弄清來龍去脈明白概念算理

萬志建

為了簡捷表示各種具有相反意義的量，上學(xué)期我們引進了負數(shù)，數(shù)的范圍也隨之?dāng)U充到了有理數(shù)，現(xiàn)在又遇到了新的問題：我們可以畫出邊長為l的正方形的對角線，但無法直接表示它的長度.為此，我們引入了平方根來表示這些開方開不盡得到的數(shù)，進而引入了無理數(shù).將數(shù)的范圍進一步擴充到了實數(shù)范圍.在這次數(shù)的擴充中，只要我們弄清知識的來龍去脈，掌握相關(guān)的概念算理，就能確保解題的正確率.

一、平方根的來龍去脈

如果x2=a（a≥0），那么x叫作a的平方根，正數(shù)a的兩個平方根記作±√a.√-a表示正數(shù)a的算術(shù)平方根，規(guī)定0的平方根也叫0的算術(shù)平方根.

從概念中我們得出如下結(jié)論：

（1）我們引進“√”，是為了方便表示這些開方開不盡得到的數(shù)，而這些開方開不盡得到的數(shù)也就成了無理數(shù)的一種表現(xiàn)形式：

（2）x2=a，a是一個平方數(shù)，所以a≥0，所以±√a中也要滿足a≥O;

（3）±√a表示正數(shù)a有兩個互為相反數(shù)的平方根：

（4）√a具有雙重非負性，即“a≥O且

點評：判斷一個數(shù)是不是有理數(shù)，不能僅看表面，而應(yīng)化簡后再作判斷.

（二）不理解運算結(jié)構(gòu)

例2（2019年通遼）√16的平方根是（ ）.

A.±4

B.4

C.±2

D.+2

錯解：選B或D.

剖析：對式子的運算結(jié)構(gòu)認識不透或者求平方根時漏掉負根.本題是求√16的平方根，不是直接求16的算術(shù)平方根.其實這里包含兩步運算：先化簡√16，再求√16的

點評：對于帶根號的式子，求其結(jié)果的平方根時，要注意運算結(jié)構(gòu)，先算什么，再求什么，逐步化簡求解.

點評：遇到開平方根的式子時，要注意其中的隱含條件，被開平方根的式子大于或等

點評：對公式√a2=|a|及（√a ）2=a的應(yīng)用，不僅要注意其形式特征，還要注意兩者的取值范圍不同.尤其對前者，為提高化簡正確率，可先加絕對值符號再化簡，一步到位往往容易出錯.