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    數(shù)學(xué)思想顯神威

    2020-08-10 09:00:47潘道生
    關(guān)鍵詞:所帶小慧B型

    潘道生

    數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙.在解某些與二元一次方程組相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí),應(yīng)用數(shù)學(xué)思想去思考不僅可以使問題化繁為簡,化難為易,而且有時(shí)能使一些看似無從下手的問題迎刃而解.

    一、整體思想

    點(diǎn)評:本題可以通過解方程組求出a和b的值.但用整體思想來思考,視a+b為一個(gè)整體,將方程組中的兩個(gè)方程直接相加,求出3a+3b的值,則可收到意想不到的效果,解題過程十分簡捷.

    二、模型思想

    例2 (2019年仙桃)把一根9米長的鋼管截成1米長和2米長兩種規(guī)格均有的短鋼管,且沒有余料.設(shè)某種截法中1米長的鋼管有a根,則a的值可能有( ).

    A.3個(gè)

    B.4個(gè)

    C.5個(gè)

    D.9個(gè)

    分析:題目要求1米長的鋼管有多少根,似乎與二元一次方程無關(guān).但如果注意到?jīng)]有余料,我們可以設(shè)2米長的鋼管有b根,這樣就可以利用“兩種鋼管的長度之和為9米”,構(gòu)造二元一次方程模型,利用其正整數(shù)解來解決這個(gè)問題.

    解:設(shè)2米長的鋼管有b根,根據(jù)題意得a+2b =9.因?yàn)閍,b均為整數(shù),所以a1=1,b1=4;a2=3,b2=3;a3=5,b3=2;a4=7,b4=1.故a的值可能有4個(gè),選B.

    點(diǎn)評:通過增設(shè)未知數(shù),構(gòu)造二元一次方程模型順利地解決了問題.

    三、消元思想

    例3(2019年寧波)小慧去花店購買鮮花,若買5枝玫瑰和3枝百合,則她所帶的錢還剩下10元:若買3枝玫瑰和5枝百合,則她所帶的錢還缺4元.若只買8枝玫瑰,則她所帶的錢還剩下( ).

    A.31元

    B.30元

    C.25元

    D.19元

    分析:設(shè)每枝玫瑰x元,每枝百合y元,小慧帶了z元,根據(jù)“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”結(jié)合小慧帶的錢數(shù)不變,可得出關(guān)于x,y,z的兩個(gè)三元一次方程.由于只買了8枝玫瑰,求她所帶的錢還剩下多少,這與百合的價(jià)格無關(guān),故消去y,求出8x的值(用含z的代數(shù)式表示),即可求出結(jié)論.

    解:設(shè)每枝玫瑰x元,每枝百合y元,小慧帶了z元,根據(jù)題意得5x+3y=z-10,3x+5y=z +4,將兩個(gè)方程聯(lián)立,消去y,得16x=2z-62,即8x=z-31,所以z-8x=31,故小慧買8枝玫瑰后,還剩31元,故選A.

    點(diǎn)評:本題中有三個(gè)未知數(shù),只有兩個(gè)方程,要求出x,y,z是不可能的,但注意到問題要求的答案與百合的價(jià)格無關(guān),因此消去無關(guān)量y,找出8x與z的關(guān)系式,即可得到答案.

    四、分類思想

    例4 (2019年鹽城)體育器材室有A,B兩種型號的實(shí)心球,1個(gè)A型球與1個(gè)B型球的質(zhì)量共7千克.3個(gè)A型球與1個(gè)B型球的質(zhì)量共13千克.

    (1)每個(gè)A型球、B型球的質(zhì)量分別是多少千克?

    (2)現(xiàn)有A型球、B型球的質(zhì)量共17千克,則A型球、B型球各有多少個(gè)?

    分析(1)直接利用“1個(gè)A型球與1個(gè)B型球的質(zhì)量共7千克”“3個(gè)A型球與1個(gè)B型球的質(zhì)量共13千克”這兩個(gè)等量關(guān)系,列出二元一次方程組即可求出答案.(2)根據(jù)(1)中得到的每個(gè)A型球、B型球的質(zhì)量,結(jié)合“A型球、B型球的質(zhì)量共17千克”,利用分類討論得出方程的整數(shù)解即可.

    (2)現(xiàn)有A型球、B型球的質(zhì)量共17千克,因此A型球的個(gè)數(shù)不會超過5.下面根據(jù)A型球可能的個(gè)數(shù),分類討論求解:

    ①設(shè)A型球1個(gè),B型球a個(gè),則3+4a=17,解得a=7/2(不合題意,舍去);

    ②設(shè)A型球2個(gè),B型球b個(gè),則6+4b=17,解得b=11/4(不合題意,舍去);

    ③設(shè)A型球3個(gè),B型球c個(gè),則9+4c=17,解得c=2;

    ④設(shè)A型球4個(gè),B型球d個(gè),則12+4d=17,解得d=5/4(不合題意,舍去);

    ⑤設(shè)A型球5個(gè),B型球e個(gè),則15+4e=17,解得e=1/2(不合題意,舍去).

    綜上可知,A型球、B型球各有3個(gè)、2個(gè).

    點(diǎn)評:本題考查二元一次方程(組)的應(yīng)用,正確尋找等量關(guān)系構(gòu)造方程(組),合理分類討論是解題關(guān)鍵.當(dāng)然,本題(2)中的問題也可以通過求二元一次方程的正整數(shù)解來得到答案,

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