分離常數(shù)法解決高考導(dǎo)數(shù)恒成立問題

◇ 福建 韓 旭

導(dǎo)數(shù)大題通常是高考數(shù)學(xué)試卷中的壓軸題.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》指出導(dǎo)數(shù)思想豐富、內(nèi)涵深刻、應(yīng)用廣泛,對學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)進(jìn)行了有效考查.總結(jié)歷年各省市的數(shù)學(xué)高考題中的導(dǎo)數(shù)大題,發(fā)現(xiàn)第一問多考查求函數(shù)解析式、求函數(shù)的切線方程、判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)的極值最值等;第二問多考查高階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識、洛必達(dá)法則下的導(dǎo)數(shù)問題、恒成立問題、根的分布情況、不等式的證明等.

筆者在分析高考題后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題在所有題型中出現(xiàn)的頻率最高,并且該問題常出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)大題的第二問中,是拉開學(xué)生分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵.因此分析和總結(jié)恒成立問題的題型和解答方法是十分必要的,本文主要對導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題展開分析.

1 什么是導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題

1)題中有明顯詞語

如“恒成立”“恒有”“總有”“都有”“對任意……有……”“存在……有……”等.

2)和定義域有關(guān)的說法

3)和最值有關(guān)的說法

如f(x)在[α,β]上最大值為2,用恒成立的角度考慮問題可以轉(zhuǎn)化為f(x)≤2在[α,β]上恒成立.

2 分離常數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)恒成立問題

分離常數(shù)法是利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍的首選方法,所謂分離常數(shù)是指想要求哪個參數(shù)就把哪個參數(shù)看成常數(shù)放在不等式的一側(cè),其余量放在不等式的另一側(cè),再構(gòu)造新函數(shù)h(x),結(jié)合題意求解.

2.1 直接求得導(dǎo)函數(shù)零點

例1設(shè)a∈R,f(x)＝ax3－3x2,若g(x)＝f(x)＋f′(x),x∈[0,2],在x＝0處取得最大值,求a的取值范圍.

解析

依題意有g(shù)(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax3＋(3a－3)x2－6x≤0在x∈[0,2]上恒成立,即

當(dāng)x＝0時,解得a∈R.當(dāng)0＜x≤2時,解得a≤,令再求h(x)的最小值即可.

h′(x)＝恒小于0.h(x)在(0,2]上單調(diào)遞減,則當(dāng)x＝2時,h(x)有最小值h(2)＝,故.

2.2 無法求出導(dǎo)函數(shù)零點

當(dāng)無法直接求出h′(x)＝0的根,或不能直接判斷h′(x)的正負(fù),無法得到h(x)增減性(如當(dāng)h′(x)是由y＝ax,y＝logax,y＝sinax,y＝ax等函數(shù)中至少兩類構(gòu)成時,x的值無法解出)時,我們可以在h(x)的基礎(chǔ)上設(shè)新的函數(shù)t(x),利用t(x)的最值進(jìn)行解題(實質(zhì)是求高階導(dǎo)數(shù)).

例2f(x)＝ex－1－x－ax2,當(dāng)x≥0 時,f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

解析

依題意有ex－1－x－ax2≥0,即ax2≤exx－1.

當(dāng)x＝0時,解得a∈R.

當(dāng)x＞0時再求h(x)的最小值即可.

令t(x)＝xex－2ex＋x＋2,t′(x)＝xex－ex＋1.(發(fā)現(xiàn)仍無法求出t′(x)＝0的根,故繼續(xù)求導(dǎo).)

則t′(x)在x＞0上單調(diào)遞增,故t′(x)＞t′(0)＝0.因此t(x)在x＞0 上單調(diào)遞增,t(x)＞t(0)＝0.所以h′(x)＞0,h(x)在x＞0 上單調(diào)遞增,則有h(x)＞h(0).故即.

綜上所述,a≤.

2.3 區(qū)間端點值不為0

若在計算中得到t(x)大于某一正數(shù)或t(x)小于某一負(fù)數(shù),則可用零點定理進(jìn)行估根.

[零點定理](介值定理推論)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)且有f(a)·f(b)＜0,則?ξ∈(a,b),使f(ξ)＝0.

例3成立,求整數(shù)k的最大值.

解析

接下來對t(x)＝0估根.因為t(3)＝1－ln3＜0,t(4)＝2－ln4＞0,則存在ξ∈(3,4),使得

分析其單調(diào)性,如表1.

表1

所以k＜ξ.又因為3＜ξ＜4且k∈Z,則kmax＝3.