淺談微課的線性代數(shù)教學(xué)設(shè)計
——以向量組的秩為例

凌征球 覃思乾

0 引言

玉林師范學(xué)院是一所升本的地方應(yīng)用型高校，有近2 萬人的在校生和10 大學(xué)科門類，目前在全校的理工類專業(yè)中都開設(shè)有線性代數(shù)課程，每年選課學(xué)生在2000 人上下[1]。由于課程概念的嚴密邏輯性與理論性、計算的繁雜與難度較大等原因，造成學(xué)生的學(xué)習(xí)出現(xiàn)不少的困惑使得總體的教學(xué)效果并不樂觀。多年來，為了改變這種狀況與提高教學(xué)效果，不少專業(yè)教師嘗試著多種不同的教學(xué)方法。

與此同時，隨著計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是2020 年春季的新冠肺炎疫情的爆發(fā)使得QQ 直播、MOOC 課堂，微課等多種線上學(xué)習(xí)方式得到了很大的推進，知識的學(xué)習(xí)與取得受到時間與空間限制的途徑已大為改觀。

本文將針對玉林師范學(xué)院的具體情況，在線性代數(shù)教學(xué)中如何嵌入微課的線上學(xué)習(xí)方式進行教學(xué)設(shè)計展開探討。首先給出目前線性代數(shù)課程教學(xué)的現(xiàn)狀分析。

1 線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

1.1 教學(xué)手段與方法依然單一

因為專業(yè)的基礎(chǔ)要求，線性代數(shù)一般安排在大學(xué)一年級授課。此外教師基本采取“黑板+PPT+講授”的教學(xué)模式，同時在教學(xué)過程中強調(diào)課程內(nèi)容的邏輯性與嚴密性，教師講得多而學(xué)生做得少。久而久之，導(dǎo)致的結(jié)果就是學(xué)生的被動學(xué)習(xí)，造成一些重點與難點內(nèi)容不能完全理解而無法掌握。

1.2 課程內(nèi)容多課時少

在一般情況下，線性代數(shù)課程包含行列式、線性方程組、矩陣與二次型等基本內(nèi)容，但課程只有32 課時。直接的結(jié)果就是教師應(yīng)在黑板上板書的過程只使用PPT一閃而過，使得學(xué)生對知識內(nèi)容的理解如概念定理一知半解，而計算題往往只到模仿的程度卻對所得結(jié)果的得來緣由不太明白。

1.3 教材不符合學(xué)生的實際水平

玉林師范學(xué)院屬于地方二本院校，學(xué)生每年錄用分數(shù)基本上處于420-440 分之間，由此便可以看出學(xué)生的總體水平特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好。而使用的教材偏重理論而且課程內(nèi)容缺乏漸續(xù)推進由淺到深的整個過程，此外課本例題與習(xí)題的計算基本上都涉及分數(shù)的通分計算，而這些正是學(xué)生本身的不足，導(dǎo)致了部分學(xué)生逐漸失去了對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣。

正是因為有上述主要原因的存在，學(xué)校的線性代數(shù)課程教學(xué)與教學(xué)效果不理想。如何探討與改善該門課程的教學(xué)手段與方式努力提高教學(xué)質(zhì)量，成為在職數(shù)學(xué)教師一個迫切需要解決的首要任務(wù)。

伴隨著半導(dǎo)體芯片技術(shù)的發(fā)展成長的智能手機的應(yīng)用已經(jīng)越來越廣泛，直接導(dǎo)致了“互聯(lián)網(wǎng)+ 課程”的推進，特別是2020 年春季新冠疫情的爆發(fā)使得線上教學(xué)與學(xué)習(xí)得到了充足的應(yīng)用環(huán)境，知識的獲取受到時間與空間的限制影響大為降低。目前，“微課”以其“精、小、短”的特色在大中小學(xué)的教學(xué)過程中的應(yīng)用得到社會的肯定[2-3]。一般認為，微課具有以下特色。

2 微課的特色

微課就是微型教學(xué)視頻為載體，針對學(xué)科的一個知識點的在線網(wǎng)絡(luò)視頻課程[4]。其具有如下的主要特色：

（1）內(nèi)容精選有針對性

通常情況下，微課都是針對學(xué)科知識的重點或難點展開的。對線性代數(shù)的課程來說，微課則集焦于基本概念、定理的講述或者計算方法的過程介紹。學(xué)生可以反復(fù)觀看學(xué)習(xí)，逐個掌握與理解知識點，提高學(xué)習(xí)效率。

（2）時間短利于靈活學(xué)習(xí)

一個微課的時間通常介于10- 15 分鐘，時間短容量小，方便學(xué)生隨時在碎片式的時間使用，增加他們自主學(xué)習(xí)的能力與學(xué)習(xí)興趣。

（3）使用設(shè)備與平臺有多種選

微課可以在臺式與筆記本電腦、智能手機、平板等多種設(shè)備上使用，也可以采用QQ、微信、MOOC、釘釘?shù)绕脚_上播放。

3 微課的線性代數(shù)教學(xué)設(shè)計例

針對線性代數(shù)中向量組秩的概念，我們給出了微課的教學(xué)設(shè)計過程與方法。

（1）設(shè)計理念

向量組的秩屬于線性代數(shù)的一個難點內(nèi)容，涉及線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量的線性表示與極大線性無關(guān)組，后續(xù)可推廣到矩陣的秩與向量空間的維數(shù)等概念。因此，理解與掌握的程度直接影響著后面知識的學(xué)習(xí)。我們設(shè)計的理念與思路是：引例的講解與總結(jié)；引入秩的概念；引申思考。

（2）教學(xué)過程設(shè)計

首先是引例的講解：假設(shè)有如下的一組向量

要求從這組向量中找出線性無關(guān)的一部分，試問：最多能夠找出多少個向量？

第1 步：先找一個非零向量，因為單獨非零向量屬于線性無關(guān)。依此我們可以從a1，a2，a3，a4，a5中任取一個作為第1 步的選擇。不妨取向量a1。

第2 步：由于不成比例的兩個向量是線性無關(guān)的。因此，我們從剩下的5 個向量中再取一個跟a1不成比例的向量，如此可選取a2，a3，a4之中的一個。不妨取向量a2。

由上兩步，我們?nèi)〕霾糠值南蛄縜1，a2是線性無關(guān)的。

第3 步：從剩下的4 個向量中任取一個加到a1，a2中，還有線性無關(guān)的嗎？此時有4 組情況，分別是：a1，a2，a3；a1，a2，a4；a1，a2，a5；a1，a2，a6

由于這4 組向量組成的行列式

因此，它們都是線性相關(guān)的。由此得到問題的結(jié)論：“在這個向量組中，線性無關(guān)的向量最多是2 個向量?！?/p>

自然就有個問題：是否存在其他的答案。

為此，我們重復(fù)第1 步取向量a2；重復(fù)第2 步選向量a3；然后重復(fù)第3 步就有下列4 個向量組：

經(jīng)過計算這4 個向量組構(gòu)成的行列式，知道這些向量組都是線性相關(guān)的。

由此確定上述得到問題的答案是正確的。

引例的總結(jié)：

①得到的向量a1，a2或者a2，a3稱為向量組a1，a2，a3，a4，a5，a6的一個極大線性無關(guān)組

②極大線性無關(guān)組可能不唯一，但所含向量的個數(shù)相同。

③這個相同的個數(shù)，稱為向量組的秩。

其次是引入相關(guān)概念：

如果向量組ai1，…，ais是向量組a1，a2，…，ar的一部分，并且滿足下列條件：

①ai1，…，ais是線性無關(guān)的；

②從a1，a2，…，ar去除ai1，…，ais后任取一個向量添加到向量組ai1，…，ais后都線性相關(guān)。那么ai1，…，ais就稱為a1，a2，…，ar的一個極大線性無關(guān)組。

極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)，稱為向量組的秩。

最后是引申思考：

由a1，a2線性無關(guān)而a1，a2，a3線性相關(guān)知道，向量a3可以用向量組a1，a2線性表示。得到：

不是極大線性無關(guān)組的向量，都可以用極大線性無關(guān)組線性表示，而且表示是唯一的。

4 結(jié)語

將微課應(yīng)用于線性代數(shù)的教學(xué)，切忌不是完全使用微課取代課堂教學(xué)，而只是作為一種補充手段。把課程學(xué)習(xí)的每一個關(guān)鍵知識點制作成微課，可以方便學(xué)生隨時學(xué)習(xí)，達到提高教學(xué)質(zhì)量與效率的目的。