LIU Juan1b， WANG Hua-jun2

（1. a.School of Chemistry and Chemical Engineering;1b. School of life Science，Yulin University， Yulin Shaanxi 719000， China;

2. The Second Gas Production Plant of PetroChina Changqing Oilfield Branch Company， Shaanxi Yulin719000， China;

Abstract： In order to provide effective calculation method of the coal rock permeability， the permeability calculation model of coal samples was deduced based on the fractal theory， and the acquisition approach of corresponding parameters was proposed. The correctness of the calculation method was verified based on the capillary pressure data from high-pressure mercury injection experiments， and the main influencing factors of the coal sample permeability were analyzed based on the permeability calculation model. The results showed that the permeability calculation method of high-rank coal rock based on the fractal theory could effectively predict the permeability， and the average error was only 6.84%. The fractal dimension， tortuosity and maximum pore radius of coal rock had important influence on its permeability. And the permeability of high-rank coal rock decreased with the increase of fractal dimension and tortuosity， and increased with the increase of maximum pore radius.

Key words： Fractal theory; High coal rank; Coal rock; Permeability; Calculation method

煤層氣儲(chǔ)層滲透率對(duì)開(kāi)展煤層氣儲(chǔ)層評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)煤層氣井高產(chǎn)穩(wěn)產(chǎn)具有重要意義^[1]。煤層氣儲(chǔ)層一般需要通過(guò)壓裂提供滲透率^[2]，但煤層原始滲透率對(duì)煤層氣開(kāi)發(fā)起決定性作用。煤層氣儲(chǔ)層為低孔低滲儲(chǔ)層，孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，煤樣制取難度較大且滲透率測(cè)試較難，迫切需要有效的滲透率計(jì)算模型。許多學(xué)者對(duì)致密砂巖儲(chǔ)層滲透率預(yù)測(cè)進(jìn)行了研究，如鄧浩陽(yáng)等研究了基于致密砂巖儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)，利用多元回歸的方法建立滲透率計(jì)算模型^[3];張濤等建立了致密砂巖儲(chǔ)層絕地滲透率計(jì)算模

型^[4];范宜仁等基于三組分法建立了致密砂巖巖心核磁共振滲透率表征新模型^[5];而對(duì)于煤巖滲透率的研究則多為實(shí)驗(yàn)測(cè)試，缺乏成熟的計(jì)算方法，劉帥帥等以鄂爾多斯盆地東緣柳林礦區(qū)南部4號(hào)煤層為研究對(duì)象，研究了有效應(yīng)力對(duì)煤儲(chǔ)層不同方向滲透率的影響^[6]。牛麗飛等以山西潞安常村礦3號(hào)煤層圓柱試樣為對(duì)象，測(cè)試并研究了垂直層理和平行層理方向煤體滲透率變化特征^[7]。魏建平等基于裂隙平板模型，理論推導(dǎo)了瓦斯解吸、擴(kuò)散及滲流過(guò)程中煤體滲透率的變化關(guān)系，認(rèn)為滲透率與瓦斯壓力的關(guān)系呈現(xiàn)一種非對(duì)稱“U”字型變化規(guī)律^[8]。劉永茜等通過(guò)建立描述煤體孔隙和裂隙滲透率統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型，將煤體內(nèi)氣體滲流分為孔隙控制型、裂隙控制型和孔隙-裂隙聯(lián)合控制型3類^[9]。付新等對(duì)煤巖孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，并將進(jìn)汞量約25%處的煤巖孔隙半徑與滲透率進(jìn)行回歸，得到滲透率預(yù)測(cè)方

法^[10]，但該方法僅基于數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)，缺乏理論基礎(chǔ)。李立功等研究了考慮克林伯格系數(shù)的煤儲(chǔ)層滲透率預(yù)測(cè)模型，但該模型參數(shù)眾多，不適于現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用^[11]。因此，文章引進(jìn)分形理論對(duì)孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了煤樣滲透率計(jì)算方法，并基于高壓壓汞實(shí)驗(yàn)獲得的毛管壓力曲線驗(yàn)證了本文提供計(jì)算方法的正確性。

1 ?滲透率計(jì)算方法理論推導(dǎo)

許多學(xué)者研究表明，煤巖孔隙結(jié)構(gòu)具有分形特征^[12-13]，則根據(jù)分形理論，煤巖孔隙數(shù)目與孔隙半徑成冪率關(guān)系，則其定量表達(dá)公式為：

（1）

式中： N（>r）—多孔介質(zhì)孔隙數(shù)量;

r —多孔介質(zhì)孔隙半徑;

a —常數(shù);

D_f —分形維數(shù)。

由于煤巖孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，孔隙數(shù)目巨大，N（>r）可近似看成連續(xù)可微函數(shù)，對(duì)其微分得到半徑在r～r+dr范圍內(nèi)毛管孔隙數(shù)量為：

（2）

根據(jù)Poiseuille定律得到經(jīng)過(guò)單根毛管孔隙圓形截面的流量為^[14]：

（3）

式中： q —單根毛管孔隙中流體流量;

dp —單根毛管孔隙進(jìn)出口壓力差;

τ —毛細(xì)管孔隙迂曲度;

μ —流體黏度;

l —毛細(xì)管孔隙長(zhǎng)度。

基于毛管束理論，將煤樣孔隙體系看作一個(gè)整體，并將其假想為一束具有不同孔隙半徑的毛管束，但每根毛管具有相同直徑，以此為理論基礎(chǔ)，將q在r_min～r_max范圍內(nèi)積分，可得到煤儲(chǔ)層滲流截面A上的總流量為：

（4）

式中： Q —滲流截面A上的總流量;

A —截面面積;

r_min —最小孔隙半徑;

r_max —最大孔隙半徑。

將式（3）和式（2）帶入式（4）整理得：

（5）

根據(jù)達(dá)西定律，毛管內(nèi)流量可以通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算：

（6）

式中： K —煤層滲透率。

將式（5）和式（6）聯(lián)立可得：

（7）

式（7）即為煤層氣儲(chǔ)層滲透率計(jì)算公式。由式（7）可知，煤層氣儲(chǔ)層滲透率主要取決于煤樣分形維數(shù)和孔隙半徑。

2? 關(guān)鍵參數(shù)確定方法

根據(jù)式（7），計(jì)算煤巖滲透率需要獲取分形常數(shù)a，分形維數(shù)D_f，最小孔隙半徑r_min，最大孔隙半徑r_max，毛細(xì)管孔隙迂曲度τ等5個(gè)參數(shù)。其中煤巖孔隙迂曲度τ一般在1.5～3.0之間，其余4個(gè)參數(shù)均通過(guò)煤巖毛管壓力曲線獲得，本文中毛管壓力曲線通過(guò)高壓壓汞實(shí)驗(yàn)獲得。

將式（1）兩邊取對(duì)數(shù)得：

（8）

則在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，N（>r）和r成線性關(guān)系，且斜率為-D_f。設(shè)直線斜率為k，截距為b，則

（9）

（10）

其中孔隙半徑（r）可以利用煤巖壓汞曲線通過(guò)式（11）求得：

（11）

式中： P_c —毛管壓力;

σ —界面張力;

θ —汞與空氣接觸角。

根據(jù)式（11）求出的煤樣孔隙半徑分布范圍，進(jìn)而確定各煤樣的r_min和r_max。不同孔隙半徑的孔隙數(shù)量N（r）可以根據(jù)壓汞實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到：

（12）

式中：ΔV_Hg —與孔隙半徑r相對(duì)應(yīng)的同一進(jìn)汞壓力下的進(jìn)汞體積。

3? 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1? 煤巖毛管壓力實(shí)驗(yàn)

煤巖毛管壓力實(shí)驗(yàn)樣品取自沁水盆地南部煤礦，將大塊煤樣加工制作6塊長(zhǎng)度為50 mm，直徑為25 mm的柱狀煤巖樣品，采用空氣滲透率測(cè)試儀分別測(cè)定各個(gè)煤樣滲透率，結(jié)果見(jiàn)表1，滲透率測(cè)試完畢后，利用各煤樣在室溫條件下開(kāi)展高壓壓汞實(shí)驗(yàn)，得到6塊煤樣的毛管壓力曲線如圖1所示。

由圖1可知，煤樣1、5、6壓汞曲線最為陡峭，曲線接近縱坐標(biāo)軸，表明煤樣物性較差，孔隙結(jié)構(gòu)非均質(zhì)性強(qiáng)。利用分形維數(shù)可以表征煤樣孔隙結(jié)構(gòu)的非均質(zhì)性，分形維數(shù)越大，非均質(zhì)性越強(qiáng)，煤樣滲透率越低，煤樣1、5、6中每樣5的分形維數(shù)僅為2.31，表明其孔隙結(jié)構(gòu)均質(zhì)性較強(qiáng)，因此盡管其毛管壓力曲線較為陡峭，但其滲透率仍然較高。煤樣2、3、4壓汞曲線形態(tài)相對(duì)較為平緩，存在中間相對(duì)平緩段，表明這3塊煤樣滲透性高于上述煤樣，如表1所示，該3塊煤樣滲透率均大于0.35 mD，滲透率相對(duì)較高。但整體上除煤樣4以外，5塊每樣中間平緩段均不太明顯，這表明6塊煤樣孔隙結(jié)構(gòu)整體復(fù)雜，為低滲透煤樣。

3.2? 滲透率計(jì)算及驗(yàn)證

根據(jù)式（11）、（12），利用上述6塊煤樣壓汞曲線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，計(jì)算煤巖的孔隙半徑（r）和對(duì)應(yīng)的孔隙數(shù)量N（r），將兩個(gè)參數(shù)取對(duì)數(shù)后繪制lg（r）與lg（N（r））散點(diǎn)圖，結(jié)果如圖2所示。圖2表明，各煤樣孔隙半徑（r）和對(duì)應(yīng)的孔隙數(shù)量N（r）在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中均成線性關(guān)系，這進(jìn)一步證明了各煤樣孔隙結(jié)構(gòu)滿足分形特征。

分別對(duì)各煤樣進(jìn)行線性擬合，根據(jù)式（8）得到各煤樣的k和b值，然后根據(jù)式（9）、（10）計(jì)算相應(yīng)的D_f和a，然后從計(jì)算得到的孔隙半徑（r）中讀取r_min和r_max值，煤樣迂曲度按1.75計(jì)算，最后根據(jù)式（7）計(jì)算各煤樣滲透率，結(jié)果如表1所示。

4? 煤巖滲透率影響因素分析

根據(jù)式（7），模擬分形維數(shù)、迂曲度、最大孔隙半徑和最小孔隙半徑對(duì)煤巖滲透率的影響，基本參數(shù)采用煤樣2數(shù)值計(jì)算，結(jié)果如圖3—圖6所示。

4.1? 分形維數(shù)影響

分形維數(shù)表征煤巖孔隙結(jié)構(gòu)非均質(zhì)性，分形維數(shù)越大，煤巖孔隙結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，非均質(zhì)性越強(qiáng)，物性越差^[15]。由圖3可知，煤樣滲透率隨著分形維數(shù)增加而降低，二者成負(fù)指數(shù)關(guān)系，且分形維數(shù)在2～2.5之間時(shí)，滲透率下降速度快，分形維數(shù)大于2.5后，滲透率下降速度變慢。如分形維數(shù)為2時(shí)，滲透率為3.38 mD，當(dāng)分形維數(shù)增至2.5時(shí)，滲透率下降至0.32 mD，下降了91%;而分形維數(shù)為3時(shí)，滲透率比分形維數(shù)為2.5時(shí)下降了0.29，下降了90%。

4.2? 迂曲度影響

煤巖迂曲度表征煤巖孔隙的彎曲程度，煤巖孔隙結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，彎曲度越大，迂曲度越大^[16]。由圖4可知，煤樣滲透率隨著迂曲度增加而降低，二者反函數(shù)關(guān)系，且隨迂曲度增加，滲透率降低速度先快后慢。如迂曲度為1.5時(shí)，滲透率為1.14 mD，當(dāng)迂曲度增至2.5時(shí)，滲透率降至0.69 mD，下降了39.5%。

4.3? 孔隙半徑影響

孔隙半徑對(duì)煤樣滲透率具有重要的影響，模擬得到煤樣最大孔隙半徑、最小孔隙半徑對(duì)滲透率的影響，結(jié)果如圖5—圖6所示。煤樣滲透率隨著最大孔隙半徑增加而增加，二者成冪指數(shù)關(guān)系（圖5），這是由于最大孔隙半徑越大，則煤樣的整體孔隙半徑都會(huì)增加，導(dǎo)致煤樣整體滲透率增加，進(jìn)而氣體通過(guò)煤樣的能力越強(qiáng)。而滲透率卻隨最小孔隙半徑增加而降低，但降低幅度很?。▓D6）。在其他條件不變時(shí)，當(dāng)最小孔隙半徑為0.005 nm時(shí)，滲透率為0.990 mD，當(dāng)最小孔隙半徑5 nm時(shí)，滲透率為0.989 mD，因此，最小孔隙半徑對(duì)煤層滲透率影響極小，可以忽略。

因此，可以不考慮最小孔隙半徑，將孔隙半徑約等于0，則根據(jù)式（7）可以得到另一個(gè)簡(jiǎn)化的煤層滲透率計(jì)算公式：

（13）

由表1可知，式（13）和式（7）計(jì)算滲透率值高度一致，表明式（7）可以等同于式（13）。

5? 結(jié)論

1） 本文提供的基于分形理論的煤巖滲透率計(jì)算方法： 和 ?能夠有效預(yù)測(cè)煤巖滲透率，預(yù)測(cè)結(jié)果與空氣滲透率測(cè)試結(jié)果平均誤差僅為6.84%，大幅降低了煤層氣儲(chǔ)層滲透率測(cè)試的難度和成本。 作為簡(jiǎn)化后的煤層滲透率計(jì)算公式具有更加廣闊的推廣空間。

2） 利用本文提出的煤樣滲透率計(jì)算公式開(kāi)展數(shù)值模擬，結(jié)果表明，煤巖分形維數(shù)、迂曲度和最大孔隙半徑對(duì)滲透率具有重要影響，煤巖滲透率隨著分形維數(shù)和迂曲度增加而降低，隨最大孔隙半徑增加而增加。

參考文獻(xiàn)：

[1]賈慧敏，孫世軒，毛崇昊，等.基于煤巖應(yīng)力敏感性的煤層氣井單相流產(chǎn)水規(guī)律研究[J]. 煤炭科學(xué)技術(shù)，2017，45（12）：189-193.

[2]王鏡惠，梅明華，王華軍，等. 活性水壓裂液對(duì)高煤階煤巖力學(xué)性質(zhì)的影響[J]. 當(dāng)代化工，2019，48（6）：1125-1128.

[3] 鄧浩陽(yáng)， 司馬立強(qiáng)， 吳玟， 等. 致密砂巖儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)分形研究與滲透率計(jì)算——以川西坳陷蓬萊鎮(zhèn)組、沙溪廟組儲(chǔ)層為例[J].巖性油氣藏， 2018， 30（6）： 76-82.

[4]張濤， 李相方， 王香增， 等. 致密砂巖氣水相對(duì)滲透率模型[J]. 中國(guó)科學(xué)： 技術(shù)科學(xué)， 2018， 48（10）： 1132-1140.

[5]范宜仁， 劉建宇， 葛新民， 等. 基于核磁共振雙截止值的致密砂巖滲透率評(píng)價(jià)新方法[J].地球物理學(xué)報(bào)， 2018， 61（4）： 1628-1638.

[6]劉帥帥，楊兆彪，張爭(zhēng)光，等. 有效應(yīng)力對(duì)煤儲(chǔ)層不同方向滲透率影響的差異性[J]. 天然氣地球科學(xué)，2019，30（10）：1422-1429.

[7]牛麗飛，曹運(yùn)興，石玢，等. 潞安礦區(qū)煤層滲透率的各向異性特征實(shí)驗(yàn)研究[J].中國(guó)安全生產(chǎn)科學(xué)技術(shù)，2019，15（9）：82-87.

[8]魏建平，秦恒潔，王登科，等. 含瓦斯煤滲透率動(dòng)態(tài)演化模型[J]. 煤炭學(xué)報(bào)，2015，40（7）： 1555-1561.

[9]劉永茜，侯金玲，張浪，等. 孔隙結(jié)構(gòu)控制下的煤體滲透實(shí)驗(yàn)研究[J]. 煤炭學(xué)報(bào)，2016，41（S2）： 434-440.

[10]付新， 薄舒月， 段宏臻， 等. 高煤級(jí)煤儲(chǔ)層壓汞特征分析及滲透率估算[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)（自科科學(xué)版）， 2018，15（15）： 64-67.

[11]李立功，康天合，李彥斌.考慮動(dòng)態(tài)克林伯格系數(shù)的煤儲(chǔ)層滲透率預(yù)測(cè)模型[J].地球物理學(xué)報(bào)，2018，61（1）：304-310.

[12]徐欣， 徐書(shū)奇， 邢悅明， 等. 煤巖孔隙結(jié)構(gòu)分形特征表征方法研究[J].煤礦安全， 2018， 49（3）：148-150.

[13]楊宇，孫晗森，彭小東，等.煤層氣儲(chǔ)層孔隙結(jié)構(gòu)分形特征定量研究[J].特種油氣藏，2013，20（1）：31-33.

[14]路陽(yáng).關(guān)于泊肅葉定律的適用范圍和定律的修正的討論[J].物理通報(bào)，2016（4）：29-32.

[15]賈慧敏. 高煤階煤巖孔隙結(jié)構(gòu)分形特征研究[J]. 石油化工高等學(xué)校學(xué)報(bào)， 2016， 29（1）： 53-56.

[16]徐鵬， 邱淑霞， 姜舟婷， 等. 各向同性多孔介質(zhì)中Kozeny-Carman常數(shù)的分形分析[J]. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào)， 2011， 34（4）：78-82.

基金項(xiàng)目：榆林市科技計(jì)劃項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2018-2-53）。

收稿日期：2019-11-06

作者簡(jiǎn)介：王鏡惠（1984-），男，陜西榆林市人，講師，碩士，2012年畢業(yè)于西安石油大學(xué)油氣田開(kāi)發(fā)專業(yè)，研究方向：油氣地質(zhì)勘探及油氣田開(kāi)發(fā)。E-mail： wangjinghui2219@sohu.com。