淺談微課的線性代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)
——以向量組的秩為例

凌征球 覃思乾

0 引言

玉林師范學(xué)院是一所升本的地方應(yīng)用型高校，有近2 萬人的在校生和10 大學(xué)科門類，目前在全校的理工類專業(yè)中都開設(shè)有線性代數(shù)課程，每年選課學(xué)生在2000 人上下[1]。由于課程概念的嚴(yán)密邏輯性與理論性、計(jì)算的繁雜與難度較大等原因，造成學(xué)生的學(xué)習(xí)出現(xiàn)不少的困惑使得總體的教學(xué)效果并不樂觀。多年來，為了改變這種狀況與提高教學(xué)效果，不少專業(yè)教師嘗試著多種不同的教學(xué)方法。

與此同時(shí)，隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是2020 年春季的新冠肺炎疫情的爆發(fā)使得QQ 直播、MOOC 課堂，微課等多種線上學(xué)習(xí)方式得到了很大的推進(jìn)，知識(shí)的學(xué)習(xí)與取得受到時(shí)間與空間限制的途徑已大為改觀。

本文將針對(duì)玉林師范學(xué)院的具體情況，在線性代數(shù)教學(xué)中如何嵌入微課的線上學(xué)習(xí)方式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)展開探討。首先給出目前線性代數(shù)課程教學(xué)的現(xiàn)狀分析。

1 線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

1.1 教學(xué)手段與方法依然單一

因?yàn)閷I(yè)的基礎(chǔ)要求，線性代數(shù)一般安排在大學(xué)一年級(jí)授課。此外教師基本采取“黑板+PPT+講授”的教學(xué)模式，同時(shí)在教學(xué)過程中強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容的邏輯性與嚴(yán)密性，教師講得多而學(xué)生做得少。久而久之，導(dǎo)致的結(jié)果就是學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)，造成一些重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容不能完全理解而無法掌握。

1.2 課程內(nèi)容多課時(shí)少

在一般情況下，線性代數(shù)課程包含行列式、線性方程組、矩陣與二次型等基本內(nèi)容，但課程只有32 課時(shí)。直接的結(jié)果就是教師應(yīng)在黑板上板書的過程只使用PPT一閃而過，使得學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容的理解如概念定理一知半解，而計(jì)算題往往只到模仿的程度卻對(duì)所得結(jié)果的得來緣由不太明白。

1.3 教材不符合學(xué)生的實(shí)際水平

玉林師范學(xué)院屬于地方二本院校，學(xué)生每年錄用分?jǐn)?shù)基本上處于420-440 分之間，由此便可以看出學(xué)生的總體水平特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不是很好。而使用的教材偏重理論而且課程內(nèi)容缺乏漸續(xù)推進(jìn)由淺到深的整個(gè)過程，此外課本例題與習(xí)題的計(jì)算基本上都涉及分?jǐn)?shù)的通分計(jì)算，而這些正是學(xué)生本身的不足，導(dǎo)致了部分學(xué)生逐漸失去了對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣。

正是因?yàn)橛猩鲜鲋饕虻拇嬖?，學(xué)校的線性代數(shù)課程教學(xué)與教學(xué)效果不理想。如何探討與改善該門課程的教學(xué)手段與方式努力提高教學(xué)質(zhì)量，成為在職數(shù)學(xué)教師一個(gè)迫切需要解決的首要任務(wù)。

伴隨著半導(dǎo)體芯片技術(shù)的發(fā)展成長(zhǎng)的智能手機(jī)的應(yīng)用已經(jīng)越來越廣泛，直接導(dǎo)致了“互聯(lián)網(wǎng)+ 課程”的推進(jìn)，特別是2020 年春季新冠疫情的爆發(fā)使得線上教學(xué)與學(xué)習(xí)得到了充足的應(yīng)用環(huán)境，知識(shí)的獲取受到時(shí)間與空間的限制影響大為降低。目前，“微課”以其“精、小、短”的特色在大中小學(xué)的教學(xué)過程中的應(yīng)用得到社會(huì)的肯定[2-3]。一般認(rèn)為，微課具有以下特色。

2 微課的特色

微課就是微型教學(xué)視頻為載體，針對(duì)學(xué)科的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的在線網(wǎng)絡(luò)視頻課程[4]。其具有如下的主要特色：

（1）內(nèi)容精選有針對(duì)性

通常情況下，微課都是針對(duì)學(xué)科知識(shí)的重點(diǎn)或難點(diǎn)展開的。對(duì)線性代數(shù)的課程來說，微課則集焦于基本概念、定理的講述或者計(jì)算方法的過程介紹。學(xué)生可以反復(fù)觀看學(xué)習(xí)，逐個(gè)掌握與理解知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效率。

（2）時(shí)間短利于靈活學(xué)習(xí)

一個(gè)微課的時(shí)間通常介于10- 15 分鐘，時(shí)間短容量小，方便學(xué)生隨時(shí)在碎片式的時(shí)間使用，增加他們自主學(xué)習(xí)的能力與學(xué)習(xí)興趣。

（3）使用設(shè)備與平臺(tái)有多種選

微課可以在臺(tái)式與筆記本電腦、智能手機(jī)、平板等多種設(shè)備上使用，也可以采用QQ、微信、MOOC、釘釘?shù)绕脚_(tái)上播放。

3 微課的線性代數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)例

針對(duì)線性代數(shù)中向量組秩的概念，我們給出了微課的教學(xué)設(shè)計(jì)過程與方法。

（1）設(shè)計(jì)理念

向量組的秩屬于線性代數(shù)的一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，涉及線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量的線性表示與極大線性無關(guān)組，后續(xù)可推廣到矩陣的秩與向量空間的維數(shù)等概念。因此，理解與掌握的程度直接影響著后面知識(shí)的學(xué)習(xí)。我們?cè)O(shè)計(jì)的理念與思路是：引例的講解與總結(jié)；引入秩的概念；引申思考。

（2）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

首先是引例的講解：假設(shè)有如下的一組向量

要求從這組向量中找出線性無關(guān)的一部分，試問：最多能夠找出多少個(gè)向量？

第1 步：先找一個(gè)非零向量，因?yàn)閱为?dú)非零向量屬于線性無關(guān)。依此我們可以從a1，a2，a3，a4，a5中任取一個(gè)作為第1 步的選擇。不妨取向量a1。

第2 步：由于不成比例的兩個(gè)向量是線性無關(guān)的。因此，我們從剩下的5 個(gè)向量中再取一個(gè)跟a1不成比例的向量，如此可選取a2，a3，a4之中的一個(gè)。不妨取向量a2。

由上兩步，我們?nèi)〕霾糠值南蛄縜1，a2是線性無關(guān)的。

第3 步：從剩下的4 個(gè)向量中任取一個(gè)加到a1，a2中，還有線性無關(guān)的嗎？此時(shí)有4 組情況，分別是：a1，a2，a3；a1，a2，a4；a1，a2，a5；a1，a2，a6

由于這4 組向量組成的行列式

因此，它們都是線性相關(guān)的。由此得到問題的結(jié)論：“在這個(gè)向量組中，線性無關(guān)的向量最多是2 個(gè)向量。”

自然就有個(gè)問題：是否存在其他的答案。

為此，我們重復(fù)第1 步取向量a2；重復(fù)第2 步選向量a3；然后重復(fù)第3 步就有下列4 個(gè)向量組：

經(jīng)過計(jì)算這4 個(gè)向量組構(gòu)成的行列式，知道這些向量組都是線性相關(guān)的。

由此確定上述得到問題的答案是正確的。

引例的總結(jié)：

①得到的向量a1，a2或者a2，a3稱為向量組a1，a2，a3，a4，a5，a6的一個(gè)極大線性無關(guān)組

②極大線性無關(guān)組可能不唯一，但所含向量的個(gè)數(shù)相同。

③這個(gè)相同的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩。

其次是引入相關(guān)概念：

如果向量組ai1，…，ais是向量組a1，a2，…，ar的一部分，并且滿足下列條件：

①ai1，…，ais是線性無關(guān)的；

②從a1，a2，…，ar去除ai1，…，ais后任取一個(gè)向量添加到向量組ai1，…，ais后都線性相關(guān)。那么ai1，…，ais就稱為a1，a2，…，ar的一個(gè)極大線性無關(guān)組。

極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩。

最后是引申思考：

由a1，a2線性無關(guān)而a1，a2，a3線性相關(guān)知道，向量a3可以用向量組a1，a2線性表示。得到：

不是極大線性無關(guān)組的向量，都可以用極大線性無關(guān)組線性表示，而且表示是唯一的。

4 結(jié)語(yǔ)

將微課應(yīng)用于線性代數(shù)的教學(xué)，切忌不是完全使用微課取代課堂教學(xué)，而只是作為一種補(bǔ)充手段。把課程學(xué)習(xí)的每一個(gè)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)制作成微課，可以方便學(xué)生隨時(shí)學(xué)習(xí)，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量與效率的目的。