小學(xué)數(shù)學(xué)中如何求“兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)及最小公倍數(shù)”

陶永清

“因數(shù)與倍數(shù)”的知識(shí)，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容。也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。今年，我所帶的學(xué)生升入五年級(jí)，我也就隨著介入了五年級(jí)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，進(jìn)而在教學(xué)中涉及了“因數(shù)與倍數(shù)”的問(wèn)題。我們金昌市金川公司小學(xué)部分使用的教材是北京師范大學(xué)出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書，在五年級(jí)上冊(cè)第三單元分?jǐn)?shù)這一部分中，教學(xué)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)遇到了困惑。

首先來(lái)說(shuō)找最大公因數(shù)。按照教材的編排，是這樣的。例：

第一步：先利用乘法來(lái)找每個(gè)數(shù)的因數(shù)。

12=1×12=2×6=3×4，18=1×18=2×9=3×6

或者用列舉法舉出所有因數(shù)。

要想找到兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，首先必須用列舉法全部寫出每個(gè)數(shù)的部分倍數(shù)，再?gòu)男⊥螅业焦稊?shù)，進(jìn)而找出最小公倍數(shù)。通過(guò)教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生利用這種方法找數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，的確是按照課程標(biāo)準(zhǔn)要求，經(jīng)歷了知識(shí)形成的過(guò)程，對(duì)于最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的意義也加深了理解，但是，問(wèn)題也隨之而來(lái)：一是用時(shí)太長(zhǎng)，二是部分學(xué)生在列舉因數(shù)時(shí)有遺漏，還有的在找公因數(shù)時(shí)有遺漏。課本在課后的“你知道嗎？” 展示了“短除法”作為一個(gè)補(bǔ)充知識(shí)，簡(jiǎn)單進(jìn)行介紹并不要求學(xué)生掌握。這樣，找最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)不僅很耗時(shí)間，而且準(zhǔn)確率不高，怎么辦？ 作為教師應(yīng)該怎樣去教這一部分內(nèi)容呢？記得以往的教材中，安排的求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的首選方法就是短除法，那么，到底要不要教給學(xué)生短除法呢？從相關(guān)的教育書刊中，我了解到一線教師都有這樣的疑惑，關(guān)于到底是否教短除法，眾說(shuō)紛紜。為進(jìn)一步了解短除法，解決學(xué)生的問(wèn)題，我翻閱資料，關(guān)于短除法有這樣的介紹。

材料一：用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。

1.什么是短除法？

短除法是把一般除法豎式中除的過(guò)程加以簡(jiǎn)化，除的時(shí)候每次把除數(shù)寫在被除數(shù)的左邊，把商寫在被除數(shù)的下面。如：

28÷2寫成2 | ?28 的形式。計(jì)算過(guò)程如下：

2 | ? 28

2 | 14

7

28除以2得到14，14除以2得到7。（7不是余數(shù)）

2.用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。

例如：24和18。

2| ?24 ?18 ? …………先同時(shí)除以公因數(shù)2;

3 |12 ?9 ?…………再同時(shí)除以公因數(shù)3;

4 ? 3 …………除到兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止，把所有的除數(shù)連乘，得到：24和18的最大公因數(shù)是2×3=6。

把所有的除數(shù)和最后的兩個(gè)商連乘，得到：24和18的最小公倍數(shù)是2×3×4×3=72。

如何用短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，現(xiàn)在來(lái)總結(jié)一下：如求24和18的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，將兩個(gè)數(shù)寫在短除的格式里，|24 18，先從小的因數(shù)開(kāi)始算起，2| 24 ?18，同時(shí)除以公因數(shù)2，再同時(shí)除以公因數(shù)3，3|129這樣，一步一步來(lái)，直到除到兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止，求最大公因數(shù)只要把所有除數(shù)相乘;求最小公倍數(shù)就是把所有的除數(shù)和最后的兩個(gè)商連乘。了解清楚后，發(fā)現(xiàn)這個(gè)也不是很難懂。

了解了短除法，我發(fā)現(xiàn)短除法也有它的有效性，和列舉法相比較，北師大版教材中找“公因數(shù)”的列舉法看上去比較“原始”，但是非常通俗易懂，便于學(xué)生掌握，只是過(guò)程煩瑣，慢，易錯(cuò)，尤其是數(shù)字大了后就更顯煩瑣。想到學(xué)生在后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法時(shí)才大量用到最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)，這就要求學(xué)生很快找到幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，如果還用列舉法一個(gè)一個(gè)地去列舉出來(lái)，再尋找最大的公因數(shù)或最小公倍數(shù)，且不說(shuō)會(huì)出錯(cuò)，就算是不出錯(cuò)，效率也太低了。想一想，人教版使用的短除法的過(guò)程雖然較程式化，學(xué)生在初學(xué)時(shí)不太容易掌握，但是一旦掌握后就較便利，尤其是可以快捷地求出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，在求大數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)更體現(xiàn)出它的優(yōu)越性。鑒于此，我打算在學(xué)生掌握了列舉法之后，再將短除法也教給學(xué)生，讓他們選擇性地去用。

幾天后，我的學(xué)生已經(jīng)對(duì)列舉法充分掌握，在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，我拋出求126和 90的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)，學(xué)生用列舉法在認(rèn)真列舉……幾分鐘后，我問(wèn)：“怎么樣，什么感覺(jué)？” 學(xué)生紛紛說(shuō)：“太慢?！薄澳敲催€有方法求最大公因數(shù)嗎？”在設(shè)疑中帶著各自不同層面的問(wèn)題進(jìn)行探究，有效地激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，使學(xué)生產(chǎn)生了急于探究求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的其他方法的想法，接著向?qū)W生介紹“分解質(zhì)因數(shù)”“短除法”求最大公因數(shù)的方法，使學(xué)生自主選擇自己喜歡的方法求最大公因數(shù)。很快，學(xué)生接受了短除法，并且喜歡上了短除法，在后面學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減時(shí)，通分、約分時(shí)需要找到最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)都運(yùn)用短除法輕松解決。

由此，我想告訴一線的教師，在你教這一部分內(nèi)容時(shí)，不妨也試一試我的這種做法，教材只是個(gè)引子，至于采用什么方式教，那就依據(jù)你的學(xué)生的具體學(xué)情，靈活處理。只要讓學(xué)生把知識(shí)學(xué)得輕松、學(xué)得靈活的方法就一定是好方法。

編輯 趙飛飛