Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的發(fā)展過程、求解和應(yīng)用

【摘要】文章研究了關(guān)于Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的發(fā)展過程到邊值問題的求解，并探索分?jǐn)?shù)階微分方程的脈沖邊值問題的解的存在性、可解性。分?jǐn)?shù)階微分方程的不斷發(fā)展為解決現(xiàn)實(shí)問題提出了更多切合實(shí)際的數(shù)學(xué)模型，本文給出了HIV-1動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用，主要是驗(yàn)證了所獲理論結(jié)果的有效性并為整篇文章做出總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】Caputo分?jǐn)?shù)階微分? 微分方程? 分?jǐn)?shù)階微分方程應(yīng)用

1、研究背景

從1695年開始，Leibnitz給L' Hospital的信中就提到了分?jǐn)?shù)階微分的概念。作為一種新的數(shù)學(xué)理論和方法，分?jǐn)?shù)階微分方程和分?jǐn)?shù)微積分解決了很多之前駐足不前的實(shí)際問題。實(shí)際上，分?jǐn)?shù)階微分方程改進(jìn)了很多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，對(duì)無窮時(shí)滯、脈沖、耦合系統(tǒng)或者含不同算子的方程求解和解的存在性結(jié)論提供了很多研究空間。而本文的研究對(duì)象，就是Caputo型的分?jǐn)?shù)階微分方程、解的存在性及其應(yīng)用。

2、Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程

2.1 普托型分?jǐn)?shù)微分方程的非局部多點(diǎn)邊值問題求解

在文獻(xiàn)[1]中，作者對(duì)新的非局部多點(diǎn)邊值問題，即Caputo型連續(xù)分?jǐn)?shù)積分-微分方程解的存在性和唯一性進(jìn)行了推導(dǎo)。其中研究對(duì)象為Caputo型分?jǐn)?shù)積分-微分方程，在Riemann-Liouville的積分邊界條件下，利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到了幾個(gè)存在唯一性的結(jié)果。該方程如下：

并服從下述邊界條件

其中cD（·）表示分?jǐn)?shù)階（·）的Caputo導(dǎo)數(shù)，I（·）表示Riemann-Liouville積分分?jǐn)?shù)階（·）， f：[0，1]×R3→R是一個(gè)給定的連續(xù)函數(shù)。

λ，ai，i=1，……，m是實(shí)常數(shù)。

在任意段（0，η）？奐[0，1]上考慮的帶式條件可以解釋為非局部點(diǎn)處未知函數(shù)值的線性組合ζ∈（0，1）。作者定義了Banach空間：

有如下范式

求解過程如下，引入算子F：X→X：

方程（2.1）-（2.2）的問題即可轉(zhuǎn)換成（2.3），即如果F有不動(dòng)點(diǎn)，那么原方程（2.1）-（2.2）有解。

另外，文中還定義了一些符號(hào)

其中△1和△由下式給出定義

因此通過收縮映射原理，即算子F將 映射到自身并通過不等式計(jì)算得出F是收縮映射后可以證明，解的唯一性由Thm2.1給出。Thm2.1 對(duì)于所有的，

L是Lipschitz常數(shù)，有

由收縮映射定理可以證明，在（2.6）假設(shè)下，當(dāng)滿足

時(shí)，分?jǐn)?shù)階微分方程（2.1）-（2.2）有唯一解。其中? 由（2.4）式給出。

解的存在性則可以由下面兩種方法給出。X表示一個(gè)滿足范式? ? ?的

的空間

（是一個(gè)Banach空間）。

構(gòu)造算子F：X→X：

方法一：令M是Banach空間X的一個(gè)有界非空凸閉集。構(gòu)造算子滿足如下性質(zhì)：

對(duì)任意? ? ? 滿足，;? ? ?是緊湊且連續(xù)的，

是收縮映射。然后就有? 使得? ? ?。

故由Thm2.2得出解的存在性（至少一個(gè)解）：

Thm2.2 假設(shè)? ? ?是一個(gè)滿足（2.6）的連續(xù)函數(shù)，并且有以下假設(shè)成立：

如果滿足：? ? ? （2.8）

那么方程（2.1）-（2.2）在上有至少一解。其中p由（2.4）給出，由（2.5）定義。

方法二：用Leray-Schauder類型求得解的存在性。在Banach空間E中，C是E的閉凸集，U是C的開集。算子? ? 是一個(gè)連續(xù)的收縮映射（即? 是C的一個(gè)緊湊的子集）。通過交換算子F`1、F2和不等式變換可以證明Thm2.3。

Thm2.3 存在一個(gè)函數(shù)滿足? ? ? ，和一個(gè)不遞減的亞齊次函數(shù)? ? ? ，其滿足對(duì)于所有的

則邊界問題（2.1）-（2.2）在[0，1]上有至少一解，其中由（2.4）定義。

故通過（2.8）和（2.9），得到方程（2.1）-（2.2）解的存在性。

2.2 含Caputo導(dǎo)數(shù)的非線性分?jǐn)?shù)微分方程正解的唯一性和存在性

適當(dāng)?shù)某跏歼吔鐥l件對(duì)方程的正解具有重要意義。其中，含Caputo導(dǎo)數(shù)的非線性分?jǐn)?shù)微分方程的正解也是一個(gè)主要的研究方向。在文獻(xiàn)[2]中，作者就研究了以下分?jǐn)?shù)邊值問題（FBVP）：

C是Banach空間中的勒貝格可測(cè)函數(shù)。

研究提出了以下三個(gè)假設(shè)：（假設(shè)1）函數(shù)

在對(duì)t關(guān)于J上可測(cè);? （2.11）

（假設(shè)2）存在常數(shù) 和實(shí)值函數(shù)

（假設(shè)3）存在常數(shù)? ? ?和一個(gè)實(shí)值函數(shù)

是一個(gè)有界的子區(qū)間。（2.13）

由假設(shè)3（2.13）為基礎(chǔ)，可以將原始問題（2.10）轉(zhuǎn)化為以下積分方程：

在? ? ? 空間中構(gòu)建積分算子F如下：

所以原始問題（2.10）是否有解的問題等價(jià)于在Br空間中算子F是否有不動(dòng)點(diǎn)。實(shí)際上，因?yàn)镕連續(xù)且Fu（t）≥0，所以F是收縮映射，可以用Banach壓縮定理證明F存在唯一不動(dòng)點(diǎn)。

正解的唯一性由Thm2.4給出：

Thm2.4 在以上三條假設(shè)（2.11）-（2.13）均滿足的情況下，如果有

其中? ? ，則FBVP問題（2.10）在J上有唯一正解。

原始問題FBVP（2.10）的存在性由Thm2.5得出。

Thm2.5? 是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，（2.12）（2.13）成立。如果有

（2.16）其中，

那么問題（2.10）在J上有至少一個(gè)正解。

證明可以由構(gòu)造積分算子A、B

用Arzela-Ascoli定理 Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理完成。

2.3 應(yīng)用格林函數(shù)的具有積分邊界條件的非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的正解情況

如同前文提到，在研究邊值問題時(shí)，特殊函數(shù)如格林函數(shù)的使用也是重要的研究方向。文獻(xiàn)[3]中就討論了一類具有積分邊界條件的非線性Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的格林函數(shù)性質(zhì)和該方程單解和多解的情況。作者研究了具有以下邊界條件的方程：

對(duì)u有? ? ? ，其中? ? ?，? ?由（2.19）給出，r和R是

而定義。所以，（2.17）的求解被轉(zhuǎn)化成算子T的不動(dòng)點(diǎn)存在性。

應(yīng)用上下解的知識(shí)，下面給出方程（2.17）的上下解的定義：

如果滿足 且φ滿足

則函數(shù)φ被叫做作為（2.17）的下解;

如果滿足 且? ? 滿足

則函數(shù)? ? 被叫做作為（2.17）的上解。

應(yīng)用Guo-Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理（證得T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)）和Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理（證明T知道有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)），T的不動(dòng)點(diǎn)存在性可以被證明。由上述方法可以得知方程（2.17）的解的唯一性和存在性。Thm2.6可以由Banach壓縮定理證得。

3 Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的應(yīng)用

Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的優(yōu)勢(shì)在于可以更加精確的描述有復(fù)雜時(shí)間和空間域值變化的情況，比如前幾章介紹的無窮域、脈沖、拉普拉斯算子等不同類別。

文獻(xiàn)[4]研究了Caputo意義下的分?jǐn)?shù)階傳染病模型，通過研究一類具有細(xì)胞毒性T淋巴細(xì)胞（CTL）免疫響應(yīng)的分?jǐn)?shù)階HIV-1模型的動(dòng)力學(xué)行為。CTL的喪失會(huì)使得HIV病毒失去控制大量增殖。該分?jǐn)?shù)階模型是建立在整數(shù)階的基礎(chǔ)上推導(dǎo)而出的，并且用Lyapunov函數(shù)來得出關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。

文章引入如下假設(shè)：（假設(shè)1）系統(tǒng)（3.1）的初值是

那么（3.1）的正解的存在性和唯一性由下列定理給出：

Thm3.1 設(shè)假設(shè)1成立，則在系統(tǒng)（3.1）中存在唯一正解，并且

是系統(tǒng)（3.1）的正不變集。

定理的證明通過（3.1）的解非負(fù)，再證明D是正不變集來完成。

Thm3.2 如果R0<1，那么系統(tǒng)（3.1）的無病平衡點(diǎn)E0=（x0，0，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的。

定理3.2的證明可以通過（3.3）尋找平衡點(diǎn)使得v0（t）徑向無界從而滿足全局漸近穩(wěn)定的條件來完成。

Thm3.3 如果R1<1

定理3.3的證明可以通過（3.4）通過平衡條件使得V1（t）徑向無界從而滿足全局漸近穩(wěn)定的條件來完成。

參考文獻(xiàn)：

[1]Ahmad B， Ntouyas S K， Agarwal R P， et al.Existenceresults for sequential fractional integro-differential equations with nonlocal multi-pointand strip conditions[J].Boundary Value Problems，2016（01）：205.

[2]Wang Y，Liu L.Uniqueness and existence of positivesolutions for the fractional integro-differentialequation[J].Boundary Value Problems，2017（01）：12.

[3]Gao， Y， Chen P. Existence of solutions for a classof nonlinear higher-order fractional differentialequation with fractional nonlocal boundary?condition[J].Advances In Difference Equations，2016（01）：314.

作者簡(jiǎn)介：陳果（2000.01-），女，漢族，江西贛州人，中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)國(guó)際學(xué)院本科生，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。