地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞形勢(shì)的影響分析

劉 春，劉自牧，葉秣麟

(1. 高原與盆地暴雨旱澇災(zāi)害四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610072；2. 中國(guó)氣象局氣象干部培訓(xùn)學(xué)院/WMO區(qū)域培訓(xùn)中心，北京 100081；3.四川省內(nèi)江市氣象局，內(nèi)江 641000；4.四川省氣象局氣象服務(wù)中心，成都 610072)

引言

在中高緯度西風(fēng)帶長(zhǎng)波槽脊的發(fā)展演變過(guò)程中，當(dāng)脊北伸時(shí)，其南部與南方暖空氣的聯(lián)系被冷空氣所切斷，同時(shí)脊的北部出現(xiàn)閉合環(huán)流，相對(duì)于周圍大氣形成暖高壓中心， 即阻塞高壓。由于阻塞形勢(shì)，尤其是偶極型阻塞形勢(shì)的建立、維持與破壞對(duì)周邊地區(qū)天氣氣候具有十分重大的影響，特別是與一系列的異常天氣(大范圍持續(xù)干旱或陰雨)密切相關(guān)， 因此國(guó)內(nèi)外氣候?qū)W家已經(jīng)對(duì)其形成機(jī)理和演變特征進(jìn)行了大量的研究工作。

阻塞形勢(shì)可視為一種生命史相對(duì)較長(zhǎng)而結(jié)構(gòu)持續(xù)穩(wěn)定的大振幅孤立系統(tǒng)[1]，為此，Malguzzi和Malamotte—Rizzoli等[2-3]采用KDV(孤立波)動(dòng)力學(xué)方法來(lái)闡述阻塞高壓的形成、維持及崩潰。然而，在大氣中觀測(cè)到的阻塞高壓和切斷低壓都不是波狀流動(dòng)，而是孤立渦動(dòng)[4]。為此，F(xiàn)lierl[5]和Mc Willianms等[6-8]在正壓流體中，利用強(qiáng)非線性作用，求出了孤立渦解。這種孤立渦解的流線分布，形成反對(duì)稱的一對(duì)偶極子，兩個(gè)極子相互非線性作用，導(dǎo)致整個(gè)偶極子向東或向西移動(dòng)。孤立渦具有非頻散特征，能較好的揭示阻塞的長(zhǎng)時(shí)間維持。然而，只有當(dāng)?shù)谝活怋essel函數(shù)的內(nèi)解波數(shù)在很窄的范圍內(nèi)，才會(huì)有這類偶極型的孤立渦解。

一些研究表明，地形對(duì)阻塞的形成起著很重要的作用[9-12]，可以加強(qiáng)阻塞的強(qiáng)度和固定阻塞的位置[13]。Charney 等[14-15]通過(guò)多平衡態(tài)與西風(fēng)帶高低指數(shù)環(huán)流聯(lián)系起來(lái)，并指出地形和熱力強(qiáng)迫波引起的一類低指數(shù)達(dá)到平衡態(tài)是大氣阻塞的原因。而最近的數(shù)值實(shí)驗(yàn)則表明：地形強(qiáng)迫可以加強(qiáng)阻塞的強(qiáng)度，增加阻塞發(fā)生的頻率[16]。上述研究，既沒(méi)有指出阻塞產(chǎn)生的原因，也沒(méi)有很好的描述阻塞的結(jié)構(gòu)。為此，本研究將從阻塞的幾何結(jié)構(gòu)著手，來(lái)闡述地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞的加強(qiáng)作用。

羅德海[17]提出的非線性Shr?dinger型包絡(luò)Rossby孤立波理論，既能反映偶極型阻塞的孤立波特征，又能體現(xiàn)偶極型阻塞的衰減機(jī)制，較好的揭示了大氣中偶極型阻塞的形成過(guò)程和衰退機(jī)制。為此，本研究采用類似的方法，通過(guò)對(duì)具有地形強(qiáng)迫的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程的簡(jiǎn)化，獲得帶有地形強(qiáng)迫的非線性Shr?dinger方程?？紤]到該非線性Shr?dinger方程中具有微小擾動(dòng)的地形強(qiáng)迫項(xiàng)，要嚴(yán)格求解一般是不可能的，但可采用Yan[18-19]所建立的基于分離變量法的直接微擾理論對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合孤立子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，討論地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞的作用。

本研究首先通過(guò)多尺度變換和攝動(dòng)法將具有地形強(qiáng)迫的正壓模式簡(jiǎn)化為帶有擾動(dòng)項(xiàng)的非線性Shr?dinger方程；其次，分析無(wú)地形強(qiáng)迫下的偶極型阻塞形勢(shì)的結(jié)構(gòu)及其維持過(guò)程；最后，通過(guò)孤立子直接微擾理論，研究地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞形勢(shì)的影響，得到一些有意義的結(jié)果。

1 具有地形強(qiáng)迫的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)模式

由于阻塞形勢(shì)處于中高緯度西風(fēng)帶上，其運(yùn)動(dòng)過(guò)程符合準(zhǔn)地轉(zhuǎn)特征，因此，分析地形強(qiáng)迫對(duì)阻塞形勢(shì)的影響，可以考慮具有地形效應(yīng)的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程：

(1)

(2)

取流函數(shù)為

(3)

(4)

令

(5)

將(5)式帶入(4)式，略去撇號(hào)“′”，得到無(wú)量綱的擾動(dòng)流函數(shù)φ的方程：

(6)

將(3)式和(5)式帶入邊界條件(2)中，得到關(guān)于無(wú)量綱擾動(dòng)流函數(shù)φ的邊界條件：

(7)

下面，將以無(wú)量綱的擾動(dòng)方程(6)和對(duì)應(yīng)的邊界條件(7)，討論地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞的影響。

2 地形強(qiáng)迫下的準(zhǔn)地轉(zhuǎn)Shr?dinger方程

根據(jù)(6)式，要使地形強(qiáng)迫與非線性之間達(dá)到平衡，需滿足以下條件：

h(x,y)=ε3?(x,y)

其中，?(x,y)=(ax2+by2)1/2為無(wú)量綱的地形函數(shù)。而在大尺度大氣運(yùn)動(dòng)中，地形強(qiáng)迫往往比非線性效應(yīng)更弱[10]，為此，設(shè)

h(x,y)=ε3+λ?(x,y)

(8)

其中，0<λ<1。

由于大氣運(yùn)動(dòng)中，存在多時(shí)空尺度的運(yùn)動(dòng)。根據(jù)多尺度變換方法[20-21]，引入緩變坐標(biāo)：

τ=εt,T=ε2t,X=εx,ξ=ε2x

由于ε?1，則τ,T,X,ξ為緩變量。葉篤正和巢紀(jì)平[22]的研究結(jié)果表明：τ為大尺度特征時(shí)間，T為慢變外源強(qiáng)迫特征時(shí)間，X為長(zhǎng)波特征尺度，ξ為超長(zhǎng)波特征尺度。于是，作如下變換[20]：

(9)

根據(jù)攝動(dòng)法，將對(duì)擾動(dòng)流函數(shù)φ，按WKB(小參數(shù))方法[23]展開(kāi)：

φ=φ0(x,y,t,X,ξ,τ,T)+εφ1(x,y,t,X,ξ,τ,T)+ε2φ2(x,y,t,X,ξ,τ,T)+…

(10)

考慮到擾動(dòng)流的邊界條件(7)，有如下的擾動(dòng)方程邊界條件：

(11)

將(8)式、(9)式和(10)式帶入到擾動(dòng)方程(6)中，合并εi(i=0,1,2,…)項(xiàng)，可以得到關(guān)于ε的各階問(wèn)題。對(duì)于o(ε0)問(wèn)題，滿足如下方程：

o(ε0)：L(φ0)=0

(12)

其中

在邊界條件(11)下，方程(12)有如下的解形式：

φ0=A(X,ξ,τ,T)φ0(y)eik(x-ct)+cc

(13)

其中，A為復(fù)振幅，c為緯向波速，k為緯向波數(shù)，cc表示其前項(xiàng)的共軛。關(guān)于φ0的特征問(wèn)題如下：

對(duì)于o(ε)問(wèn)題，滿足如下方程：

(14)

將(13)式帶入到(14)式中，得到

(15)

方程(15)左邊的算子L是線性的，齊次形式具有形如eik(x-ct)的解，右邊的非齊次項(xiàng)中含有eik(x-ct)，如果方程右邊eik(x-ct)的系數(shù)不為零，方程(15)將會(huì)有共振解。為此，要消除久期項(xiàng)，即使eik(x-ct)的系數(shù)為零：

L(φ1)=ikA2G(y)e2ik(x-ct)

(16)

根據(jù)邊界條件(11)，可知方程(16)的解具有如下形式：

φ1=B(X,ξ,τ,T)φ1(y)e2ik(x-ct)+cc

(17)

比較(16)式和(17)式，有

BLk(φ1)=ikA2G(y)

(18)

其中，

為此，根據(jù)(18)式，可將B取為如下形式：

B=A2

(19)

將(19)式帶入到方程(8)中，得到關(guān)于φ1的特征方程如下：

對(duì)于o(ε2)問(wèn)題，滿足如下方程：

(20)

與o(ε)問(wèn)題一樣，通過(guò)消除共振項(xiàng)，得到ε2問(wèn)題(20)的消除久期項(xiàng)的條件，即關(guān)于振幅A方程

(21)

其中

下面，將以準(zhǔn)地轉(zhuǎn)流的擾動(dòng)振幅方程(21)為基礎(chǔ)，分析偶極型阻塞流場(chǎng)的幾何結(jié)構(gòu)，以及地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞結(jié)構(gòu)的影響。

3 無(wú)地形強(qiáng)迫的Schr?dinger孤立子的變化情況

(22)

在沒(méi)有地形強(qiáng)迫的情況下(即γ=0)，方程(22)為標(biāo)準(zhǔn)的非線性Schr?dinger方程(簡(jiǎn)稱NLSE)，有如下形式的單孤立子解：

(23)

(24)

由于初始位相和初始位置僅能改變孤立子的中心位置，而不改變其振幅和結(jié)構(gòu)。因此，考慮初始位置x0=0，初始位相θ0=0時(shí)的流場(chǎng)。利用歐拉公式重寫流函數(shù)，并注意到cc為共軛，(24)式可簡(jiǎn)化為

(25)

(26)

上面的分析可以看出，即使沒(méi)有地形強(qiáng)迫，僅在非線性作用下，西風(fēng)流場(chǎng)就可形成偶極型阻塞結(jié)構(gòu)。下面，將進(jìn)一步考慮地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞流場(chǎng)的影響。

4 地形強(qiáng)迫下的Schr?dinger孤立子的變化情況

(27)

其初始條件為：

(28)

為了消除久期項(xiàng)，引入慢時(shí)間變量變換

∏=γT

(29)

在此變換下，有

將(27)、(28)和(29)式帶入(22)式，并線性化，得到如下具有初始擾動(dòng)的線性方程：

(30)

根據(jù)零階近似解(23)，設(shè)滿足方程(22)的A0具有以下形式的解

(31)

由方程(30)可知，

(32)

M,χ,ζ,ι是關(guān)于慢時(shí)間變量∏的函數(shù)，而M,χ與時(shí)間t無(wú)關(guān)。為此，根據(jù)(32)式，可知

(33)

其中

(34)

令

則方程(34)可以寫成矩陣形式：

(35)

(36)

其中

由于孤立子解A0具有零邊值條件

A0→0，當(dāng)|z|→∞時(shí)

ρ=ρ*=±(k2+1),-∞

其中，k為實(shí)數(shù)，即算子方程(36)具有連續(xù)譜。對(duì)應(yīng)的正交完備基{Φ}和{ψ}分別為：

其中

利用基函數(shù){Φ}將W展開(kāi)，得到：

(37)

其中，a+(T,k),a-(T,k)和aj(T)(j=1,2,3,4)為展開(kāi)系數(shù)。將展開(kāi)式(37)帶入到方程(35)中，由于積分后各展開(kāi)系數(shù)只是時(shí)間t的函數(shù)，為此，得到關(guān)于展開(kāi)系數(shù)a+(T,k)，a-(T,k)和aj(T)(j=1,2,3,4)的常微分方程[25]。

(38)

解方程(38)，并考慮到(31)和(32)式，可得關(guān)于孤立子波幅M及速度χ隨慢變時(shí)間∏變化的公式：

(39)

其中

在得到擾動(dòng)對(duì)孤立子影響的關(guān)系式(38)后，將利用這一關(guān)系式來(lái)討論地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞形勢(shì)的影響。

5 地形強(qiáng)迫對(duì)偶極型阻塞形勢(shì)的影響

對(duì)于大地形而言，可以近似看作斜面坡，為此，對(duì)于無(wú)量綱的地形高度函數(shù)?(x,y)具有以下形式

?(x,y)=|b-ax|

(40)

其中，a>0，b>0，a為大地形山體斜率，b為大地形山體高度。在量綱變換公式(6)下，地形函數(shù)(40)將變?yōu)?/p>

?(x,y)=|b′-a′x|

(41)

將無(wú)量綱的地形函數(shù)(41)帶入到(21)式中G(x)的表達(dá)式中，得到

G(x)=r|b′-a′x|

(42)

并考慮到矩陣次冪公式：

求(39)式，得到孤立子移動(dòng)速度χ對(duì)于慢變時(shí)間∏的變化：

設(shè)χ的初始值為χ0，注意到χ關(guān)于慢變時(shí)間∏是定常的，則可得到孤立子波幅M對(duì)于慢變時(shí)間∏的變化：

(43)

由方程(43)可知，在地形強(qiáng)迫的作用下，孤子振幅在阻塞的維持階段隨慢時(shí)間增強(qiáng)的，在一定時(shí)間后，這種增強(qiáng)作用達(dá)到極限。進(jìn)一步的分析發(fā)現(xiàn)，孤子振幅增長(zhǎng)率與斜坡的斜率成正比，這意味著，大地形山體坡度越陡，越有利于偶極型阻塞發(fā)展。

同3節(jié)一樣，根據(jù)阻塞形勢(shì)的尺度以及西風(fēng)平均緯向風(fēng)速的特征，取ε=0.5，γ=0.7，t=-1，χ0=0.31，b=6km，a=0.15得到地形強(qiáng)迫下的單孤立子解的偶極型阻塞型流場(chǎng)(圖3)：

對(duì)比圖1與圖3可知：無(wú)地形強(qiáng)迫時(shí)，偶極型阻塞的維持時(shí)間相對(duì)較短，尤其是強(qiáng)度較弱，而存在地形強(qiáng)迫時(shí)，有利于偶極型阻塞維持，尤其是增強(qiáng)，因此，地形強(qiáng)迫對(duì)于偶極型阻塞的形成發(fā)展具有明顯的作用。

6 結(jié)論與討論

本研究運(yùn)用多尺度變換和攝動(dòng)法簡(jiǎn)化具有地形強(qiáng)迫的正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)渦度方程，得到帶有擾動(dòng)項(xiàng)的非線性Shr?dinger方程，分析了非線性Shr?dinger孤立子的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并采用孤立子直接微擾理論研究地形強(qiáng)迫對(duì)阻塞結(jié)構(gòu)的作用。結(jié)果表明：(1)在大氣長(zhǎng)波與超長(zhǎng)波尺度共存的雙時(shí)態(tài)特征中，一定的波流條件下，西風(fēng)環(huán)流將呈偶極型阻塞結(jié)構(gòu)。(2)地形強(qiáng)迫對(duì)阻塞發(fā)展具有加強(qiáng)作用，這種增長(zhǎng)率與大地形山體的斜率成正比，并在一定時(shí)間內(nèi)達(dá)到極限。

本研究雖然從理論上闡述了地形強(qiáng)迫是怎樣影響阻塞形勢(shì)的，但仍存在如下的問(wèn)題需要解決：從全局的角度看，阻塞形勢(shì)只是西風(fēng)帶高低指數(shù)環(huán)流中的一支—低指數(shù)環(huán)流，要全面的了解地形強(qiáng)迫對(duì)阻塞形勢(shì)的動(dòng)力過(guò)程，需要從西風(fēng)帶環(huán)流的準(zhǔn)周期性循環(huán)著手進(jìn)行分析，而這一過(guò)程，主要由斜壓位能的南北輸送、交換所引導(dǎo)的，為此，需要進(jìn)一步考慮斜壓過(guò)程。