三種插值方法在水下地形測量數(shù)據(jù)處理中的應用和比較

莊宿軍 汪志飛

（華東電力設計院有限公司，上海200063）

在測量數(shù)據(jù)的處理中，數(shù)值分析方法使用的越來越多，其中插值法更是解決了由于實際測量中儀器頻率過低從而導致數(shù)據(jù)不完整等類似的問題。文章[1]中采用三次樣條函數(shù)插值方法獲取遙感衛(wèi)星引導數(shù)據(jù)，并證明該方法計算的引導數(shù)據(jù)不但平滑,而且加速度變化穩(wěn)定。文章[2]中采用局部多項式法、克里金插值法、線性插值三角網(wǎng)法等三種方法,對海浪數(shù)據(jù)進行插值,并對比了三者的插值效果, 結果表明線性插值三角網(wǎng)法對邊界和岸界處理明顯優(yōu)于局部多項式法、克里金插值法。目前，隨著科技的進步，水下地形測量發(fā)展的速度非?？欤瑴y量手段從最初的測深繩到現(xiàn)在的測深儀，效率成倍的提高。但在使用測深儀進行測量的時候，會碰到一個問題：GNSS 和測深儀由于構造不同，采集的數(shù)據(jù)并不具有同步性。而我們需要獲得的水下地形數(shù)據(jù)，位置和高程必須是要同步的，所以本文采用插值法來解決此問題。由于目前可用的插值方法眾多，本文選取了三種插值方法進行插值，并對插值的結果進行了比較分析。

1 數(shù)學模型

1.1 拉格朗日插值

對某個多項式函數(shù)，已知有給定的k+1 個取值點：

其中xj對應著自變量的位置，而yj對應著函數(shù)在這個位置的取值。

假設任意兩個不同xj的都互不相同，那么應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：

1.2 牛頓插值

牛頓插值公式：

等間距牛頓差值公式：

1.3 三次樣條插值

表1 三種插值結果

圖1 三種插值結果

2 計算與分析

在進行某區(qū)域水下地形測量時，測深儀頻率為0.5Hz，2 秒采集一個點，GNSS 接收機頻率為1Hz，1 秒采集1 一個點，由此會導致GNSS 數(shù)據(jù)與測深儀數(shù)據(jù)不能相互對應。表1 中時間為奇數(shù)秒的為測深儀數(shù)據(jù)實測數(shù)據(jù)，偶數(shù)秒的為文中介紹的三種方式的內(nèi)插水深值。

將三種插值結果進行比較分析，如圖1 所示。

從上圖可以看出拉格朗日插值結果與實際數(shù)據(jù)趨勢相比較，有一部分插值數(shù)據(jù)有“跳動”現(xiàn)象，這些數(shù)據(jù)與附近數(shù)據(jù)相比，變化幅度較大。

牛頓插值結果要比拉格朗日插值結果更加平緩，很少有插值數(shù)據(jù)突然偏離數(shù)據(jù)曲線，所以牛頓插值結果要比拉格朗日插值結果更符合實際情況。

而三次樣條插值結果則比前兩種插值結果更具有連續(xù)性，曲線很平滑，插值后的結果與附近數(shù)據(jù)相比具有很強的邏輯性，所以在對本次測深數(shù)據(jù)的插值處理中，三次樣條插值要比拉格朗日插值和牛頓插值要更加適用。

3 結論

本文結合實際水下地形測量中的測深數(shù)據(jù)，分別利用拉格朗日插值、牛頓插值和三次樣條插值解決了測深數(shù)據(jù)與GNSS同步問題，同時對三種插值方法進行比較分析，得出了三次樣條插值方法更加適合于處理測深數(shù)據(jù)的結論。