三自由度并聯(lián)打磨機器人設計與仿真

何金哲　孔繁強　劉慶友　張游　周恒驥

摘? 要：該文根據(jù)空間三自由度并聯(lián)機構結構穩(wěn)定、逆解易得的特性，設計了一種空間三自由度的并聯(lián)打磨機器人。建立了機構運動方程，得到了動平臺姿態(tài)與3條支鏈變形量的關系?；贏dams軟件對建立的三維模型進行仿真，并通過樣機模擬得到機構的工作參數(shù)。仿真和試驗結果表明，這種打磨機器人能夠完成空間曲面的打磨，該機構結構簡單，控制方便，具有廣泛的應用價值。

關鍵詞：打磨機器人;空間三自由度并聯(lián)機構;運動學逆解;Adams仿真

中圖分類號：TP242.2? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

0 引言

并聯(lián)機構具有串聯(lián)機構不可比擬的獨特優(yōu)勢，如承載能力強、誤差小、自重負荷比小、動力性能好、控制容易等結構特性，并聯(lián)機器結構可以大幅減少其零件數(shù)以及減少制造成本和庫存成本，同時更加容易組裝和模塊化。除此以外，并聯(lián)機構具有運動學逆解求取容易的特性，很好地滿足了打磨任務的要求?；谝陨蟽?yōu)點，該文采用并聯(lián)機構實現(xiàn)空間曲面的軌跡運動。

傳統(tǒng)打磨機構主要針對XY平面維度上的應用，而空間曲面的打磨要求打磨機構在三維空間曲面內的靈活自如地運動（Z軸以及繞坐標軸的α和β方向的運動（平動、轉動））。1985年克拉維爾設計的Delta型并聯(lián)機構[1]經(jīng)過幾十年的發(fā)展得到了廣泛應用，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)Delta型并聯(lián)機構很好地實現(xiàn)了三維空間的平動，但由于其動平臺的姿態(tài)始終不變，因此無法滿足需要。1965年，德國Stewart[2]發(fā)明了六自由度并聯(lián)機構，通過6個獨立液壓缸實現(xiàn)機構六自由度運動，可以很好地滿足需求，但因為機構自由度的增加導致求解過程非常復雜，所以增加了控制的難度且大大增加了生產(chǎn)的成本。3-RRR球面并聯(lián)機構可以實現(xiàn)球面三自由度，且該類機構的運動學正反解都很簡單，是一種應用很廣泛的三維移動空間機構，Alige Eye[3-4]作為三自由度并聯(lián)機器人中的一種，理論上的工作空間為完整球面，但經(jīng)過驗證發(fā)現(xiàn)，實物加工困難且對精度要求高，容易出現(xiàn)各類碰撞干涉。此外，打磨也需要機構具有良好的承載能力和穩(wěn)定性，而Alige Eye獨特的結構很難滿足這一定要求。根據(jù)人類踝關節(jié)的運動特征可知，踝關節(jié)具有3個轉動自由度，具有高度的靈活性和穩(wěn)定性[5]，對此該文結合并聯(lián)式踝關節(jié)機構和3-RSS/S并聯(lián)機構的特點，提出了一種空間三自由度并聯(lián)打磨機器人機構，分析打磨機構的運動方程，通過仿真和樣機試驗驗證了打磨機構能適應工件曲面打磨加工的場景。

1 三自由度并聯(lián)打磨機器人設計

1.1 機構描述

該機構由動平臺、靜平臺、打磨裝置、3條相同的支鏈和一個約束軸構成。其中動平臺（上平臺）與打磨裝置相連，靜平臺（下平臺）可以通過快換裝置與機床或機械臂末端相連，3對支鏈從上到下由1個球頭（球副）、電缸（移動副）、十字萬向節(jié)（轉動副）構成。支鏈通過球頭和萬向節(jié)分別與動平臺、靜平臺相連。約束軸和動平臺通過球頭連接約束動平臺的活動范圍，同時還起到支撐動平臺、高結構穩(wěn)定性的作用，機械結構如圖1所示。

1.2 機構自由度計算

三自由度并聯(lián)打磨機器人采用的是空間三自由度并聯(lián)機構，自由度M計算公式為

（1）

式中：n為機構中的活動構件數(shù)，g為運動副數(shù)，fi為第i個運動副的自由度數(shù)，該機構的活動構件數(shù)n=7，運動副數(shù)g=9，空間機構d=6，其中6個運動副的自由度為1（f=1），3個運動副的自由度為3（f=3），應用公式

M=6×（7-9）+（6×1+3×3）=3 （2）

由自由度計算公式可知，該三自由度并聯(lián)打磨機器人有3個轉動自由度，滿足空間打磨的需要。

2 機構運動學分析

2.1 三自由度并聯(lián)機器人運動模型的建立

三自由度并聯(lián)機器人是通過3條支鏈將動、靜平臺連接起來的閉環(huán)機構。在該機構中有3條相同的支鏈，每條支鏈從下到上依次為轉動副R、虎克鉸u、移動副P、球鉸S。以第4條支鏈為中心支撐桿，使用單一球鉸連接動、靜平臺，靜平臺上3條支鏈的3個點A1，A2，A3分別位于以靜平臺中心為圓心，半徑為100 mm的圓上（即支鏈與靜平臺連接點處），動平臺上3條鏈的3個點B1，B2，B3分別位于以動平臺中心為圓心，半徑為100 mm的圓上（即支鏈與動平臺的連接點處），動平臺厚度為5 mm，動靜平臺之間的距離為200 mm。具體示意圖如圖2所示。

2.2 三自由度并聯(lián)機器人位置反解分析

在描述三自由度并聯(lián)機器人的位姿時，采用的運動學研究方法是將三維坐標增廣為四維坐標，將剛體的旋轉和平移納入一個四階方陣中，通過歐拉旋轉方程將平移、旋轉與矩陣運算聯(lián)系起來。對于選定的靜平臺坐標系{A}，空間中任意點P的位置可用3×1的列向量表示，即

（3）

式中：PX，PY，PZ分別是點P在坐標系{A}中分別沿X，Y，Z方向上的分量。為了描述空間某剛體B的方位，需要在剛體B上建立一直角動坐標系{B}，并將動坐標系{B}與剛體B固連。用動坐標系{B}的3個單位主矢量BX，BY，BZ分別與靜坐標系{A}的AX，AY，AZ構成的方向余弦矩陣來表示剛體B在坐標系{A}中的位置姿態(tài)，即

（4）

式中：表示剛體B相對于坐標系{A}的位置姿態(tài)，稱為旋轉矩陣。旋轉變換矩陣一般是通過繞X軸旋轉一個角度、繞Y軸旋轉一個角度以及繞Z軸旋轉一個角度來描述的。要完全描述剛體B在靜坐標系{A}的位姿，首先要將動坐標系{B}與剛體B固連。動坐標系{B}的坐標原點定在剛體B的中心點上。由于P點不能移動，因此（XP，YP，ZP）為（0，0，ZP） （ZP表示動平臺中心到靜平臺之問的距離為定值）。動坐標系{B}相對于靜坐標系{A}的原點位置和坐標軸的方位分別用位置向量和旋轉矩陣來描述，即

空間任意點P在兩坐標系{A}和{B}中的位置矢量分別為和 ，則它們之間具有以下變換關系：

基于前述分析，設動坐標系B-XYZ為定坐標系A-XYZ沿Z軸平移（0，0，200）后的坐標系，繞Z軸轉a角，繞Y軸轉b角，最后繞X軸轉c角，對于旋轉次序，我們作如下規(guī)定

=rot（Z，a）rot（Y，b）rot（X，c）

式中：表示為坐標系{B}相對于坐標系{A}的旋轉矩陣。

則其歐拉角轉換矩陣為

=trans（0，0，200）rot（Z，a）rot（Y，b）rot（X，c）

則其歐拉角轉換矩陣為

式中：trans為{B}相對{A}的平移，rot為{B}相對{A}根據(jù)X，Y，Z軸旋轉給定的角度

通過MATLAB編程求解，可以求解出AP ，動平臺上的3點坐標分別為B1（B1X，B1Y，B1Z），B2（B2X，B2Y，B2Z），B3（B3X，B3Y，B3Z），其中

靜平臺上3點的坐標分別為：

A1（-50， ，0），A2（-50，-，0），A3（100，0，0）

結合機構特點與2點之間的距離公式可得，桿長為L1=︱A1B1︱，L2=︱A2B2︱，L3=︱A3B3︱。

將所得的A1，A2，A3，B1，B2，B3代入桿長計算公式中，初步給定a，b，c的運行區(qū)間為[-π/12，12/π]，可求得相對應的電動推桿桿長及其變化長度。

3 Adams仿真驗證

該文中設計的三自由度并聯(lián)打磨機器人有3個相同的對稱支鏈，每個支鏈上需要安裝一個驅動電機，考慮到電動推桿質量較大，且末端執(zhí)行器是輕質產(chǎn)品，系統(tǒng)的總動能主要分布在電動推桿上。因此在動力學建模時可對機器人進行簡化：忽略動平臺和末端執(zhí)行器質量以及動能。

首先使用三維軟件SolidWorks進行建模，確定三維模型的參數(shù)尺寸。模型主要包括靜平臺、動平臺、電動推桿等36個部件，其中電動推桿初始長度都是200 mm。在ADAMS環(huán)境下建立運動仿真模型，其姿態(tài)變化如圖3所示。打磨裝置在3條由電動推桿組成的支鏈的帶動下，可以根據(jù)工件的形狀進行打磨。

添加運動函數(shù)：

X向平移=0.005×time×sin（2×pi×time）

Y向平移自由

Z向平移=0.005×time×cos（2×pi×time）

繞X旋轉自由

繞Y旋轉=0×time

繞Z旋轉自由

設置仿真時間5 s，步長500步進行簡單驗證

測量出電動推桿位移、速度、加速度隨時間的關系圖如圖4，圖5，圖6所示。

仿真結果表明，電動推桿速度、加速度曲線連續(xù)且變化平滑，關鍵位置速度、加速度接近0，滿足軌跡規(guī)劃要求。在仿真過程中，運動能夠平穩(wěn)運行，具有良好的穩(wěn)定性，適合打磨場景。

4 樣機及實驗

4.1 樣機的電路系統(tǒng)

動力源選用了12 V的電動推桿，并且可以通過編碼器的反饋精確控制電動推桿的伸長量，電機驅動選用了L298N的直流電機驅動，可以通過改變PWM的大小來改變電機的轉速跟轉向，完成對電機轉角的閉環(huán)控制，姿態(tài)傳感器選用的JY61，可以通過和主控板的串口通信，得到當前機構的滾轉角（X軸）、俯仰角（Y軸）、偏航角（Z軸）的反饋值（姿態(tài)角解算時所使用的坐標系為東北天坐標系），主控板采用的STM32F407。上位機跟主控板之間也通過串口通信，主控板接收上位機發(fā)出的設定角度值。另外，機構上端的打磨頭由無刷電機帶動，機構開始運動時，打磨頭開始旋轉，滿足打磨物體的需求。

4.2 控制思路

通過上位機向主控板發(fā)送數(shù)據(jù)，得到所需角度的設定值。主控板對所需角度的設定值跟當前的實際角度相減，并將相差值等分一定值之后，得到一個每次角度的累加值，通過對三自由度并聯(lián)機構的運動方程的逆解，得到要到達設定角度時，每一根推桿應該移動的距離。主控板與電動推桿之間連接有電機驅動L298N，再通過電動推桿上的編碼器的反饋值構成閉環(huán)控制，實現(xiàn)對每根推桿桿長移動距離的精確控制。在不斷累加的過程中，得到的姿態(tài)反饋值會和設定值不斷比較，直到兩者差值小于設定閾值時，表明機構已經(jīng)達到所需的姿態(tài)。由于機構結構的特性，如果要使機構按預定的運動軌跡運動，就需要計算出所需軌跡上的多個（盡可能多的）細分的點，使機構按上述流程不斷擬合這些軌跡上的點，從而擬合所需軌跡，實現(xiàn)軌跡運動。控制流程和原理圖如圖7，圖8所示。

5 結語

通過分析空間三自由度并聯(lián)機器人的結構特性，列出并聯(lián)機構的位置逆解的表達式，通過MATLAB軟件的分析計算，并結合Adams軟件對打磨軌跡進行仿真，驗證了機構的可行性。通過樣機搭建，簡單模擬了打磨場景，可以滿足空間曲面的打磨要求。

小型三自由度打磨機器人因其優(yōu)越的結構構造，使得其具有更好的性價比，更適合大批量生產(chǎn)，在保證產(chǎn)品精密和高質量的同時，也能優(yōu)化生產(chǎn)效率和成本。將小型三自由度打磨機器人應用于拋磨工藝，有助于提高機械加工的效率，降低生產(chǎn)成本，可以給拋磨業(yè)的發(fā)展提供一定的幫助。

參考文獻

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