超酷的極限取值法

黃旭軍

阿木老師走進(jìn)教室，看到班長和一群同學(xué)在做一道題——有紅、黃、綠三種顏色的手套各6雙，裝在一個(gè)黑色的布袋里，從袋子里任意取出手套來，為確保至少有2雙手套顏色不同（手套不分左右手），則至少要取出幾只手套？一幫數(shù)學(xué)高手正百思不得其解。

阿木老師提醒道：“這題可以先考慮最壞的情況，首先取出一種顏色的全部6雙手套和其他兩種顏色的手套各1只，再任意取出1只，就一定能得到2雙不同顏色的手套。因此至少要取出2×6+2+1=15（只）。”

大家若有所思，班長說：“您這里提到的考慮最壞情況，和我在書上看到的極值法很類似。”阿木老師笑呵呵地說：“解決抽屜問題就是用到了極限取值法呀！”大家連忙豎起耳朵認(rèn)真聽！

阿木老師說：“如果大家能抓住研究對象中具備極端性質(zhì)的某個(gè)對象加以分析、研究，一般就能化繁為簡地解決問題，這叫極端性原理。今天我就給大家講這個(gè)原理的應(yīng)用——極限取值法?！?/p>

例1

小明在計(jì)算5×（□+8）時(shí)，一不小心忘記寫括號了，這樣算出的得數(shù)與正確的得數(shù)相差多少？

觀察開始

初看，這是一道計(jì)算題，首先想到的是乘法分配律?？墒悄莻€(gè)方格里的數(shù)字不知道，對我們解題造成了一定干擾。

常規(guī)思路

正確的算式：5×（□+8）

看錯(cuò)的算式：5×□+8

我們可以用乘法分配律來解決問題。

正確的算式：5×（□+8）=5×□+5×8=5×□+40

看錯(cuò)的算式：5×□+8

相互比較，一個(gè)是5×□+40，另一個(gè)是5×□+8，相同部分是5×□，所以相差數(shù)就是看40與8相差多少，40-8=32。

答：算出的得數(shù)與正確的得數(shù)相差32。

另辟蹊徑

用極限取值法，把□里的數(shù)取作“0”。

正確的算式：5×（□+8）=5×（0+8）=40

看錯(cuò)的算式：5×□+8=5×0+8=8

兩數(shù)相差：40-8=32

例2

甲、乙兩個(gè)人輪流往一張圓桌上放同樣大的黑、白棋子，唯一的規(guī)則是任意兩顆棋子不能重疊，誰放完最后一顆后，對方無法再往上放，誰就是獲勝者，你有必勝的策略嗎？

觀察開始

這是一個(gè)策略問題，這里用了圓桌。圓桌是個(gè)圓形，圓形是一個(gè)對稱圖形。

常規(guī)思路

先放的有必勝的策略。只要一開始就放一顆棋子在桌子的正中間，然后每次看對方把棋子放哪里，你就放它的對面。因?yàn)閳A形是對稱圖形，這樣無論對方把棋子放哪，你總能找到與之對應(yīng)的點(diǎn)，直到最后讓對方?jīng)]有地方放置棋子！只要執(zhí)行這個(gè)策略，后放的必輸！

另辟蹊徑

用極限取值法更簡便。假設(shè)圓桌只有一顆棋子的大小，那么先放的那個(gè)人第一次就放滿了，他就會獲勝！