萬志建
為了簡捷表示各種具有相反意義的量,上學期我們引進了負數(shù),數(shù)的范圍也隨之擴充到了有理數(shù),現(xiàn)在又遇到了新的問題:我們可以畫出邊長為l的正方形的對角線,但無法直接表示它的長度.為此,我們引入了平方根來表示這些開方開不盡得到的數(shù),進而引入了無理數(shù).將數(shù)的范圍進一步擴充到了實數(shù)范圍.在這次數(shù)的擴充中,只要我們弄清知識的來龍去脈,掌握相關的概念算理,就能確保解題的正確率.
一、平方根的來龍去脈
如果x2=a(a≥0),那么x叫作a的平方根,正數(shù)a的兩個平方根記作±√a.√-a表示正數(shù)a的算術平方根,規(guī)定0的平方根也叫0的算術平方根.
從概念中我們得出如下結(jié)論:
(1)我們引進“√”,是為了方便表示這些開方開不盡得到的數(shù),而這些開方開不盡得到的數(shù)也就成了無理數(shù)的一種表現(xiàn)形式:
(2)x2=a,a是一個平方數(shù),所以a≥0,所以±√a中也要滿足a≥O;
(3)±√a表示正數(shù)a有兩個互為相反數(shù)的平方根:
(4)√a具有雙重非負性,即“a≥O且
點評:判斷一個數(shù)是不是有理數(shù),不能僅看表面,而應化簡后再作判斷.
(二)不理解運算結(jié)構(gòu)
例2(2019年通遼)√16的平方根是( ).
A.±4
B.4
C.±2
D.+2
錯解:選B或D.
剖析:對式子的運算結(jié)構(gòu)認識不透或者求平方根時漏掉負根.本題是求√16的平方根,不是直接求16的算術平方根.其實這里包含兩步運算:先化簡√16,再求√16的
點評:對于帶根號的式子,求其結(jié)果的平方根時,要注意運算結(jié)構(gòu),先算什么,再求什么,逐步化簡求解.
點評:遇到開平方根的式子時,要注意其中的隱含條件,被開平方根的式子大于或等
點評:對公式√a2=|a|及(√a )2=a的應用,不僅要注意其形式特征,還要注意兩者的取值范圍不同.尤其對前者,為提高化簡正確率,可先加絕對值符號再化簡,一步到位往往容易出錯.
中學生數(shù)理化·七年級數(shù)學人教版2020年3期