非規(guī)則結(jié)構(gòu)電容層析成像填補(bǔ)法測(cè)量的敏感場(chǎng)特性及重構(gòu)算法改進(jìn)

陳昭，陳猛，王江江，常家興，劉馬林

（清華大學(xué)核能與新能源技術(shù)研究院，北京100084）

引 言

電容層析成像法（electrical capacitance tomography, ECT）作為一種多相體系中典型非侵入式測(cè)量相含率的方法，在化工流化床[1-4]、石油管道流[5]、顆粒包覆反應(yīng)器[6]、醫(yī)療[7]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。針對(duì)特定應(yīng)用場(chǎng)合，已開發(fā)出適用于煤粉燃燒、石油催化裂化等的高溫測(cè)量探頭[8]，圓錐料倉測(cè)量的傾斜探頭[9]和Wurster導(dǎo)流管式噴動(dòng)流化反應(yīng)器的雙層探頭[10]等。目前測(cè)量對(duì)象多是規(guī)則圓柱[11]、四方[12]或圓臺(tái)結(jié)構(gòu)[13]，對(duì)于不規(guī)則結(jié)構(gòu)中的相含率測(cè)量較少涉及。ECT 測(cè)量過程包括電極探測(cè)、數(shù)據(jù)采集和圖像重構(gòu)等步驟，電極板布置不同，其應(yīng)用場(chǎng)合不同[14]。電極極板覆蓋率影響很大[15]。若電極太長(zhǎng)則因“三維弱化效應(yīng)”，得到的數(shù)據(jù)不能真實(shí)地體現(xiàn)管道軸向上各相介質(zhì)相含率分布的變化；若電極太短，雖然得到的電容值能很好地反映管道軸向上相含率的變化，但極板長(zhǎng)度變小造成測(cè)量電容值減小，增加了實(shí)際電容測(cè)量難度[16]。另外，電極的激發(fā)策略也會(huì)影響ECT測(cè)量和圖像重構(gòu)的質(zhì)量[17-18]，因此電極安裝布置和尺寸選擇對(duì)于ECT測(cè)量非常重要。

針對(duì)不規(guī)則幾何結(jié)構(gòu)以及所測(cè)體系為高溫或強(qiáng)腐蝕性的相含率測(cè)量，ECT 電極難以直接布置在管壁上，因此無法實(shí)現(xiàn)直接測(cè)量。例如由于流化床-化學(xué)氣相沉積生產(chǎn)工藝的限制，核燃料包覆顆粒的生產(chǎn)中極易發(fā)生孔口沉積現(xiàn)象[19]。為減輕此現(xiàn)象，流化床的入口結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為小傾角、自冷卻的多環(huán)斜孔式復(fù)雜結(jié)構(gòu)[20]。同時(shí)由于核燃料顆粒的高密度特性以及核臨界限制，顆粒一次性裝填量較少。因此，核燃料包覆顆粒在流化床中處于淺層、密相、流化高度較低的多孔協(xié)同噴動(dòng)流化狀態(tài)。入口處附近的流態(tài)化流型分布和顆粒濃度測(cè)量對(duì)沉積過程研究非常重要，但常規(guī)的電極布置無法滿足測(cè)量要求。

本文提出通過填補(bǔ)法將復(fù)雜結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成規(guī)則圓柱結(jié)構(gòu)后進(jìn)行測(cè)量，即將復(fù)雜結(jié)構(gòu)的測(cè)量問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則結(jié)構(gòu)ECT 成像的擬厚壁問題，擴(kuò)大ECT 的測(cè)量范圍。此問題中填充介質(zhì)的介電常數(shù)及填充區(qū)形狀可根據(jù)需要調(diào)整，因此又與一般的厚壁問題不同。有關(guān)ECT 的圖像重構(gòu)算法文獻(xiàn)較多，主要分為線性反投影算法（LBP）、Landweber 迭代算法、Tikhonov 正則化法、更新敏感場(chǎng)矩陣的迭代法等[21-24]。這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，需針對(duì)填補(bǔ)法進(jìn)行分析，并發(fā)展合適的重構(gòu)方法。本文首先通過有限元軟件進(jìn)行填補(bǔ)法測(cè)量建模，正向求解填充區(qū)敏感場(chǎng)并比較填充區(qū)敏感場(chǎng)與標(biāo)準(zhǔn)敏感場(chǎng)特征。然后研究填補(bǔ)法重構(gòu)成像特征，分別從敏感場(chǎng)特性、歸一化電容、填充區(qū)介電常數(shù)大小以及圖像重構(gòu)算法四個(gè)方面進(jìn)行比較分析。進(jìn)一步基于填補(bǔ)法特性，提出新型圖像重構(gòu)算法及其優(yōu)化方向，比較各種算法在填補(bǔ)法重構(gòu)成像中的重構(gòu)效果和計(jì)算時(shí)間，最后給出了本文研究成果在一般性非規(guī)則結(jié)構(gòu)中相含率測(cè)量中的應(yīng)用。

1 填補(bǔ)法電容層析成像模型建立

1.1 填補(bǔ)法測(cè)量原理

一般非規(guī)則幾何結(jié)構(gòu)中，ECT 電容探頭無法直接布置在容器壁上，如圖1（a）所示的測(cè)量區(qū)。對(duì)于一些特殊結(jié)構(gòu)的流化床，例如用于制備核燃料包覆顆粒的小傾角、復(fù)雜角度和結(jié)構(gòu)的多環(huán)斜孔式流化床，如圖1（b）所示，ECT 測(cè)量也受到限制。入口附近的顆粒濃度分布對(duì)整個(gè)包覆過程十分關(guān)鍵，因此ECT 測(cè)量面應(yīng)位于入口處附近，但傳統(tǒng)ECT 電極探頭因尺寸限制，無法直接安裝（150 mm 內(nèi)徑流化床一般需要50 mm 長(zhǎng)的測(cè)量電極）。可借鑒數(shù)值模擬中為減少計(jì)算量，將非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的“多重網(wǎng)格法”思想，設(shè)置填充區(qū)并添加合適的介質(zhì)，將復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成規(guī)則圓柱進(jìn)行測(cè)量。與傳統(tǒng)測(cè)量區(qū)相比，填補(bǔ)法對(duì)應(yīng)的測(cè)量區(qū)增加了填充介質(zhì)區(qū)，與結(jié)構(gòu)體增厚類似，但此填充區(qū)的介電常數(shù)及形狀（一般填充為圓柱，也可以為四方或者圓臺(tái)結(jié)構(gòu)）可根據(jù)需要改變，可稱為“偽厚壁”問題。

圖1 不規(guī)則結(jié)構(gòu)填補(bǔ)法ECT測(cè)量一般性原理(a)及填補(bǔ)法應(yīng)用于多環(huán)斜孔式流化床入口處測(cè)量示意圖(b)Fig.1 General schematic diagram of ECT measurement of irregular structure with filling method (a)and instrumentation plan of filling method applied to multi-ring slope-hole fluidized bed inlet(b)

1.2 填補(bǔ)法ECT建模

本文建立的填補(bǔ)法ECT 測(cè)量模型如圖2（a）所示。測(cè)量區(qū)為直徑150 mm的圓，測(cè)量區(qū)內(nèi)兩相物質(zhì)的介電常數(shù)分別為ε1和ε2，填充區(qū)為直徑150～200 mm 的圓環(huán)，填充物質(zhì)的介電常數(shù)為ε3，屏蔽層為直徑220 mm 的圓。本文基于有限元軟件COMSOL@進(jìn)行數(shù)值模擬。首先建立12電極的ECT 傳感器模型，接著進(jìn)行材料屬性設(shè)置，設(shè)定物理場(chǎng)接地與循環(huán)電極激勵(lì)等邊界條件[15]，然后進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，典型網(wǎng)格劃分如圖2（b）所示。整個(gè)傳感器區(qū)域劃分為1073 個(gè)節(jié)點(diǎn)和2064 個(gè)三角單元。對(duì)敏感場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算時(shí)提取64×64 的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，其中電極內(nèi)有效網(wǎng)格點(diǎn)為3228個(gè)。

ECT數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)化為線性方程進(jìn)行求解

式中，λ 為所有電極對(duì)間的歸一化電容值，由高斯散度定理積分求得[23]；S 為歸一化敏感場(chǎng)矩陣，可通過定義法[23]或電場(chǎng)法[25]得到；G為重構(gòu)圖像中每個(gè)像素點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的歸一化介電常數(shù)矩陣。為將電容信號(hào)轉(zhuǎn)化成相含率分布圖像，需通過算法進(jìn)行圖像重構(gòu)。圖像重構(gòu)問題是一個(gè)欠定問題，不能直接求解敏感場(chǎng)矩陣的逆，需通過迭代或者其他構(gòu)造算法對(duì)真實(shí)解進(jìn)行逼近。電容層析成像算法主要分為迭代算法與非迭代法。迭代算法主要有Landweber 迭代、更新敏感場(chǎng)矩陣的迭代法等，非迭代法有線性反投影算法、奇異值分解法、Tikhonov 正則法[26]等。其中關(guān)于經(jīng)典的Landweber 算法研究較多，從多個(gè)角度進(jìn)行了優(yōu)化[27-30]。為更精確地比較圖像重構(gòu)算法的適用性，采用圖像誤差與相關(guān)系數(shù)進(jìn)行定量化比較[23]。

圖2 ECT測(cè)量幾何建模及網(wǎng)格劃分Fig.2 Schematic diagram of simplified geometric modeling and mesh generation

2 敏感場(chǎng)比較分析

采取電場(chǎng)法計(jì)算敏感場(chǎng)S。敏感場(chǎng)隨著測(cè)量截面介電常數(shù)分布變化。一般全部填充為低介電常數(shù)物質(zhì)的敏感場(chǎng)為標(biāo)準(zhǔn)敏感場(chǎng)S標(biāo)。由于激勵(lì)邊界條件的周期性和電極分布的對(duì)稱性，電極對(duì)1-2、1-3、1-4、1-5、1-6與剩余電極的敏感場(chǎng)地圖呈現(xiàn)相同分布。因此列出前5 張敏感場(chǎng)地圖和1-7 對(duì)角線敏感場(chǎng)地圖，即可復(fù)現(xiàn)單激勵(lì)模式下所有電極對(duì)的敏感場(chǎng)地圖，如圖3 所示。Ramli 等[31]利用有限元模擬對(duì)不同背景下的敏感場(chǎng)進(jìn)行了圖像重構(gòu)，其中標(biāo)準(zhǔn)敏感場(chǎng)與圖3（a）類似。

圖3 不同背景下敏感場(chǎng)計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of sensitivity map of different background

由圖3 可知，與激勵(lì)電極的相對(duì)位置不同，敏感場(chǎng)S標(biāo)呈現(xiàn)不同的變化趨勢(shì)。與激勵(lì)電極相對(duì)位置越遠(yuǎn)，敏感場(chǎng)S 的馬鞍形分布越向中心靠近。這說明中心靈敏程度較弱，對(duì)電容的反應(yīng)不靈敏，成像靈敏度差。填充區(qū)填滿后，填充區(qū)的介電常數(shù)增大，利于電場(chǎng)線的傳播，電容絕對(duì)值變大，測(cè)量信號(hào)增強(qiáng)，同時(shí)背景信號(hào)也增強(qiáng)，因此在帶填充區(qū)的敏感場(chǎng)中信噪比降低，即歸一化的標(biāo)準(zhǔn)敏感場(chǎng)的敏感度數(shù)量級(jí)高于填充區(qū)敏感場(chǎng)。在帶填充區(qū)的敏感場(chǎng)S填中，相鄰電極敏感場(chǎng)呈現(xiàn)負(fù)值，非相鄰電極敏感場(chǎng)地圖中的平臺(tái)區(qū)開始呈現(xiàn)非對(duì)稱趨勢(shì)，這是因?yàn)樘畛浣橘|(zhì)導(dǎo)致信號(hào)增強(qiáng)，抬升了靈敏度。

3 填補(bǔ)法ECT 重構(gòu)成像影響因素研究

在填補(bǔ)法中，填充區(qū)的介電常數(shù)分布ε填可作為已知的邊界條件來優(yōu)化重構(gòu)成像。為提高填補(bǔ)法下的成像質(zhì)量，本文擬從敏感場(chǎng)、歸一化電容值及圖像重構(gòu)算法三個(gè)方面對(duì)圖像重構(gòu)進(jìn)行探究，如表1 所示。另外還對(duì)填充區(qū)介電常數(shù)ε填的影響進(jìn)行了分析。

表1 本文研究案例定義Table 1 Case definition in this study

3.1 不同背景敏感場(chǎng)的影響

由圖3 知，S填與S標(biāo)呈現(xiàn)相似的馬鞍形變化，均表現(xiàn)為中間低四周高的敏感度趨勢(shì)。S填的敏感度數(shù)量級(jí)與S標(biāo)不同。為探究敏感場(chǎng)特性對(duì)圖像重構(gòu)質(zhì)量的影響，對(duì)1-a-乙、2-a-乙、3-a-乙的圖像進(jìn)行比較。分別計(jì)算了半管流、核心流與環(huán)狀流的圖像誤差與相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如圖4所示。

由圖4 可知，1-a-乙與3-a-乙結(jié)果接近，2-a-乙與前兩者在半管流與核心流的重構(gòu)上差異不大，但在環(huán)狀流的重構(gòu)上差異十分明顯，且2-a-乙環(huán)狀流成像質(zhì)量增強(qiáng)。這表明，本案例中的S填對(duì)環(huán)狀流有增強(qiáng)成像的趨勢(shì)?？傮w而言，不同敏感場(chǎng)對(duì)成像的影響差別不大。文獻(xiàn)[31]指出，基于空背景的通用敏感場(chǎng)適用于大多數(shù)圖像的重構(gòu)，與本文結(jié)論類似。因敏感場(chǎng)2 能加強(qiáng)環(huán)狀流成像，因此選擇此敏感場(chǎng)作為后續(xù)探究的前提條件。

圖4 不同敏感場(chǎng)下成像質(zhì)量和重構(gòu)圖像Fig.4 Imaging quality and reconstruction images under different sensitivity maps

3.2 歸一化電容值影響

歸一化電容的目的是消除噪聲對(duì)圖像重構(gòu)的影響。在填補(bǔ)法問題中，人為引入的填補(bǔ)區(qū)也是一種噪聲信號(hào)。因此可通過幾何建模時(shí)考慮填充區(qū)計(jì)算出電容，然后在電容歸一化時(shí)去除填充區(qū)結(jié)構(gòu)噪聲的影響。為探究歸一化電容對(duì)成像的影響，對(duì)2-a-乙、2-b-乙的圖像進(jìn)行比較，如圖5所示。可以看出，2-b-乙中所有流型的成像效果均略優(yōu)于2-a-乙。這表明在進(jìn)行電容歸一化時(shí)，去除填充區(qū)結(jié)構(gòu)噪聲有利于提高圖像重構(gòu)質(zhì)量。

圖5 不同歸一化電容下成像質(zhì)量和重構(gòu)圖像Fig.5 Imaging quality and reconstruction images under different normalized capacitance

3.3 填充區(qū)介電常數(shù)對(duì)成像的影響規(guī)律

填充區(qū)介電常數(shù)ε填的分布會(huì)影響整個(gè)測(cè)量區(qū)的電勢(shì)分布。對(duì)ε填的影響規(guī)律進(jìn)行探究，選擇填充合適的介質(zhì)使其成像最佳，具有重要意義。模型中測(cè)量物體的介電常數(shù)ε測(cè)量體為27，空氣介電常數(shù)為1，對(duì)ε填進(jìn)行梯度模擬實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖6 所示。不論半管流還是核心流，當(dāng)ε填與ε測(cè)量體相同時(shí)，重構(gòu)圖像表現(xiàn)最佳的成像質(zhì)量，因此在采用填補(bǔ)法電容層析成像方法測(cè)量相含率時(shí)，ε填應(yīng)與測(cè)量區(qū)中較高的ε測(cè)量體相近或者一致。

圖6 半管流和核心流在不同填充區(qū)介電常數(shù)下的圖像重構(gòu)效果Fig.6 Reconstruction images of half-tube flow and core flow with different permittivity in filling area

3.4 填補(bǔ)法圖像重構(gòu)算法改進(jìn)

填補(bǔ)法測(cè)量時(shí)，填充區(qū)會(huì)占據(jù)電容信號(hào)的一定比例，導(dǎo)致真正的成像信號(hào)較弱。但填充區(qū)介電常數(shù)分布已知且可調(diào)，因此可通過固定或去除填充區(qū)信號(hào)的方式減少求解的維度，從而改善圖像重構(gòu)質(zhì)量。據(jù)此，本文提出兩種改進(jìn)思路，即變換矩陣和拆分矩陣的Landweber 算法。前者在算法迭代過程中固定填充區(qū)介電常數(shù)矩陣，后者在迭代前在重構(gòu)方程中把填充區(qū)分離。

對(duì)于本文幾何模型和網(wǎng)格劃分，ECT 測(cè)量模型為

矩陣的形式表達(dá)如下

Δε(k)理論上是對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)圖像(0,1)間的排布，即歸一化介電常數(shù)矩陣，反映的是圖像像素分布。

3.4.1 基于變換矩陣改進(jìn)的Landweber 算法 建立變換矩陣P1、P2，將ε填與測(cè)量區(qū)的介電常數(shù)ε測(cè)量區(qū)對(duì)應(yīng)的矩陣分離。ε填矩陣作為已知條件在Landweber迭代中保持不變，ε測(cè)量區(qū)矩陣則隨迭代過程逐漸靠近真實(shí)解。

如式(4)所示，P1代表填充區(qū)區(qū)域，P2代表測(cè)量區(qū)域。P1、P2分別為與填充區(qū)排列點(diǎn)位置、測(cè)量區(qū)排列點(diǎn)位置相同者為1，其余位置為0的列向量作為對(duì)角陣的矩陣，維度為3228×3228。

由式(3)可知

變換矩陣的Landweber算法推導(dǎo)如下

保持填充區(qū)部分不變

測(cè)量區(qū)部分進(jìn)行迭代

令填充區(qū)

其中，f(x,y)為與填充區(qū)位置相關(guān)的介電常數(shù)分布函數(shù)。ε填已知，將其代入歸一化電容計(jì)算公式中，理論上可得f(x,y) = I，I 為單位矩陣。考慮到填充區(qū)全為單位矩陣時(shí)，迭代限制較為嚴(yán)格，會(huì)降低測(cè)量區(qū)的重構(gòu)質(zhì)量，則f(x,y) = H,H 為在Landweber算法下填充區(qū)作為測(cè)量成像的介電常數(shù)矩陣。此時(shí)，帶有填充區(qū)的成像可以看作填充區(qū)與測(cè)量區(qū)待測(cè)形狀的復(fù)合成像。ε填的分布會(huì)直接影響到待測(cè)圖形的重構(gòu)，因此在固定填充區(qū)時(shí)，需考慮填充區(qū)與測(cè)量區(qū)之間的相互關(guān)系，引入松弛因子調(diào)節(jié)兩者的相互作用

其中，c1、c2、c3為松弛因子。以上為變換矩陣改進(jìn)的Landweber 算法。此算法是在固定填充區(qū)矩陣的前提下進(jìn)行搜索的，f(x,y)的選擇影響較大。各表達(dá)式重構(gòu)結(jié)果如圖7 所示。通過松弛因子調(diào)節(jié)后，半管流重構(gòu)效果良好，核心流重構(gòu)效果較弱，此方法中的松弛因子與重構(gòu)的關(guān)系值得進(jìn)一步研究。

圖7 不同函數(shù)下的變換矩陣重構(gòu)結(jié)果Fig.7 Reconstruction results of transformation matrix with different functions

3.4.2 拆分矩陣改進(jìn)的Landweber算法 由于ε填分布已知，在圖像重構(gòu)中可預(yù)先將其去除，以減少不適定問題的未知數(shù)個(gè)數(shù)，降低填充區(qū)帶來的非線性影響，提高重構(gòu)精度。由式（3）可知

因此，可通過拆分ε填矩陣與ε測(cè)量區(qū)矩陣重新構(gòu)造求解公式，以降低求解的維度。

其中，a 表示填充區(qū)數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，S1表示填充區(qū)對(duì)應(yīng)的敏感場(chǎng)，S2表示測(cè)量區(qū)對(duì)應(yīng)的敏感場(chǎng)，G1表示ε填分布，G2表示ε測(cè)量區(qū)分布，b 表示去除填充區(qū)引起的電容變化值后的電容值，即僅由測(cè)量區(qū)物體引起的電容變化值。式（8）和式（9）即為拆分矩陣的Landweber重構(gòu)算法。

3.4.3 圖像重建結(jié)果比較 LBP、Landweber 迭代算法與Tikhonov正則化算法是目前ECT圖像重構(gòu)中應(yīng)用廣泛的算法。為探究不同算法在填充條件下的作用效果，對(duì)以上三種算法與變換矩陣改進(jìn)的Landweber 算法、拆分矩陣處理的Landweber 算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，即2-b-甲，乙，丙，丁，戊。圖8 是進(jìn)行重構(gòu)比較的圖形結(jié)果，同時(shí)統(tǒng)計(jì)出了各算法重構(gòu)所需要的時(shí)間，如表2所示。

圖8中白色表示空氣，黑色表示流體，灰色表示填充區(qū)。用上述算法分別對(duì)半管流、核心流、環(huán)狀流、雙管流和三管流進(jìn)行圖像重構(gòu)。對(duì)于半管流，普遍存在不同程度的凹陷變形，變換矩陣-Landweber 方法一定程度上抑制了這種變形。對(duì)于核心流，重構(gòu)效果普遍偏弱，這是敏感場(chǎng)的敏感度邊壁強(qiáng)、中心弱的特性導(dǎo)致中心信號(hào)變化不強(qiáng)造成的。變換矩陣針對(duì)半管流成像效果較好。拆分矩陣在一定程度上增強(qiáng)了中心信號(hào)的顯像，邊緣較其他圖像銳化。對(duì)于環(huán)狀流，Landweber 算法與拆分矩陣-Landweber 方法重構(gòu)質(zhì)量較好。但是對(duì)于雙管流和三管流復(fù)雜的流型，僅Landweber 算法、Tikhonov 算法和拆分矩陣算法能夠重構(gòu)有效圖像，其中基于拆分矩陣算法的Landweber 算法重構(gòu)質(zhì)量較優(yōu)。

圖8 不同算法針對(duì)填補(bǔ)法成像的結(jié)果Fig.8 Results of different algorithms for thick wall imaging

圖9 和圖10 分別為以上算法的圖像誤差與相關(guān)系數(shù)的比較。由圖可知，變換矩陣法在半管流的成像中圖像誤差最小，相關(guān)系數(shù)最大，優(yōu)于其他算法。而在環(huán)狀流的成像中，Landweber 算法與Tikhonov 算法成像較優(yōu)。而拆分矩陣算法在以上流型的重構(gòu)中處于中間效果，但圖像成像清晰，失真程度在可接受范圍內(nèi)。針對(duì)復(fù)雜的雙管流和三管流，Landweber 算法與拆分矩陣算法表現(xiàn)較優(yōu)。綜合比較計(jì)算時(shí)間（表2）和成像質(zhì)量，基于拆分矩陣算法的Landweber 算法是一種最佳選擇。接下來對(duì)此算法進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化研究。

表2 各重構(gòu)算法的計(jì)算所需要的運(yùn)行時(shí)間Table 2 Running time of each reconstruction algorithm

圖9 不同算法的圖像誤差Fig.9 Image error of different algorithms

圖10 不同算法的相關(guān)系數(shù)Fig.10 Correlation coefficient of different algorithms

3.4.4 拆分矩陣算法的優(yōu)化策略 在Landweber 算法中，選擇合適的α 才能獲得較為逼近的成像效果[32]，類似地，可采用添加合適的松弛因子，改變搜索方向的步長(zhǎng)來優(yōu)化拆分矩陣法。

其中，c1和c2為松弛因子。c2控制最速下降方向上的步長(zhǎng)長(zhǎng)度，可用來改變圖形分化的程度。c1控制原圖保留的程度，調(diào)節(jié)c1值即調(diào)節(jié)原圖的占比來彌補(bǔ)搜索方向上圖形的失真。圖11（a）為不同c1下用拆分矩陣法對(duì)半管流進(jìn)行重構(gòu)的圖像。隨著c1的增加，圖像重構(gòu)質(zhì)量先變優(yōu)后下降，即存在一個(gè)c1值使圖像重構(gòu)質(zhì)量最佳。圖11（b）為不同c2下用拆分矩陣法對(duì)雙管流進(jìn)行重構(gòu)的圖像。c2越大，圖像越銳化，成像部分面積越小。這說明c2的物理意義是通過犧牲成像面積來增強(qiáng)圖像清晰程度的。針對(duì)未知的流型，可先進(jìn)行一系列的預(yù)實(shí)驗(yàn)，判斷流型大致趨勢(shì)，經(jīng)過測(cè)試，可以給出同類型流型（如層流、環(huán)狀流、氣泡流等）的c1和c2的值，供實(shí)際測(cè)量時(shí)參考使用。圖11（c）給出圖8 中三管流成像在推薦參數(shù)下的優(yōu)化成像。

圖11 不同c1下的半管流成像、不同c2下的雙管流成像及三管流優(yōu)化過程Fig.11 Half-tube flow at different c1,double tube flow at different c2 and optimization of triple tube flow

4 一般非規(guī)則結(jié)構(gòu)的填補(bǔ)法測(cè)量ECT技術(shù)應(yīng)用

填補(bǔ)法可應(yīng)用于ECT 探測(cè)在復(fù)雜結(jié)構(gòu)或苛刻環(huán)境等不適宜直接在反應(yīng)器壁上安裝電極的情況。采用一般非規(guī)則結(jié)構(gòu)，對(duì)上述填補(bǔ)法測(cè)量算法進(jìn)行驗(yàn)證。選擇：①填充區(qū)敏感場(chǎng)（填充區(qū)形狀非規(guī)則）；②去填充區(qū)噪聲的歸一化電容值；③填充介質(zhì)介電常數(shù)和測(cè)量區(qū)高介電常數(shù)一致；④基于拆分矩陣和松弛因子改進(jìn)的Landweber 重構(gòu)算法，對(duì)非規(guī)則結(jié)構(gòu)進(jìn)行不同高度層流下的圖像重構(gòu)。結(jié)果如圖12 所示。由圖可知，對(duì)淺層流、半管流和近滿管流的圖形重構(gòu)精度較好。圖像相關(guān)系數(shù)90%左右，重構(gòu)時(shí)間在毫秒級(jí)，可滿足一般化工過程測(cè)量及流動(dòng)檢測(cè)要求。

圖12 針對(duì)非規(guī)則結(jié)構(gòu)的填補(bǔ)法下的圖像重構(gòu)結(jié)果和圖像重構(gòu)評(píng)價(jià)指標(biāo)Fig.12 Image reconstruction based on filling method for irregular structure and evaluation of image reconstruction

5 結(jié) 論

本文提出填補(bǔ)法ECT 技術(shù)用于測(cè)量不規(guī)則結(jié)構(gòu)中的兩相體系相含率。文中首先對(duì)ECT 敏感場(chǎng)特性進(jìn)行比較，然后詳細(xì)研究了不同背景的敏感場(chǎng)強(qiáng)度、歸一化電容值矩陣、填充區(qū)介電常數(shù)大小以及圖像重構(gòu)算法對(duì)重構(gòu)圖像的影響，并提出了改進(jìn)重構(gòu)算法，優(yōu)化了圖像重構(gòu)質(zhì)量?？偨Y(jié)上述研究，得出主要結(jié)論如下。

（1）填補(bǔ)法會(huì)增加敏感度，電容信號(hào)絕對(duì)值增強(qiáng)，非線性程度增加，信噪比降低。不同背景的敏感場(chǎng)對(duì)電容層析成像影響不大，但填充區(qū)敏感場(chǎng)可強(qiáng)化環(huán)狀流成像。

（2）去除填充區(qū)結(jié)構(gòu)噪聲的電容值歸一化處理有利于提高圖像重構(gòu)質(zhì)量。

（3）當(dāng)填充區(qū)介電常數(shù)與待測(cè)區(qū)兩相中高介電常數(shù)一致時(shí)，圖像成像質(zhì)量最佳。

（4）變換矩陣法與拆分矩陣法均可在一定流型下改善成像。對(duì)于半管流，變換矩陣成像最優(yōu)，但具有方向性，值得進(jìn)一步深入優(yōu)化研究；對(duì)于各種流型，綜合計(jì)算速度和成像質(zhì)量，拆分矩陣法是填補(bǔ)法成像的最優(yōu)選擇，并可通過選擇松弛因子使重構(gòu)圖像更加準(zhǔn)確。對(duì)同類型的流型可給出先驗(yàn)性的松弛因子提高成像質(zhì)量。

（5）本文提出測(cè)量建議：采用填充區(qū)敏感場(chǎng)，采用去填充區(qū)噪聲的歸一化電容值，填充介質(zhì)介電常數(shù)和測(cè)量區(qū)高介電常數(shù)一致，基于拆分矩陣和松弛因子改進(jìn)的Landweber 重構(gòu)算法，可用于不規(guī)則結(jié)構(gòu)相含率測(cè)量中，還可用于因高溫、腐蝕等無法直接進(jìn)行電極安裝的工業(yè)場(chǎng)合中，具有改進(jìn)多相流測(cè)量方法的普遍意義。

致謝：感謝中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所王海剛研究員和英國(guó)曼徹斯頓大學(xué)楊五強(qiáng)教授在本文涉及的電容層析成像算法研究方面的幫助。

符 號(hào) 說 明

a——填充區(qū)單元數(shù)

b——剔除填充區(qū)引起的電容變化值后的歸一化電容值

c1,c2,c3——變換矩陣和拆分矩陣的松弛因子

G,G1,G2——分別為歸一化真實(shí)圖像介電常數(shù)矩陣，拆分后的厚壁區(qū)、測(cè)量區(qū)歸一化介電常數(shù)分布矩陣

H——在Landweber 算法下填充區(qū)作為測(cè)量成像的歸一化介電常數(shù)矩陣

I——單位矩陣

P1,P2——分別為厚壁區(qū)、測(cè)量區(qū)對(duì)應(yīng)的變換矩陣

S,S1,S2,S標(biāo),S填——分別為歸一化敏感場(chǎng)矩陣，拆分后的厚壁區(qū)、測(cè)量區(qū)歸一化敏感場(chǎng)矩陣，標(biāo)準(zhǔn)敏感場(chǎng)，帶有填充區(qū)的敏感場(chǎng)

αk——Landweber算法里的松弛因子

ε0,εr,ε1,ε2,ε3,ε填,

ε測(cè)量區(qū),ε測(cè)量體——分別為真空介電常數(shù)，傳感器截面的介電常數(shù)分布，模型中測(cè)量區(qū)低介電常數(shù)，模型中測(cè)量區(qū)高介電常數(shù)，模型填充區(qū)物質(zhì)的介電常數(shù)，泛指填充區(qū)介電常數(shù)變量，泛指測(cè)量區(qū)所有介電常數(shù)分布，泛指測(cè)量區(qū)中的測(cè)量物體的介電常數(shù)，C2/(N·m2)

λ——電極對(duì)歸一化電容值

下角標(biāo)

k——迭代次數(shù)