關(guān)于地鐵牽引供電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立與求解

方海華

（上海軌道交通設(shè)備發(fā)展有限公司，上海 200245）

0 引言

當(dāng)前地鐵已經(jīng)正式進(jìn)入我國的各大城市，對(duì)人們的出行有著重要幫助。為了保證地鐵的暢通，工作人員應(yīng)當(dāng)明確地鐵供電系統(tǒng)的問題并進(jìn)行改正。工作人員應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際情況來構(gòu)建計(jì)算模型，同時(shí)將計(jì)算模型的結(jié)果計(jì)算出來，以設(shè)計(jì)出更加先進(jìn)且科學(xué)的現(xiàn)代化地鐵，為人們提供更全面的服務(wù)。

1 地鐵牽引供電系統(tǒng)的實(shí)際問題

如果地鐵的用電負(fù)荷不會(huì)隨著運(yùn)行時(shí)間的變化而變化，那么就可以根據(jù)運(yùn)行時(shí)間與地鐵位置的變化而確定用電負(fù)荷，并根據(jù)自身具備的相關(guān)知識(shí)來創(chuàng)立等效電路圖，對(duì)供電電流、電壓、用電功率以及電阻等參數(shù)進(jìn)行分析，并得出最終的結(jié)果。而當(dāng)?shù)罔F開始發(fā)生變化時(shí)，其用電負(fù)荷會(huì)時(shí)時(shí)會(huì)處于變化狀態(tài)，無法按照固定的電路圖去計(jì)算出動(dòng)態(tài)的牽引供電網(wǎng)絡(luò)。以往，工作人員可以運(yùn)用“平均運(yùn)轉(zhuǎn)量的方法”來進(jìn)行電氣參數(shù)運(yùn)算，但是這種方法無法計(jì)算出地鐵供電的瞬時(shí)值。同時(shí)，在實(shí)際工程當(dāng)中，工作人員需要實(shí)時(shí)得知地鐵線路每一環(huán)節(jié)的電氣參數(shù)，如牽引網(wǎng)的電壓、變電所的額定功率、對(duì)地電位以及饋線與母線電流等。在現(xiàn)有的情況下，工作人員應(yīng)當(dāng)對(duì)牽引的供電系統(tǒng)進(jìn)行仿真計(jì)算，并且根據(jù)工程的實(shí)際需求來建立正確的數(shù)學(xué)模型，從而保證數(shù)學(xué)模型的實(shí)用性與可行性。

2 地鐵牽引供電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

2.1 假設(shè)條件

根據(jù)現(xiàn)有的實(shí)際情況，地鐵運(yùn)動(dòng)的能量主要來自于“牽引供電系統(tǒng)”，在這個(gè)過程中供電系統(tǒng)為地鐵的行進(jìn)提供能源。地鐵的牽引能源主要來自于直流電，地鐵的接觸網(wǎng)為正極，其走行軌為負(fù)極，而一般的電氣化鐵路供電則是交流電。此外，正處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的地鐵用電與固定在地鐵中的電燈、通風(fēng)等設(shè)備的用電性質(zhì)也有所不同，地鐵的用電會(huì)隨著時(shí)間、位置的變化而發(fā)生變化，其是一個(gè)常變負(fù)荷，而通風(fēng)設(shè)備及照明設(shè)備的用電為固定負(fù)荷。在這樣的條件下，可以假設(shè)現(xiàn)有的地鐵供電網(wǎng)絡(luò)情況為：B 輛地鐵、N 個(gè)供電變電所（N 為整數(shù)并且大于2），從地鐵啟動(dòng)開始會(huì)有數(shù)個(gè)地鐵進(jìn)行取流。

2.2 數(shù)學(xué)模型的建立

在滿足假設(shè)條件的情況下，需要根據(jù)地鐵的運(yùn)行圖以及地鐵牽引的相關(guān)資料來確定起始狀態(tài)下上行方向的地鐵數(shù)量B、地鐵具體位置以及地鐵的電流向量［Is1，Is2，Is3，…，Isb］，工作人員要以此作為模型建立的基礎(chǔ)，建立起始時(shí)刻的上行牽引供電數(shù)學(xué)模型。具體方法如下：

工作人員應(yīng)當(dāng)根據(jù)牽引變電所的具體位置點(diǎn)以及地鐵的位置點(diǎn)，將牽引電力網(wǎng)絡(luò)分割成C 個(gè)支路，支路的確定公式為C=N+b-1。其中，b 為地鐵的數(shù)量，N 為供電變電所數(shù)量。

在數(shù)學(xué)模型當(dāng)中，R1、R2、R3一直到RN+b-1分別設(shè)定為地鐵供電中的第1、第2、第3，…，第N+b-1 個(gè)支路，其為牽引電路中的電阻。因?yàn)楂@取信息的地鐵位置是已經(jīng)給定的，同時(shí)各各牽引變電所的位置也已經(jīng)確定，所以牽引網(wǎng)的電阻為均勻?qū)ΨQ，因而可以使用公式計(jì)算出模型的電阻Ri=Li×r。

其中，Li是各點(diǎn)之間的距離，r 為牽引網(wǎng)絡(luò)中的單位長度電阻，i=1，2，…，N+b-1。在每個(gè)用于牽引的變電所中，工作人員可以用一個(gè)電壓源與等效電阻相結(jié)合，其可以用Rs來進(jìn)行表示。這個(gè)電阻不能簡單的運(yùn)用變電所與系統(tǒng)之間的阻抗來折算，而是要參考牽引電網(wǎng)的外特性來進(jìn)行運(yùn)算[1]。

如果工作人員從牽引網(wǎng)中的地鐵作為一個(gè)電流源來處理，其電流主要為I?？梢栽O(shè)各個(gè)支路的電流為［I1，I2，I3，…，IN+b-1］，因此，各個(gè)變電所的支路電流則為［IX+b，IX+b+1，…，I2X+b-1］。將I 設(shè)置為T=I2N+b-1，然后將B 設(shè)置為［Is1，Is2，Is3，…］，所以可以得到矩陣A=（b+2N-1）×（b+2N-1）。

在這個(gè)公式中可以看到，前b 行可以根據(jù)各個(gè)地鐵的位置應(yīng)用KCL 定律來進(jìn)行建立，而b+1 行到b+N 則可以根據(jù)變電所的位置來應(yīng)用KCL 定律來進(jìn)行建立，而在相鄰的兩個(gè)變電所中，b+N+1 行與b+2N-1 行則需要運(yùn)用KVL 定律進(jìn)行建立。

所謂的KVL 定律學(xué)名為基爾霍夫電流定律，其主要內(nèi)容為“在集總電路中，每時(shí)每刻，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，其所有的支路電流代數(shù)和始終等于零”。如，在計(jì)算節(jié)點(diǎn)1 時(shí)，is1+i2+i3=0。而所謂的KVL 定律學(xué)名為基爾霍夫電壓定律，其主要內(nèi)容為“在集總電路中，每時(shí)每刻，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，其所有的支路電壓的代數(shù)和始終等于零”。如：在計(jì)算節(jié)點(diǎn)1 時(shí)，-R1i1+R3i3=U，而在計(jì)算節(jié)點(diǎn)2 時(shí)則為R2i2-R3i3=0。

可以將這3 個(gè)方程進(jìn)行組合，從而組成的一個(gè)方程組，通過計(jì)算可以得到最終的矩陣方程：I=A-1B。

2.3 數(shù)學(xué)模型的求解過程

通過對(duì)上述的矩陣方程進(jìn)行求解，能夠最終求得電流的矩陣I。當(dāng)?shù)玫诫娏骶仃嘔 之后，可以運(yùn)用歐姆定律進(jìn)行計(jì)算來算出牽引網(wǎng)每一點(diǎn)的額定電壓，其計(jì)算方法如下：

因?yàn)樗^的牽引供電其實(shí)是一個(gè)有著實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)的電力網(wǎng)絡(luò)，因此這些計(jì)算只有在t 時(shí)刻的狀態(tài)下才可以進(jìn)行掃描，等到了（t+Δt）的時(shí)刻再進(jìn)行掃描時(shí)，工作人員就要先根據(jù)地鐵的運(yùn)行圖以及地鐵資料來進(jìn)行計(jì)算，從而確定在特定時(shí)刻下的地鐵數(shù)量、地鐵位置以及負(fù)荷大小，工作人員應(yīng)當(dāng)根據(jù)實(shí)際的牽引情況建立全新的牽引網(wǎng)絡(luò)圖，然后按照上述計(jì)算方法繼續(xù)建立新的方程公式，求出最終參數(shù)。在這樣不斷的循環(huán)中算出最終的計(jì)算結(jié)果[2]。

3 地鐵牽引供電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的求解

3.1 不同多地鐵運(yùn)行計(jì)算模型影響分析

在多地鐵的運(yùn)行數(shù)學(xué)模型中，地鐵的牽引力以及制動(dòng)力會(huì)被地鐵電壓所影響，其總能耗的計(jì)算應(yīng)當(dāng)采用牽引供電數(shù)據(jù)模型進(jìn)行運(yùn)算，得出出口節(jié)點(diǎn)的電壓以及電流乘積的具體形式。在現(xiàn)有的多地鐵研究中，總能耗計(jì)算的方法一般都是假定地鐵的電壓維持不變，然后再進(jìn)行計(jì)算[3]。而根據(jù)實(shí)際情況可以得知，不同多地鐵的運(yùn)行數(shù)據(jù)模型對(duì)總能耗計(jì)算會(huì)造成較大的影響，牽引供電數(shù)據(jù)模型得到結(jié)果對(duì)比機(jī)械能的計(jì)算模型要偏小。其中，最大的差距可達(dá)到-14.69%，最小的差異也達(dá)到-10.12%。所以，在有效利用電力的利用率指標(biāo)方面，運(yùn)用牽引供電數(shù)學(xué)模型的最終結(jié)果與傳統(tǒng)的估算方法有43%的實(shí)際差距，而且從總能耗數(shù)據(jù)來看，運(yùn)用牽引供電數(shù)學(xué)模型要優(yōu)于傳統(tǒng)的估算方法。

3.2 不同附加阻力計(jì)算方法影響分析

為了探討在不同附加阻力進(jìn)行計(jì)算下結(jié)果的差異性，進(jìn)行了多次試驗(yàn)。根據(jù)結(jié)果可知，不同方案所對(duì)應(yīng)的變電所能耗也存在著差異性，部分計(jì)算模型產(chǎn)生的計(jì)算結(jié)果差異較大，其中最大的結(jié)果差異達(dá)到-3.27%，并且有38%的方案其能耗的計(jì)算差異百分比都高于1%。

3.3 多地鐵綜合優(yōu)化模型結(jié)果分析

根據(jù)地鐵的電壓變化情況可以看出，地鐵在運(yùn)作過程中產(chǎn)生的最小電壓為1400 V，而最大的電壓達(dá)到了1886 V，已經(jīng)接近系統(tǒng)所設(shè)定的最大限制電壓。而當(dāng)?shù)罔F的電壓達(dá)到最高程度時(shí)，地鐵的運(yùn)行位置可以達(dá)到49 km，其位置正好位于地鐵從高架向地下過渡的區(qū)間，其主要線路為下坡，因此，地鐵應(yīng)當(dāng)使用制動(dòng)措施來降低車速，使地鐵產(chǎn)生再生制動(dòng)的能量，促使地鐵附近的接觸網(wǎng)出現(xiàn)電壓升高情況[4]。通過優(yōu)化方案的實(shí)行，牽引變電所的總能耗降低了1794.23 A，降幅程度達(dá)到5.47%，地鐵的運(yùn)行能耗下降幅度更高，達(dá)到9.57%?？梢钥闯?，本方案的反饋能量對(duì)比原有反饋有所降低，在反饋能量的利用率方面，已經(jīng)優(yōu)化過的數(shù)學(xué)模型超過原有模型4.1%，其優(yōu)化比例也高達(dá)4.56%。

3.4 最終計(jì)算結(jié)果

根據(jù)已經(jīng)計(jì)算出的上行支路電流，可以求出變電所之中的饋線瞬時(shí)間電流。而根據(jù)已經(jīng)計(jì)算出的上行牽引網(wǎng)絡(luò)各節(jié)點(diǎn)電壓，可以運(yùn)用插值法來求出變電所中非節(jié)點(diǎn)的電壓。同樣，工作人員通過建立正確的牽引等效網(wǎng)絡(luò)圖，一樣可以計(jì)算出各個(gè)支路的電流以及各個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓，以此計(jì)算出下行的饋線瞬時(shí)間電流與下行牽引網(wǎng)絡(luò)的瞬時(shí)電壓。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中的饋線電流與母線電壓，可以計(jì)算出變電所的瞬時(shí)功率。

首先，工作人員應(yīng)當(dāng)對(duì)饋線瞬時(shí)間電流曲線f（t）=Ii（t）積分，以此得出變電所的饋線電流。然后再對(duì)變電所的饋線瞬時(shí)間電流曲線f（t）=Ii（t）的平方積分，以此得出變電所的有效電流，最后運(yùn)用方差定律進(jìn)行變電所母線的有效電流計(jì)算，求出變電所的功率、時(shí)段牽引網(wǎng)的功率損失、平均功率的損失、電網(wǎng)能耗以及回流網(wǎng)的對(duì)地電位等。

4 研究分析說明

根據(jù)某個(gè)變電所在退出運(yùn)行時(shí)所建立數(shù)學(xué)模型的對(duì)比分析可知，上述模型為正常雙邊供電模式下的數(shù)學(xué)模型，因此，還要分析當(dāng)牽引變電所發(fā)生退出運(yùn)行情況時(shí)應(yīng)當(dāng)如何建立數(shù)學(xué)模型。

（1）當(dāng)變電所的起點(diǎn)端頭或者終點(diǎn)端頭開始解列時(shí)，端頭變電所到次端頭變電所的區(qū)間中，原本的雙邊供電開始發(fā)生轉(zhuǎn)變，由次級(jí)端頭的變電所進(jìn)行牽引供電，等效網(wǎng)絡(luò)需要去掉故障的端頭才可以重新進(jìn)行端頭牽引供電。

（2）當(dāng)中間階段的變電所發(fā)生解列時(shí)，工作人員應(yīng)當(dāng)從兩個(gè)方面進(jìn)行思考：一是工作人員可以在供電區(qū)間內(nèi)使用“大雙邊”的供電方式，等效網(wǎng)絡(luò)只要去除中間的故障變電所便可重新建立；二是如果供電區(qū)間內(nèi)的地鐵采用的是單邊供電的方式，工作人員應(yīng)當(dāng)將原本一體的等效網(wǎng)絡(luò)分割成左右兩端獨(dú)立的等效網(wǎng)絡(luò)便可以順利進(jìn)行。

（3）當(dāng)牽引變電所的某一套機(jī)組解列時(shí)，工作人員應(yīng)當(dāng)在條件允許的情況下建立數(shù)學(xué)模型，由另一套機(jī)組進(jìn)行替代，保證變電所的繼續(xù)運(yùn)行，而同時(shí)，變電所應(yīng)當(dāng)提升1 倍的內(nèi)阻計(jì)算。

（4）為了進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)模型的精確程度，工作人員應(yīng)當(dāng)對(duì)現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)母纳?。如：可以將牽引網(wǎng)絡(luò)的電阻進(jìn)行拆解，分成接觸電阻與回流電阻兩部分，上行地鐵與下行地鐵均用于回流網(wǎng)中，以此形成回流電壓，而各個(gè)變電所則要將上行接觸網(wǎng)與下行接觸網(wǎng)并列起來，提升精度。

5 結(jié)論

正確的計(jì)算模型得出的結(jié)果用于實(shí)際情況，可以保證地鐵牽引供電系統(tǒng)更加的安全可靠。經(jīng)過上述內(nèi)容可知，通過細(xì)致的計(jì)算與分析，我國的地鐵供電系統(tǒng)建設(shè)還有很大的上升空間，相關(guān)工作人員應(yīng)當(dāng)通過正確的優(yōu)化手段來提升供電系統(tǒng)的輸電能力，推動(dòng)城市交通建設(shè)不斷發(fā)展。