數(shù)學(xué)與謊言

崔鵬

投資者有辦法鑒別出那些千變?nèi)f化的騙子嗎？

說實話這可真不是件容易的事。渾水的卡森·布洛克在這方面做得不錯，先于那些投資銀行和煞有介事的投資引導(dǎo)大咖發(fā)現(xiàn)了瑞幸咖啡的騙局。不過據(jù)說他為此雇傭了92名全職員工和1418名兼職員工，對瑞幸620家門店進行監(jiān)控，并記錄了流量—總共花費大概上千萬美元。

也許布洛克能通過做空瑞幸的股票把那些花銷賺回來。但可以肯定，這種布局普通人無論如何都做不到—如果識破騙局這么貴，那還是讓騙子騙我吧。

有其他更便宜、更簡單的做法嗎？數(shù)學(xué)家和行為學(xué)家為我們準備了一些，來試試下面這個。

先來個故事。大約一百年前，美國紐約有個電氣公司的工程師，叫弗蘭克·本福特。有一次工作中本福特要用到對數(shù)。在當時還沒有計算器，要知道對數(shù)值就得到圖書館用對數(shù)表來查。

你還記得高中時數(shù)學(xué)老師帶著大家查的對數(shù)表嗎？本福特要用的也就是那個。他在查表的時候有一個發(fā)現(xiàn)，這種小冊子前邊的頁已經(jīng)被使用者翻得很舊了，后邊的頁卻和新的一樣。這是為什么呢？

本福特對這種現(xiàn)象有個假設(shè)，就是在生活中，人們接觸到各個數(shù)字的頻率是不一樣的。為了滿足這個好奇，他對能接觸到的數(shù)字做了普查，結(jié)果還是挺驚人的。

本福特發(fā)現(xiàn)對數(shù)表前邊頁碼被用舊的速度遠大于后邊頁碼的原因是，生活中遇到的以1和2開頭的數(shù)字遠多于以8和9開頭的數(shù)字。

經(jīng)過幾位數(shù)學(xué)家對本福特發(fā)現(xiàn)的填補，他們總結(jié)出、以1到9開頭的數(shù)字，在生活中所占比例分別是：30.1%、17.6%、12.5%、9.7%、7.9%、6.7%、5.8%、5.1%、4.6%。

這個規(guī)律被命名為“本福特定律”。

但是，說了半天，這個定律對鑒別騙子有什么用呢？

有挺大的用呢。

你可以用這個定律的逆否命題，來判斷別人是不是在騙你—也就是說，如果你發(fā)現(xiàn)別人提供給你的一大堆數(shù)字，它們的首位數(shù)的所占比例分配和本福特定律所說的相差很大，那么這些數(shù)字可能就是人為編出來的。

當然，在識別騙子的游戲中應(yīng)用本福特定律，要滿足兩個條件，一個是你統(tǒng)計的數(shù)字是商業(yè)活動中隨機的，第二統(tǒng)計的數(shù)字不能太少，比如起碼要多于200個。

不過，由于“域”的問題，像成年人的年齡、體重和身高，即使?jié)M足我上邊說的兩個條件，它們也不會符合本福特定律。

本福特定律更適合的領(lǐng)域是商業(yè)問題。這不正是大家想要的嗎？

有沒有令你生疑的投資品或者上市公司的業(yè)績？可以用它來試一下。

先說下我做的。

我懷疑的公司是個明星公司，馬斯克的特斯拉。這家公司的問題除了從去年年底激增的應(yīng)收賬款，還有可能存在財務(wù)造假。用芒格的話說就是，馬斯克太想把事辦好了，但事情的難度要比馬斯克所具有的能力稍高一些。在這種情況下，人們?nèi)鲋e的概率就會增加。

如果識別騙子的成本太高，你可以試試那些有趣的數(shù)學(xué)方式。

我的方法是，從特斯拉公司的公開財務(wù)數(shù)據(jù)中搜羅了552個所謂的隨機數(shù)（它們都是生產(chǎn)、銷售、費用等運營行為產(chǎn)生的數(shù)字），這些數(shù)字覆蓋了從2018年開始的財報。

我對這些數(shù)據(jù)按照首位數(shù)字從1到9歸類，然后和本福特規(guī)律對比。

特斯拉的數(shù)據(jù)和本福特曲線相比似乎并不是特別不著邊。但它有它的問題，那就是以1開頭的數(shù)字相當多，達到了35%，比本福特曲線的比例高了5%。這種情況會發(fā)生在怎樣的公司呢？

特斯拉的這張圖有個影子版本，那就是費爾菲爾德·森特里月度回報數(shù)據(jù)基金的本福特分布圖。費爾菲爾德·森特里基金就是大名鼎鼎的麥道夫騙局基金。

伯納德·麥道夫曾經(jīng)是納斯達克主席，大約從1992年他就開始編織他的龐氏騙局基金，一直騙到了2008年年底受金融危機影響才露餡。麥道夫本人被判了150年徒刑。

麥道夫的基金的數(shù)字也有這個特點—“1”多。為什么會有這種現(xiàn)象呢？因為麥道夫的基金要給客戶平穩(wěn)贏利的印象，所以他的基金就像完成作業(yè)一樣有很多個月的收益都是1%多一點。對于對沖基金來說這幾乎是不可能的，那些數(shù)據(jù)中有很多是麥道夫和他的助手編造的，有的數(shù)字甚至是他打高爾夫球時的得分。

一般來說，人們會把自己公司的目標定立為以“1”開頭的數(shù)字。如果公司運營完成了這些目標，那么在報表中以“1”開頭的記錄就會特別多，同時以“7”“8”“9”開頭的數(shù)字會很少。

但總是能如約完成計劃的公司是非常令人懷疑的—怎么會總是這么巧呢？

當然了，只憑一張本福特表格不能構(gòu)成對一家公司的指控，但已經(jīng)可以增加投資者的懷疑了。

另外，本福特定律除了首位數(shù)字統(tǒng)計，還有更厲害的殺手锏，那就是末尾兩位數(shù)字謊言識別。

末尾兩位數(shù)字謊言識別，就是統(tǒng)計相當數(shù)量的隨機數(shù)字的末尾兩位數(shù)字，如果它們真的是隨機的，那么這種分布應(yīng)該是下面這個樣子。

從00到99一共100個數(shù)字，這些數(shù)字的末兩位出現(xiàn)的數(shù)如果是隨機的，它們出現(xiàn)的平均概率應(yīng)該是1%。

為了驗證一下末尾兩位數(shù)字的測謊功能，我找到了一份我的一個熟人和別人合伙開店的財務(wù)單子（很久以前的事了），從中搜羅了449個數(shù)據(jù)，然后統(tǒng)計了它們的末尾兩位數(shù)出現(xiàn)情況的概率分布。

怎么從末尾兩位數(shù)看這些數(shù)據(jù)是不是瞎編的？

大概可以用下面三個“篩子”，看看這些數(shù)字是否異常。

① 某些末兩位數(shù)出現(xiàn)的頻率是否太高？重點關(guān)注出現(xiàn)頻率占比超過4%的兩位數(shù)。同時，根本不出現(xiàn)的兩位數(shù)是否太多？如果這種情況嚴重，數(shù)據(jù)經(jīng)過人為編造的可能性增加。

② 末兩位為重復(fù)數(shù)字的占比是否過低？如果是，數(shù)據(jù)經(jīng)過編造的可能性增加。重復(fù)數(shù)字就是00、55、99之類的數(shù)。

③ 降序數(shù)字是否過多？如果過多，其中有編造數(shù)據(jù)的可能性增加。所謂的降序數(shù)字就是32、43、54這類數(shù)。

通過分析，很遺憾，這是一份令人懷疑的報表。

① 首先，出現(xiàn)頻率超過4%的數(shù)字有3個，這有點離譜，特別是以36結(jié)尾的數(shù)字，出現(xiàn)了18次。另外有5個兩位數(shù)從未出現(xiàn)過，有13個兩位數(shù)只出現(xiàn)了1次。

總體來說，這些數(shù)字的不平均狀況有點夸張。

② 重復(fù)數(shù)字的出現(xiàn)概率比較低，10個兩位數(shù)一共出現(xiàn)了19次，比平均數(shù)低了26次。

③ 降序數(shù)頻繁出現(xiàn)，一共87次，超過平均數(shù)42次。

實際上，總體來說，用本福特定律檢查數(shù)據(jù)是否真實，在民間的應(yīng)用將更有效。這是因為那些上市公司的數(shù)字即使是編造的，但大多數(shù)經(jīng)過了多重美化。但民間的這些往來報表，如果是編造的，那就是赤裸裸的編造，用本福特首數(shù)和尾數(shù)檢測法，大多可以令其原形畢露。