響應(yīng)面法耦合NSGA-Ⅱ算法的隔壁塔結(jié)構(gòu)優(yōu)化

謝江維，李春利，2，黃國明

（1 河北工業(yè)大學(xué)化工學(xué)院，天津300130；2 化工節(jié)能過程集成與資源利用國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，天津300130；3 華北制藥集團(tuán)先泰藥業(yè)有限公司，河北石家莊052165）

精餾是一種高能耗的分離過程，據(jù)統(tǒng)計(jì)，精餾過程所消耗的能源占石油、化工等領(lǐng)域總能耗的40%～50%[1-2]。不斷增加的能源成本正迫使各行業(yè)削減公用工程消耗，因此，將熱耦合配置納入多組分蒸餾系統(tǒng)，降低公用工程消耗和資本成本勢(shì)在必行[3]。與傳統(tǒng)精餾相比，隔壁塔（dividing wall column，DWC，圖1）作為一種具有物質(zhì)與能量高度耦合的分離裝置，可有效降低10%～50%的能耗，同時(shí)降低工程的投資成本[4]。由于消除了中間組分在傳統(tǒng)精餾塔內(nèi)的返混現(xiàn)象，不需要對(duì)分離的中間組分進(jìn)行兩次分離，提高了熱力學(xué)效率[3,5]。由于內(nèi)部物流的相互耦合導(dǎo)致了DWC自由度的增加，進(jìn)而增加了DWC 設(shè)計(jì)的復(fù)雜性，使其在工業(yè)應(yīng)用方面受到一定限制。

圖1 DWC結(jié)構(gòu)

為加快推進(jìn)隔壁塔的工業(yè)化進(jìn)程，學(xué)者們?cè)趦?yōu)化設(shè)計(jì)方面進(jìn)行了大量的工作。Premkumar 和Rangaiah[6]每次只優(yōu)化一個(gè)變量，保持其他變量不變。對(duì)于所選擇的每個(gè)塔段的板數(shù)、進(jìn)料和側(cè)采板的位置以及隔板的位置，通過改變氣、液相分配比來優(yōu)化能耗。這種簡化的方法不允許識(shí)別或量化變量之間的交互。但實(shí)際上隔壁塔設(shè)計(jì)變量之間的交互作用非常強(qiáng)烈。Lee等[7-9]、Sangal等[10]和Lavasani等[11]運(yùn)用研究輸入變量與被測(cè)響應(yīng)之間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)學(xué)分析方法——響應(yīng)曲面法（RSM）[12]進(jìn)行DWC的優(yōu)化設(shè)計(jì)。這種方法可在有限實(shí)驗(yàn)次數(shù)中擬合出近似的響應(yīng)面模型，是一種非常有效的方法。Vazquez-Castillo 等[13]將帶有約束的遺傳算法應(yīng)用于Aspen Plus 過程模擬器的目標(biāo)函數(shù)的評(píng)估。然而，這種方法實(shí)現(xiàn)起來很復(fù)雜。DWC 的研究在國內(nèi)還較少，工業(yè)上實(shí)際應(yīng)用得也比較少。其最主要的原因是缺乏可靠的設(shè)計(jì)方法、對(duì)DWC 內(nèi)部過程動(dòng)力學(xué)及可控性的認(rèn)識(shí)[14]。孫蘭義等[15]利用乙酸甲酯水解反應(yīng)進(jìn)行了DWC 的設(shè)計(jì)、優(yōu)化和控制方面的研究，提出了一種快捷的概念設(shè)計(jì)方法。結(jié)果表明，所提出的快捷方法可以為嚴(yán)格的模擬提供一個(gè)良好的初值。黃克謹(jǐn)?shù)萚16-17]也在DWC設(shè)計(jì)和運(yùn)行方面進(jìn)行了研究。他們提出了簡化的溫度差控制方案，結(jié)果顯示，由雙溫度差控制組成，方便DWC的運(yùn)行。袁希鋼課題組[18]提出了一種基于徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法相結(jié)合的DWC 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，通過3個(gè)實(shí)例分析，確定了最優(yōu)結(jié)構(gòu)，并分析了其對(duì)工況的敏感性，結(jié)果顯示，案例分析結(jié)果與文獻(xiàn)中發(fā)現(xiàn)的結(jié)果具有良好的一致性；之后，在2017 年他們又提出了一種支持向量機(jī)與粒子群法相結(jié)合的DWC 優(yōu)化算法，該方法大大提高了計(jì)算速度，是一種很有潛力的DWC優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[19]。

目前，對(duì)DWC 優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究大都針對(duì)某一種設(shè)計(jì)目標(biāo)，而在工業(yè)應(yīng)用中，DWC 的優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅受到自身復(fù)雜性的約束而且往往受到多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)的影響，面對(duì)這類問題，可利用多目標(biāo)優(yōu)化的方法解決[20-21]。Han 等[22]在對(duì)化工設(shè)備換熱器設(shè)計(jì)時(shí)便采用了RSM 與多目標(biāo)遺傳算法相結(jié)合的優(yōu)化方法，完成了對(duì)換熱器的設(shè)計(jì)。為解決類似的多變量多目標(biāo)優(yōu)化問題提供了良好的基礎(chǔ)。本文將RSM 與快速非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）相結(jié)合[22-23]，通過有限實(shí)驗(yàn)次數(shù)構(gòu)建了TAC 和Q的回歸模型，作為多目標(biāo)優(yōu)化的適應(yīng)度函數(shù)，之后在NSGA-Ⅱ算法[24]中執(zhí)行，計(jì)算Pareto 前沿并得到了一系列優(yōu)化解，有效獲得了DWC 的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，對(duì)DWC的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要的實(shí)用價(jià)值。

1 響應(yīng)面法（RSM）目標(biāo)函數(shù)的近似

1.1 簡介

RSM 是通過對(duì)指定設(shè)計(jì)空間內(nèi)樣本點(diǎn)的集合進(jìn)行有限的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，目的是優(yōu)化響應(yīng)目標(biāo)或者探究更深層次的機(jī)制。RSM 在試驗(yàn)設(shè)計(jì)和工藝優(yōu)化中應(yīng)用十分廣泛，相比于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)只能對(duì)各個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行分析，RSM可以通過已知的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在設(shè)計(jì)空間中依據(jù)一定的設(shè)計(jì)原則，構(gòu)建設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)響應(yīng)之間的函數(shù)關(guān)系式。

響應(yīng)面分析中通用的二階多項(xiàng)式模型如式(1)。

式中，Y為預(yù)測(cè)響應(yīng)（TAC 和Q）；Xi為未編碼或編碼的變量；β0為一個(gè)常數(shù)；βi、βii和βij分別為線性項(xiàng)、二次項(xiàng)和交互項(xiàng)系數(shù)；ε為誤差項(xiàng)。

1.2 優(yōu)化變量與目標(biāo)函數(shù)

原料進(jìn)料量為300kmol/h，乙醇、正丙醇和正丁醇的進(jìn)料摩爾比為1∶3∶1，3 種產(chǎn)品的分離要求均為質(zhì)量分?jǐn)?shù)達(dá)到0.99。選用Aspen Plus 中DSTWU 模塊，操作壓力為101.325kPa，板壓降為300Pa，建立DWC 的三塔簡捷計(jì)算模型（圖2），經(jīng)過不斷模擬調(diào)試得到計(jì)算結(jié)果見表1。

圖2 隔壁塔三塔模型

表1 簡捷計(jì)算結(jié)果

經(jīng)自由度分析，選取結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量：公共精餾段板數(shù)（N1）、隔板兩側(cè)板數(shù)（N2）、公共提餾段板數(shù)（N3）、進(jìn)料位置（NF）和側(cè)采位置（NS）進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。模擬時(shí)滿足隔板兩側(cè)板數(shù)相同的假設(shè)。以簡捷設(shè)計(jì)結(jié)果為初值，在Aspen Plus中建立如圖3所示的四塔模型，進(jìn)行嚴(yán)格模擬。以TAC和Q最小為目標(biāo)，通過單因素試驗(yàn)確定各設(shè)計(jì)變量的水平，采用響應(yīng)面中的BBD法設(shè)計(jì)5因素3水平的實(shí)驗(yàn)方案。通過46 次仿真，對(duì)DWC 的5 個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)于每一次運(yùn)行，在保障分離要求的前提下，通過調(diào)節(jié)液相分配比和氣相分配比來分別獲得TAC和Q的最小值。各設(shè)計(jì)變量水平值與對(duì)應(yīng)的編碼值見表2。TAC 的計(jì)算依據(jù)見表3。通過計(jì)算得到用于評(píng)估目標(biāo)函數(shù)的多元二次響應(yīng)面回歸模型，見式(2)和式(3)。

2 DWC的多目標(biāo)優(yōu)化

圖3 隔壁塔四塔模型

表2 設(shè)計(jì)因素編碼與水平

表3 TAC計(jì)算依據(jù)[25]

在工業(yè)應(yīng)用中，DWC 在設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)常需要考慮多個(gè)目標(biāo)。面對(duì)這類問題，可采用多目標(biāo)優(yōu)化的方法來解決。遺傳算法是一種基于生物學(xué)進(jìn)化理論中自然選擇法則的優(yōu)化算法，它通過迭代運(yùn)算對(duì)問題進(jìn)行求解，克服了一般的迭代方法容易陷入局部極小的陷阱而出現(xiàn)“死循環(huán)”現(xiàn)象，使迭代無法進(jìn)行，是一種全局優(yōu)化算法。同時(shí)，遺傳算法具有快速隨機(jī)的搜索能力且過程簡單，具有可擴(kuò)展性，容易與其他算法相結(jié)合。

NSGA-Ⅱ算法是目前最流行的多目標(biāo)遺傳算法之一。NSGA-Ⅱ算法為了使搜索向Pareto最優(yōu)解集的方向進(jìn)行，它根據(jù)個(gè)體的非劣解水平對(duì)種群進(jìn)行分層。這是一個(gè)循環(huán)的適應(yīng)值分級(jí)過程，直到全部個(gè)體都被分配等級(jí)為止。該方法采用擁擠距離來比較個(gè)體的優(yōu)劣。通過比較擁擠距離避免具有相同次序的非支配個(gè)體在空間較近距離內(nèi)聚集，使剩余空間為空，使計(jì)算結(jié)果在目標(biāo)空間中分布較為均勻，保障群體的多樣性。

NSGA-Ⅱ算法的優(yōu)化流程如圖4 所示。在隔壁塔初始配置后，采用RSM 構(gòu)建和評(píng)估優(yōu)化算法中所用到的目標(biāo)函數(shù)（適應(yīng)度函數(shù)）[22,26]。然后利用NSGA-Ⅱ算法采用二元錦標(biāo)賽選擇來處理約束，交叉采用模擬二進(jìn)制交叉，變異為多項(xiàng)式變異，直到滿足最大遺傳代數(shù)時(shí)輸出Pareto 優(yōu)化解。通過整定，本文選擇種群大小為150，遺傳代數(shù)120，交叉概率0.8，多項(xiàng)式變異概率0.1。

3 結(jié)果與分析

3.1 顯著性檢驗(yàn)和方差分析

圖4 優(yōu)化流程

利用Design Expert 軟件進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)和方差分析。如表4、表5，兩個(gè)回歸模型的P值都小于0.0001，表明模型是顯著的，在研究區(qū)域內(nèi)擬合較好，能很好地揭示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變異性；回歸模型的部分一次項(xiàng)和二次項(xiàng)對(duì)TAC 和Q的影響都比較顯著，說明TAC 與Q的變化都很復(fù)雜，不僅僅是簡單的線性關(guān)系；同時(shí)，兩個(gè)模型的失擬項(xiàng)P值均大于0.05，表明失擬不顯著，回歸模型可接受。

如表6所示，兩個(gè)模型的相關(guān)系數(shù)都接近于1，表明相關(guān)性良好；校正系數(shù)分別為0.9702 和0.9615，表明97.02%和96.15%的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的變異性可用此回歸模型解釋；通常情況下，變異系數(shù)的值越小越好，此研究中TAC和Q的變異系數(shù)分別為0.908%和1.24%，均很小，表明實(shí)驗(yàn)的可信度和精確度較好。精密度是有效信號(hào)與噪聲的比值，由表6 可知，兩個(gè)回歸模型的精密度均大于4，表明模型的精密度都很高。

表4 TAC回歸模型的方差分析

表5 Q回歸模型的方差分析

表6 回歸方程誤差統(tǒng)計(jì)分析

3.2 回歸模型分析

圖5和圖6分別給出了TAC與Q的殘差的正態(tài)概率分布。從圖中可以看出，殘差呈直線分布，表明殘差符合正態(tài)分布，模型適應(yīng)性較好。圖7和圖8分別顯示了TAC和Q預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的分布，兩圖中的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值都均勻分布在直線及其附近范圍，這意味著回歸的響應(yīng)面模型可產(chǎn)生較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

圖5 TAC殘差的正態(tài)概率分布

圖6 Q殘差的正態(tài)概率分布

圖7 TAC預(yù)測(cè)值與實(shí)際值分布

圖8 Q實(shí)際值與預(yù)測(cè)值分布

3.3 響應(yīng)面分析

圖9和圖10給出了設(shè)計(jì)參數(shù)的二元交互作用對(duì)TAC和Q影響的響應(yīng)面圖。圖9(a)、9(g)和9(h)顯示了NF與NS、N2、N3之間存在顯著的相關(guān)性，這是因?yàn)樵诜蛛x要求不變的情況下，進(jìn)料不在最佳位置時(shí)，導(dǎo)致預(yù)分塔內(nèi)乙醇和正丁醇清晰分離所需的最小氣相量發(fā)生變化，進(jìn)而導(dǎo)致塔直徑的變化而對(duì)TAC 產(chǎn)生影響；由圖9(i)可知，當(dāng)NS固定在一般水平時(shí)，TAC 隨N2的增大先迅速降低后趨于平緩；圖9(j)中顯示出當(dāng)NS不變時(shí)，TAC隨N3的增大呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)；在圖9(d)中可以看出，當(dāng)其他因素固定不變時(shí)，TAC 隨N2的逐漸增大呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)。

由圖10(c)、10(f)和10(j)可知，Q隨N3的逐漸減小先緩慢減小后迅速增大。這表明N3對(duì)Q的影響非常顯著，原因在于，公共提餾段不僅需要為分離正丙醇與正丁醇提供能量，還需保障預(yù)分餾段內(nèi)乙醇和正丁醇清晰分離所需能量的供應(yīng)，當(dāng)N3的板數(shù)減小時(shí)，為了達(dá)到所需的分離任務(wù)導(dǎo)致氣、液相負(fù)荷增大，因此，需要提高Q來保障能量供應(yīng)；圖10(g)顯示了NF和NS的交互作用對(duì)Q的影響情況，當(dāng)NF和NS分別在16 和15 附近時(shí)Q最??；由圖10(e)可以看出，當(dāng)其他參數(shù)固定在一般水平時(shí)，Q隨N2的減小逐漸增大，且當(dāng)進(jìn)料板位置同時(shí)減小時(shí)，會(huì)引起Q的迅速升高。這是因?yàn)镹2的減小導(dǎo)致預(yù)分餾塔內(nèi)每塊板上分離任務(wù)的增大，若NF同時(shí)減小，則進(jìn)一步加重了預(yù)分餾塔進(jìn)料板位置以上塔段的分離任務(wù)，因此，需要增大Q，提高氣、液相負(fù)荷來達(dá)到相應(yīng)的分離要求。同理，由圖10(i)可知，當(dāng)其他參數(shù)一定，Q隨N2的減小逐漸增大，且當(dāng)NS超過最佳位置而繼續(xù)增大時(shí)，Q會(huì)迅速升高。因?yàn)闇p小N2會(huì)導(dǎo)致隔板兩側(cè)每塊板上分離任務(wù)增大，若NS同時(shí)增大，會(huì)使側(cè)采板位置到公共提餾段頂部塔段內(nèi)每塊塔板分離任務(wù)進(jìn)一步增大，因此，需要增大Q，增大氣、液相負(fù)荷來達(dá)到相應(yīng)的分離要求。

3.4 設(shè)計(jì)參數(shù)的優(yōu)化

該優(yōu)化過程的意義在于，在TAC 最小的情況下，獲得使Q較小的設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)值。從圖11中可以看出，所有的目標(biāo)函數(shù)都隨著設(shè)計(jì)參數(shù)的變化而不斷變化。存在與最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)相對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)參數(shù)。Pareto 前沿清楚地顯示出了TAC和Q之間的沖突關(guān)系，這意味著在各參數(shù)當(dāng)前討論的區(qū)間內(nèi)，TAC的減小勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致Q的增大。這表明最優(yōu)解的選取應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要添加合適的約束條件。表7列出了選取的3組優(yōu)化解和相應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，選取TAC 較小的第3 組解為最優(yōu)解，此時(shí)的TAC 為1.622×106USD/a，Q為5168.3kW，對(duì)應(yīng)的NF、NS、N1、N2和N3分別為16、15、13、40和24。

3.5 DWC工藝與傳統(tǒng)工藝對(duì)比

如表8與圖12所示，以TAC較小的第3組解為例，與傳統(tǒng)分離工藝（圖13）相比，由于DWC 工藝減少了塔殼、冷凝器和再沸器的數(shù)量，且避免了返混，從能量的角度分析，可使Q降低38.11%；從經(jīng)濟(jì)的角度分析，以5 年的資本回收期為基準(zhǔn)，DWC工藝的TAC可節(jié)省37.42%。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于RSM 和NSGA-Ⅱ算法的DWC 優(yōu)化方法。首先利用RSM 構(gòu)造了目標(biāo)函數(shù)（TAC，Q）與設(shè)計(jì)變量（NF、NS、N1、N2和N3）之間的多項(xiàng)式函數(shù)關(guān)系（適應(yīng)度函數(shù)）。通過方差分析評(píng)估回歸模型的可靠性。之后設(shè)置種群大小為150，遺傳代數(shù)為120，交叉概率為0.8，多項(xiàng)式變異概率為0.1，在滿足約束的條件下，執(zhí)行NSGA-Ⅱ算法實(shí)現(xiàn)了隔壁塔5 個(gè)變量、2 個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化，得到了Pareto 前沿和對(duì)應(yīng)的DWC 最優(yōu)設(shè)計(jì)變量，確定了該優(yōu)化方法應(yīng)用于DWC 參數(shù)優(yōu)化的可行性，對(duì)DWC 的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要的實(shí)用價(jià)值。

圖9 二元交互作用對(duì)TAC影響的響應(yīng)面圖

選擇TAC 較小的一組解為最優(yōu)解，其相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為：公共段精餾段板數(shù)為13、隔板兩側(cè)板數(shù)為40、公共提餾段板數(shù)為24、進(jìn)料板位置為16 和側(cè)采板位置為15，此時(shí)的再沸器熱負(fù)荷Q與年度總費(fèi)用TAC 分別為5168.3kW 和1.622×106USD/a，與傳統(tǒng)雙塔流程對(duì)比結(jié)果顯示，DWC 流程可以節(jié)約38.11%的再沸器負(fù)荷Q和37.42%的年度總費(fèi)用TAC，具有更好的經(jīng)濟(jì)節(jié)能優(yōu)勢(shì)。

圖10 二元交互作用對(duì)Q影響的響應(yīng)面圖

表7 部分Pareto優(yōu)化解及對(duì)應(yīng)變量值

表8 傳統(tǒng)工藝與優(yōu)化后的DWC工藝對(duì)比

圖11 Pareto最優(yōu)解

圖12 DWC工藝與傳統(tǒng)工藝的Q與TAC對(duì)比

圖13 傳統(tǒng)工藝流程

符號(hào)說明

A—— 換熱面積，m2

D—— 塔直徑，m

L—— 塔高，m

NT—— 理論板數(shù)

Q—— 再沸器熱負(fù)荷，kW

TAC—— 年度總費(fèi)用，103USD/a

Xi—— 未編碼或編碼的變量

Y—— 預(yù)測(cè)響應(yīng)

βi—— 線性項(xiàng)系數(shù)

βii—— 二次項(xiàng)系數(shù)

βij—— 交互項(xiàng)系數(shù)

β0—— 常數(shù)

ε—— 誤差項(xiàng)

下角標(biāo)

F—— 進(jìn)料位置

S—— 側(cè)采位置