糾纏態(tài)判據(jù)與高階張量可分性的充分必要條件

征夏明　張強

摘? ?要：本文旨在進(jìn)一步探究多體純量子態(tài)的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，以多元函數(shù)可分離變量的充分必要條件為出發(fā)點，首先證明了二階張量和純態(tài)量子態(tài)可寫成多個低階張量乘積的充要條件。再利用與矩陣的代數(shù)余子式的性質(zhì)，進(jìn)而得到一般的關(guān)于純多體量子態(tài)是否是糾纏態(tài)判別方法，最后證明了該定理的多個等價形式，在實際計算中可視具體情況使用。

關(guān)鍵詞：分離變量? 代數(shù)余子式? 張量的秩

中圖分類號：O413? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2020）06（b）-0143-04

量子態(tài)的糾纏判據(jù)一直是量子信息領(lǐng)域中的重要問題，通常采用計算糾纏熵的方式判斷，如馮諾依曼熵、瑞利熵等。然而其本質(zhì)在于多體量子態(tài)中的代數(shù)結(jié)構(gòu)，無論是分離譜亦或是連續(xù)譜量子態(tài)，都可以通過分析其代數(shù)結(jié)構(gòu)從而得出糾纏性質(zhì)。

1? 二階張量的可分性

眾所周知，一二體量子態(tài)可由二階張量aij完整表示。即在標(biāo)準(zhǔn)正交基|ij>下，任意的量子態(tài)ψ=aij|ij>（省略求和符號）。如果是連續(xù)譜，則為ψ=∫f（x，y）|xy>dxdy。我們知道一個量子態(tài)是直積態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)aij=αiβj，連續(xù)譜就是f（x，y）=g（x）h（y），即張量可分離指標(biāo)或函數(shù)可分離變量。文獻(xiàn)[1]給出了函數(shù)可分離變量的條件。

命題1：若有可微函數(shù)1（x），2（y）使f（x，y）=1（x）2（y）對任意（x，y）∈DR2成立。則

對任意（x，y）∈DR2成立。

命題2：若在R2內(nèi)連續(xù)，f（x，y）在D中沒有零點且對任意（x，y）∈DR2成立。則存在連續(xù)可微的函數(shù)使f（x，y）=1（x）2（y）對任意（x，y）∈DR2成立。

能夠看出在放寬條件的前提下，可以被視為量子態(tài)是直積態(tài)的充要條件。那么這個定理是否有相應(yīng)的分立譜版本？答案是肯定的。

定理1：以下命題等價。

i. 非零張量aij可分離變量;

ii. R（a）=1（張量a的秩等于1）;

iii. 張量方程ai+1，jak，l+1-ai+1，jakl-aijak，l+1+aijakl=ai+1，l+1akj-ai，l+1akj-ai+1，lakj+ailakj? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?證明：iii，顯然（文獻(xiàn)[2]）;

有αi+1βjαkβl+1-αi+1βjαkβl-αi βjαkβl+1+αiβjαkβl=αi+1βl+1αkβj-αiβl+1αkβj-αi+1β1αk βj+αiβlαkβj，觀察后發(fā)現(xiàn)等式顯然成立，iiiii，有必要先說明一下這個方程的來源，我們把命題1和命題2中方程的偏導(dǎo)數(shù)看做指標(biāo)之間的作差，以ai+1，j-aij類比， 再以張量積類比函數(shù)的乘積，則得到本定理中的方程。

我們將張量aij寫成矩陣形式：

這是一個D×D的矩陣（D是我們研究的量子態(tài)所在希爾伯特空間的維數(shù)），我們只需寫出方程中出現(xiàn)的那些所在行列的項。

將式（1.2）改寫得：

能夠看出這是行列式之間的關(guān)系，只需證明矩陣a的所有二階子式都等于0，在a不是零矩陣的前提下便可證明它的秩為1。

我們分情況討論這個問題：

①，這表示了大矩陣a中所有相鄰行的二階子式的關(guān)系，同時這也是關(guān)于指標(biāo)l的遞推公式。

② j=l時，有。這表示所有相鄰列的二階子式的關(guān)系，也是關(guān)于指標(biāo)i的遞推公式。

③ i=k且j=l時，易得，這表示任意一個最小的二階子式（行相鄰、列相鄰）都等于0。

將代入遞推公式①，得所有相鄰行的二階子式都為0。最后只需將所有一個相鄰行的二階子式代入遞推公式②，便證明了任意一個二階子式都等于0， 又因為矩陣a≠0，所以R（a）=1[2]。

2? 高階張量的可分性

對于一般的張量如何處理？方法與二體情況是相似的。但是多體問題的復(fù)雜性在于有幾個指標(biāo)是可分的，有幾個不可分。下面將從三階張量的可分性出發(fā)，再進(jìn)一步推廣。

引理：以下命題等價

i. 非零三階張量A可表示為Aijk=αiajk，其中α是矢量， a是二階張量;

ii. 非零三階張量A關(guān)于指標(biāo)i和jk之間的廣義秩等于1（記作R（i，jk））;

iii. 非零三階張量A中指標(biāo)i和j的偏秩與i和k的偏秩都等于1（記作R（i，j）=R（i，k）=0）;

iv. 非零三階張量A的指標(biāo)i與j、i與k之間分別滿足方程（2）。

Ai+1，j，kAi'，j'+1，k-Ai+1，j，kAi'j'，k-AijkAk，j'+1，k+Aij，kAi'j'k=Ai+1，j'+1，kAi'jk-Ai，j'+1，kAi'jk-Ai+1，j'，kAi'jk+Aij'kAi'jk，即第三個指標(biāo)不動，對前兩個指標(biāo)代入方程。i與k之間的同理，即保持第二個指標(biāo)不變。

證明：iii，設(shè)指標(biāo)i，j，k所在空間的維數(shù)分別是N1，N2， N3，令l=jN2+k，則k=lmodN2，。這樣做的意義是把矩陣a當(dāng)作一個矢量來處理，這個矢量有N2·N3個分量。從而有Ail=αial=，可知Ail的秩等于1[2]（這就是所謂指標(biāo)i和jk之間的廣義秩）。

iii，顯然。

iiii，指標(biāo)i和j的偏秩是指固定指標(biāo)k不變，計算出剩下的二階張量的秩。

固定k，k=k'，此時ajk'是一個矢量，Aijk'=αiajk'，顯然二階張量Aijk'的秩等于1，即指標(biāo)i和j的偏秩等于1.關(guān)于i和k同理。

iiii，利用文獻(xiàn)[3]，任意張量有唯一的分解式（Tensor rank decomposition）。

式中r表示張量A的秩，共有r項。也可以將其改寫成張量的乘積：

Aijk=ailbjlckl .即三個矩陣同時對指標(biāo)l縮并，l∈{1，2…，r}。

同樣，我們分情況討論這個問題。

給定k，已知i和j的偏秩等于1，那么有如下可能：①則結(jié)論成立;②，得。

由條件知①和②同時成立，那么且。

結(jié)論成立。

iiiiv，利用定理1，顯然成立。

這個引理很容易推廣至n階張量是否可分為一個矢量和一個n-1階張量，這里不再贅述。利用此引理，可以得出如下定理。

定理2：以下命題等價。

i. 非零n階張量A可表示為，其中每個α是矢量;

ii. 非零n階張量A每一個指標(biāo)與剩余指標(biāo)的廣義秩等于1。R

iii. 非零n階張量A中任意兩個指標(biāo)的偏秩都等于1.R（i，j）=1;

iv. 非零n階張量A中任意兩個指標(biāo)滿足方程（2）。

證明：iii， 以i1為例，將看做張量ai2…in，再利用引理。對于其他指標(biāo)思路相同，結(jié)論成立。

iiii， 顯然。iiii， 以i1為例， 用引理知i1和i2…in可分，同理可得每一個指標(biāo)都與其余指標(biāo)可分，因此張量A只能表示為n個矢量的張量積。

iiiiv， 利用定理1和引理，顯然成立。

如果我們不局限于一個張量表示為多個矢量的乘積，而是分成若干低階張量，則有如下推論。

定理3：以下命題等價。

i. 非零M階張量A可表示為其中每個a都是張量，且N1+N2+…Nn=M;

ii. 將指標(biāo)分成n組，，任取其中一組指標(biāo)，這一組指標(biāo)中的任意一個與這一組指標(biāo)之外所有指標(biāo)的廣義秩等于1，∈有

iii.指標(biāo)分組同上，任意取兩組指標(biāo)，再分別在這兩組指標(biāo)中分別取一個指標(biāo)，則他們的偏秩等于1，I≠J，R

iv. 指標(biāo)分組同上，任意取兩組指標(biāo)，再分別在這兩組指標(biāo)中分別取一個指標(biāo)，它們之間滿足方程（2）。

對于一個n階張量Ai1i2…in，為判斷其是否是糾纏態(tài)，如何糾纏的，只需多次使用上述定理，方法如下：

I. 依次判斷i1與剩余指標(biāo)是否可分，i2與剩余指標(biāo)是否可分…in與剩余指標(biāo)是否可分，共n次。若每個指標(biāo)都與剩余指標(biāo)可分意味著張量A是完全直積態(tài)。

II. 將i1，i2看做一個整體，判斷i1與除了i2外剩下的n1-2個指標(biāo)是否可分，再判斷i2與除了i1外剩下的n1-2個指標(biāo)是否可分。同樣地，一直到取遍n1個指標(biāo)中的任意兩個指標(biāo)，將可分的排除。

III. 對剩下的指標(biāo)，任意取3個指標(biāo)，將其看作一個整體，判斷與其余指標(biāo)的可分性。

IV. 如果n是偶數(shù)，需要一直計算到任意n-2個指標(biāo)與剩余的是否可分;如果是奇數(shù)則是。最后整個張量A的可分結(jié)構(gòu)就完全清楚了（如果為了降低計算量，順序反過來算更合理）。

注意到定理3中的判別條件有3個，對于有限維的情況3種都可以使用，若維數(shù)無限但是可數(shù)，在已知張量的解析表達(dá)式的前提下只能使用最后一種方法。

以上討論的都是分立譜，連續(xù)譜的判別方式與之相似，有如下定理。

定理4：若有可微函數(shù)

。則下列方程組成立：

其中i，j∈{1，2，…n}。

對任意RN1+N2+…Nn）成立。N1，N2，…Nn分別是矢量的維數(shù)。

定理5：若在內(nèi)連續(xù)，在D中沒有零點且方程組

對任意成立。則存在連續(xù)可微的函數(shù)

使對任意成立。

證明：基本同文獻(xiàn)[4]中的定理1、定理2，設(shè)N1+N2+…Nn=N，因此可以將定理看作N個一維變量分成n組，組與組之間可以分離變量。從而由命題2、3知只需將方程組中每一組變量內(nèi)部滿足的方程刪去即可（例如第一組變量有N1個，內(nèi)部滿足的分離變量偏微分方程不需要考慮）。再將剩下的方程按順序排列即得證。

定理4和定理5給出了一種符號表示的思路，即將矢量作為指標(biāo)[5]，因此可以得出定理3的等價形式。

定理3：以下命題等價。

i. 非零M階張量A可表示為

=式中第一個等號表示以矢量為指標(biāo)和以所有矢量指標(biāo)內(nèi)各個分量看做標(biāo)量指標(biāo)是等價的，，其余同理，N1+N2+…Nn=M;

ii. 非零M階張量A中每一個矢量指標(biāo)與剩余指標(biāo)的廣義秩等于1，即與的廣義秩等于1，其余同理;

iii. 非零M階張量A中任意兩個矢量指標(biāo)的偏秩都等于1;

iv. 非零M階張量A關(guān)于任意兩個矢量指標(biāo)之間分別滿足方程組其中。

3? 結(jié)語

本文以微分方程的分離變量解法為出發(fā)點，得出連續(xù)函數(shù)分離變量的判據(jù)的張量版本，可用于量子態(tài)的糾纏判別。同時將此方法推廣至多元函數(shù)和高階張量的情形，對量子糾纏態(tài)的數(shù)學(xué)計算和物理理解都有進(jìn)一步的幫助。

參考文獻(xiàn)

[1] Nielsen， M.A. 量子計算與量子信息（10周年版）[M]. 北京： 清華大學(xué)出版社，2015.

[2] Aubrun， Guillaume.and Szarek， Stanislaw J. Alice and Bob Meet Banach： The interface of asymptotic geometric analysis and quantum information theory[M]. Providence， Rhode Island ： American Mathematical Society，2017.

[3] David S. When Is an Ordinary Differential Equation Separable？[J]. The American Mathematical Monthly，1985， 92（6）：422-423.

[4] 邵逸民.秩為1矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，26（5）：194-198.

[5] Wikipedia. Tensor Rank Decomposition [EB/OL]（2019-5-7）.https：//en.wikipedia.org/wiki/Tensor_rank_decomposition.

[6] 王明新.函數(shù)可分離變量的條件[J].河南大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1988（4）：6-8.

①基金項目：哈爾濱理工大學(xué)工程電介質(zhì)及其應(yīng)用教育部重點實驗室2017年開放課題“雙曲超材料聲子極化子電磁性質(zhì)研究”（項目編號：KF20171110）。

作者簡介：征夏明（1996，7—），男，漢族，安徽蕪湖人，碩士在讀，研究方向：強關(guān)聯(lián)電子體系。

通訊作者：張強（1980，8—），男，漢族，黑龍江雞西人，博士，副教授，研究方向：超材料表面波性質(zhì)。hsdzq80@126.com。