交流異步電動(dòng)機(jī)矢量控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模分析

林海翔

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院揚(yáng)州分院，江蘇 揚(yáng)州 225000）

交流電動(dòng)機(jī)的型號(hào)較多，在暫態(tài)分析中，需要在一定的坐標(biāo)系下構(gòu)建交流電機(jī)數(shù)學(xué)模型。所選擇的坐標(biāo)系越合適，所建立的系統(tǒng)模型越精簡(jiǎn)，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行模型分析時(shí)也更精準(zhǔn)，尤其是對(duì)系統(tǒng)動(dòng)靜態(tài)特效分析時(shí)更為明顯。研究分析所用到的交流電動(dòng)機(jī)理論已經(jīng)十分成熟。福提斯庫(kù)提出了對(duì)稱分量法、勃朗臺(tái)爾提出了雙反應(yīng)理論、顧毓繡、派克的復(fù)數(shù)分量變換和旋轉(zhuǎn)變換理論等。由于坐標(biāo)變化和線性變化不會(huì)改變系統(tǒng)的物理特性，因此可以通過實(shí)時(shí)監(jiān)控系統(tǒng)大簡(jiǎn)化三相電機(jī)的數(shù)學(xué)分析和控制。

1 交流異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)建模分析

1.1 三相電機(jī)的模型分析

三相異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型呈現(xiàn)出多變量、強(qiáng)耦合、參數(shù)不確定等特性。為簡(jiǎn)化交流電動(dòng)機(jī)基本方程，通常會(huì)做如下假設(shè)：假設(shè)在空間上三相交流電機(jī)的定子及定子繞組呈120°分布。對(duì)轉(zhuǎn)子部分，因同步電機(jī)和異步電機(jī)結(jié)構(gòu)不同而分別闡述。為簡(jiǎn)化分析，先不考慮鼠籠結(jié)構(gòu)或繞線結(jié)構(gòu)，統(tǒng)一將異步電機(jī)的轉(zhuǎn)子等效為繞線式轉(zhuǎn)子后再全部折算到定子側(cè)。折算后電機(jī)轉(zhuǎn)子每相匝數(shù)相等。

由于同步電機(jī)直軸上存在勵(lì)磁繞組，交軸上無勵(lì)磁繞組，且交軸和直軸的磁路也不相同，如何將同步電機(jī)的轉(zhuǎn)子進(jìn)行模型簡(jiǎn)化比較困難。為了便于建模我們采用替代法，用交軸阻尼繞組和直軸阻尼繞組這兩相不對(duì)稱的繞組來代替進(jìn)行分析。建立數(shù)學(xué)模型時(shí)考慮到三相交流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的非線性、高階、強(qiáng)耦合等特性，通常先要作以下假設(shè)：

①三相繞組呈對(duì)稱分布。

②各繞組的互感及自感都呈線性關(guān)系。

③不考慮電源頻率、環(huán)境溫度等因素影響。

④異步電機(jī)的結(jié)構(gòu)為繞線式。

基于以上假設(shè)建立電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子的電壓方程以及磁鏈方程。其中，轉(zhuǎn)子及定子的六個(gè)繞組之間的互感分為兩類：第一類由于定子繞組和轉(zhuǎn)子繞組間的位置固定，三相間的互感是定值；第二類由于轉(zhuǎn)子和定子的相對(duì)位置不斷變化，任意一相的互感隨角位移變化。

結(jié)合上述方程，再經(jīng)微分方程分解可求得交流電機(jī)轉(zhuǎn)矩方程與運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)學(xué)模型：

1.2 坐標(biāo)變換

交流電機(jī)是非線性強(qiáng)耦合系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型具有時(shí)變性，通過微分方程進(jìn)行求解非常困難。為簡(jiǎn)化系統(tǒng)并建立數(shù)學(xué)模型，可以選擇合適的坐標(biāo)系通過坐標(biāo)變換來實(shí)現(xiàn)。

直流電機(jī)中勵(lì)磁繞組通電時(shí)會(huì)產(chǎn)生主磁通，其磁通量取決于勵(lì)磁電流的大小，當(dāng)勵(lì)磁電流一定時(shí)主磁通也保持恒定。此外，補(bǔ)償繞組的磁感應(yīng)電勢(shì)可以消除電樞繞組產(chǎn)生的磁感應(yīng)電勢(shì)。由此可見，直流電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩大小由各個(gè)獨(dú)立電樞繞組中的勵(lì)磁電流及主磁通大小決定，所以直流電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩控制實(shí)現(xiàn)起來比較容易，也可以實(shí)現(xiàn)較好的調(diào)速性能。

在交流電機(jī)三相定子繞組中通上三相正弦交流電，其內(nèi)部會(huì)形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)變化的磁勢(shì)，沿氣隙圓周360°范圍內(nèi)呈正弦分布。而除了三相交流電，在其他對(duì)稱勵(lì)磁繞組如二相、四相繞組中通入多相平衡對(duì)稱電流，也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)磁勢(shì)。用二相來分析，以兩相靜止、空間相差90°的兩相繞組來等效三相繞組。

在電機(jī)的分析中，針對(duì)x，y軸的定義方法不同并結(jié)合不同的應(yīng)用場(chǎng)景，通常對(duì)x，y軸采用以下三種定義方法：靜止α-β坐標(biāo)系；同步d-q坐標(biāo)系；隨轉(zhuǎn)子速度的“固定在轉(zhuǎn)子上的d-q坐標(biāo)系”。

在一套兩相繞組中通入直流電產(chǎn)生等效的有大小、方向的磁鏈，將交流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型等效為直流電機(jī)模型。通過對(duì)三種不同坐標(biāo)系分析后發(fā)現(xiàn)，采用同步d-q坐標(biāo)系對(duì)交流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述時(shí)，可以把時(shí)變的交流電機(jī)微分方程等效成具有恒定系數(shù)時(shí)不變的方程，將所研究的問題大大簡(jiǎn)化。

為進(jìn)一步簡(jiǎn)化交流電機(jī)數(shù)學(xué)模型，對(duì)三相交流電機(jī)在三種不同的坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究。首先對(duì)交流電機(jī)進(jìn)行分解，將定子和轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)矩、電流、電壓及磁鏈分別變換到三種不同的兩相坐標(biāo)系上，再用下標(biāo)1代表定子各量，用下標(biāo)2代表轉(zhuǎn)子各量。

1.2.1 兩相(α-β)靜止坐標(biāo)系下交流電機(jī)在的數(shù)學(xué)模型

在坐標(biāo)系下的磁鏈方程為：

該坐標(biāo)系下的交流電機(jī)數(shù)學(xué)模型主要適用于對(duì)電機(jī)在不對(duì)稱運(yùn)行狀態(tài)下的研究，例如在系統(tǒng)采用電流型逆變器供電情況下對(duì)異步電機(jī)運(yùn)行特性進(jìn)行分析。

1.2.2 兩相（d-q）旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下交流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

分別對(duì)交流電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子電壓、電流及磁鏈進(jìn)行坐標(biāo)變換，得到在d-q兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓方程為：

式中，ω1為定子旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的角速度，即同步角速度；ω1為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度；ω2為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)差角速度，這種變換稱為同步d-q變換。

1.2.3 兩相（M-T）坐標(biāo)系下交流電機(jī)在的數(shù)學(xué)模型

為了解決三相電系統(tǒng)中的強(qiáng)耦合問題，對(duì)d軸與旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的相對(duì)位置進(jìn)行限定，可以得到M軸上iM1恒定不變時(shí)的輸出轉(zhuǎn)矩為：

其中：M軸上iM1是產(chǎn)生有效磁勢(shì)的勵(lì)磁電流分量，T軸上iT1是產(chǎn)生有效電磁轉(zhuǎn)矩的電流分量，電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩直接受到這兩個(gè)互不影響、各自獨(dú)立的變量影響。將這兩種分量看作直流電機(jī)的勵(lì)磁電流和電樞電流，仿照直流機(jī)的控制方式實(shí)現(xiàn)對(duì)異步電機(jī)磁通及轉(zhuǎn)矩進(jìn)行有效控制。

2 三相異步電機(jī)矢量控制系統(tǒng)的建模

2.1 基本思想

矢量控制也稱為磁場(chǎng)定向控制，是利用旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)不變?cè)瓌t對(duì)定子繞組進(jìn)行3/2坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，依照直流電機(jī)的控制模型建立交流電機(jī)的控制模型。通過數(shù)學(xué)建模得到異步電機(jī)矢量控制基本方程：

從方程中可以看出，在矢量控制中電機(jī)定子電流被分解為兩個(gè)互相垂直的分量iM1和iT1，其中勵(lì)磁電流iM用于調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子磁鏈，為磁鏈分量，電樞電流iT1用于控制電機(jī)轉(zhuǎn)矩，為轉(zhuǎn)矩分量。因此可得，矢量控制可以對(duì)原定子繞組電流進(jìn)行分解，將對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)子磁鏈的控制獨(dú)立進(jìn)行，成功實(shí)現(xiàn)了解耦控制。

建立矢量控制的關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子磁鏈平衡，矢量控制可以分為兩類：直接磁場(chǎng)定向控制和間接磁場(chǎng)定向控制。直接磁場(chǎng)定向控制也稱直接矢量控制，其模型中利用磁敏感元件對(duì)轉(zhuǎn)子磁鏈進(jìn)行定向；間接磁場(chǎng)定向控制又稱為間接矢量控制，其模型中沒有磁鏈調(diào)節(jié)器，而是依靠矢量控制方程進(jìn)行轉(zhuǎn)子磁鏈的定向。

2.2 間接磁場(chǎng)定向矢量控制系統(tǒng)

間接磁場(chǎng)定向矢量控制的基本方程式為：

該系統(tǒng)屬于轉(zhuǎn)差型控制系統(tǒng)，在變頻器是V/F標(biāo)量控制基礎(chǔ)上改進(jìn)得來，轉(zhuǎn)差頻率控制系統(tǒng)從穩(wěn)態(tài)特性出發(fā)得出轉(zhuǎn)矩Te。由推導(dǎo)得知轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)差頻率ωs成正比，由I1=f（ωs）函數(shù)式得到磁通恒定，進(jìn)而導(dǎo)出矢量控制器的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)成轉(zhuǎn)差型矢量控制系統(tǒng)。該系統(tǒng)解決了V/F標(biāo)量控制中的不足，較好地提升了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。

2.3 轉(zhuǎn)子磁鏈觀測(cè)模型

直接測(cè)量轉(zhuǎn)子磁鏈難度很大，需要在系統(tǒng)中建立磁鏈調(diào)節(jié)器來實(shí)現(xiàn)磁通反饋形成閉環(huán)控制系統(tǒng)。同時(shí)要實(shí)現(xiàn)高性能的矢量控制，如何利用實(shí)際測(cè)量的物理量建立高精度的轉(zhuǎn)子磁通觀測(cè)模型是關(guān)鍵。查閱文獻(xiàn)后發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)的方法各有特色，這里舉兩個(gè)較為典型的例子來分析。

2.3.1 在α-β坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)子磁鏈觀測(cè)模型

首先利用3／2變換將實(shí)際測(cè)出的三相定子電流等效變換到兩相靜止坐標(biāo)系下，易得電流iα1和iβ1，再由矩陣方程得到轉(zhuǎn)子磁鏈觀測(cè)模型。這種模型構(gòu)造簡(jiǎn)單，考慮到數(shù)字控制時(shí)各參數(shù)間存在交叉耦合，在模擬控制場(chǎng)合中應(yīng)用較多。

2.3.2 在d-q坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)子磁鏈觀測(cè)模型

利用3／2變換對(duì)實(shí)際測(cè)出的三相定子電流進(jìn)行分解，再通過旋轉(zhuǎn)變換得到M-T（兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系）下的電流iT1，iM1，最后代入矢量控制方程得出轉(zhuǎn)子磁鏈的幅值ψ2及相位ρ。跟前一種相比，這種觀測(cè)模型更適合于數(shù)字控制。

上述兩種模型都依賴于T2和Lm，考慮到這兩個(gè)電機(jī)參數(shù)是變量，所以這兩種模型的控制精度也會(huì)受到影響，這也成為間接磁鏈觀測(cè)法的主要不足。

2.4 直接磁場(chǎng)定向的矢量控制系統(tǒng)

為了進(jìn)一步優(yōu)化矢量控制系統(tǒng)，提高其動(dòng)態(tài)性能，通過在系統(tǒng)中建立磁鏈調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制來保持磁鏈的恒定。由于受影響的參數(shù)多，磁鏈觀測(cè)器的精確度也會(huì)受到影響，存在反饋失真，所以磁鏈閉環(huán)控制系統(tǒng)也很難長(zhǎng)期穩(wěn)定在高精度狀態(tài)。

為分析直接磁場(chǎng)定向的變頻調(diào)速系統(tǒng)，現(xiàn)將轉(zhuǎn)速控制和磁鏈控制都采用帶反饋的閉環(huán)控制方式，該系統(tǒng)由磁鏈調(diào)節(jié)器、轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器、轉(zhuǎn)矩調(diào)節(jié)器和轉(zhuǎn)速傳感器構(gòu)成，稱為直接磁場(chǎng)定向控制變頻調(diào)速系統(tǒng)。系統(tǒng)采用了較先進(jìn)的電流滯環(huán)型變頻器，采用PWM脈寬調(diào)制方式控制，將電流調(diào)節(jié)器改用轉(zhuǎn)矩調(diào)節(jié)器代替，可以獲得較好的電流輸出波形，其調(diào)速性能明顯加強(qiáng)。

綜上可見，矢量控制系統(tǒng)成功實(shí)現(xiàn)了在動(dòng)態(tài)過程中對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩的高精度控制，有效提升了系統(tǒng)的調(diào)速性能。與間接矢量控制系統(tǒng)相比，直接矢量控制系統(tǒng)中有了轉(zhuǎn)子磁鏈調(diào)節(jié)器，可以更好地適應(yīng)電機(jī)本身參數(shù)變化的影響，所以其控制精度和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)控制性能

都具有一定的優(yōu)勢(shì)。然而在解耦過程中系統(tǒng)模型對(duì)參數(shù)的變化較為敏感?？紤]到異步電機(jī)是一個(gè)時(shí)變的對(duì)象，因此，在對(duì)異步電機(jī)控制系統(tǒng)研究中，怎樣降低控制系統(tǒng)參數(shù)敏感性，如何提高控制系統(tǒng)的魯棒性等問題還值得進(jìn)一步深入探究。